基本初等函数经典总结

1、.r r. r(3) ab a b ；m(4) a彳n/om；a, n奇| a |, n 偶第十二讲基本初等函数:教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、哥函数）的基本性质;2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用;教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数.r s r sr s rs1） .指数运算法则：(1) arasa ；(2) ar a ；2） .指数函数：形如 y ax（a 0且a 1）指数函数0<a<1a>1图象4!77-4 -3 -2

2、 TD 12 3 4-34-4 -3 -2 -13 L 2 3-1-2-31表送式xy a定义域R值域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增2.对数函数1）对数的运算:b loga N1、互化:2、恒等:logaa3、换底:loglog c blog c a推论log a b1log b a推论 2 log a b ? log b c log a c推论log am bn log a b (m m '0)4、log aMNlog alog a Nlogloglog a N5、log a Mn log a M2）对数函数:对数函数0<a<1a>1图象L.J43二

3、-4 -3 -2 -102 3 r二;、T-I-I -5 -Z -J表送式y log ax定义域(0,)值域R过定点(1， 0)单调性单调递减单调递增3.幕函数般地，形如 y xa ( a R)的函数叫做募函数，其中a是常数1)性质：(1)所有的哥函数在(0,+ 8)都有定义，并且图象都通过点 (1,1)；(2)如果a>0,则募函数图象通过(0, 0),并且在区间0,+ 8)上是增函数；(3)如果a V 0 ,则募函数在区间 (0,+ °°)上是减函数，在 第一象限，当x从右边趋向于原点时，图象在 y轴右方无 限地逼近y轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限逼近 x轴

4、。四：典型例题考点一：指数函数例1 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x ,则x的取值围是 .分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值围.22解：. a 2a 5 (a 1)4> 4 1 ,，函数y (a2 2a 5)x在(8)上是增函数，1 13x 1 x,解得x .，x的取值围是 一，00 .4 4评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论.例2 函数y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间1,1上有最大值14,则a的值是.分析：令t ax可将问题转化成二次函数的最值问

5、题，需注意换元后t的取值围.解：令t ax ,则t 0 ,函数y a2x 2ax 1可化为y (t 1)2 2 ,其对称轴为t 1 .当 a 1 时，: x1,1 ,11. . < a < a ,即W t W a . aa，当 t a时，ymax （a 1）2 2 14.解得a 3或a 5 （舍去）；当 0 a 1 时，: x 11 , a < ax < ,即 a & t & 1 , aa2.1 j1t时，Ymax1 2 14 ,aa一一1 .1. . 一 , 1解得a 或a -（舍去），二. a的值是3或-.3 53整体代入评注：利用指数函数的单调性求

6、最值时注意一些方法的运用，比如：换元法, 例3求函数y 也6x 2的定义域和值域.解：由题意可得1 6x 2>0,即6x2 01 ,.x 200,故x02.函数f（x）的定义域是8,2.令 t 6x 2,则 y,又 x< 2 , . x 2< 0.0 6x2 W1 ,即 0 t < 1 .0< 1 t 1 ,即 0 0 y 1 .，函数的值域是 0,1 .评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响.x2 3x 2一 ，一 1，-例4求函数y=-的单调区间.3分析 这是复合函数求单调区间的问题uu可设y = ,u = x2-3x+2 ,其中y = -

7、 为减函数33.u=x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间（即减减一增）u=x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间（即减、增一减）u解：设y= ' ,u =x2-3x+2,y关于u递减，3当xC(-8, 3)时，u为减函数,2，y关于x为增函数；当xC 3, +8)时，u为增函数，y关于x为减函数.2考点二：对数函数求下列函数的定义域(1)y=log 2 (x2-4x-5 );(2)x、y=log x+1 (16-4 )(3)解:(1)令 x2-4x-5 >0,得(x-5) (x+1) >0,故定义域为x I x-1 ,或 x> 5.故所求定义域为 x | -1

8、vxv 0,或0<x<2.故所求定义域为x | x< -1- 右，或-1- "5<xv-3,或 x>2.说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零.底数大于零不等 于1,若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零.比较大小:(1)(2)log 0 71 . 3 和 log 0 71 . 8 .(lg n) 1.7 和(lgn ) 2 (n > 1).(3)log 23 和 log 53.(4)log 35 和 log 64.解：(1)对数函数y=log 0.7X在(0, +00)是减函数.因为 1. 3< 1 , 8,所以log

9、 0.71. 3>log o. 71. 8.(2)把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对 底数lgn讨论.若 1 > lgn >0,即 1 v nv 10 时，y= (lgn ) x在 R上是减函数，所以(lgn ) 1 2> ( lgn ) 2;若 lgn > 1,即 n> 10 时，y= (lgn ) 2在 R上是增函数，所以(lgn ) 1 7> ( lgn ) 2.(3)函数y=log 2X和y=log 5X当x>1时，y=log 2X的图像在y=log 5X图像上方.这里 x=3,所以 log 23 &

10、gt; log 53.(4) log 35和log 64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为 log 35 > log 33=1=log 66 > log 64,所以 log 35 > log 64.评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第(3)小题，可直接利用例 2中的说明得到结论.例 7 已知 f (x) =2+log 3X, x 1, 9，求 y= f (x) 2+f (x2)的最大值，及 y 取最大值时，x的值.是要求其表达式;分析 要求函数y= f (x) 2+f (x2)的最大值，要做两件事, 是要求出它的定义域，然

11、后求值域.解：.1 f (x) =2+log 3x,.y= f (x) 2+f (x2) = (2+log 3x) 2+2+log 3X2 =(2+log 3x) 2+2+2log 3X =log 23x+6log 3x+6=(log 3X+3) 2-3 .1 x2 91 x 9 函数f (x)的定义域为1,9,，要使函数y= f (x) 2+f (x2)有定义，就须 -1 < x< 3.0 < log 3x< 1 6<y= (log 3X+3) 2-3 < 13当x=3时，函数y= f (x) 2+f (x2)取最大值13.说明 本例正确求解的关键是：函数

12、 y= f (x) 2+f (x2)定义域的正确确定.如果 我们误认为1,9是它的定义域.则将求得错误的最大值22.其实我们还能求出函数 y= f (x) 2+f (x2)的值域为6, 13.例8 求函数y=log 0 5 (-x2+2x+8)的单调区间.分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8 (-2vxv4)的单调性相反.解.-x2+2x+8>0,-2 <x<4,原函数的定义域为(-2,4).又二 函数u=-x2+2x+8=- (x-1 ) 2+9在(-2,1上为增函数，在1,4)上为减函数，函数y=log 0,5 (-x2+2x+8)在(

13、-2 , 1上为减函数，在1,4)上为增函数.评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集.考点三：哥函数例9.比较大小：11o o3311230.5 .(1) 1.52,1.72(2) ( 1.2) ,( 1.25) (3) 5,25 ,5.26 ,5.26(4) 0.5 ,3 ,脸0.5111解：(1) y x± 在0,)上是增函数，1.5 1.7,，1.5/ 1.7，(2) y x3在 R上是增函数，1.21.25,( 1.2)3 ( 1.25)3111(3) y x 1 在(0,)上是减函数，5.25 5.26 , 5,25 1 5.26 1；x12

14、y 5,26 是增函数，12 ,5,265.26 ；112综上，5.255.265.26，一、305(4)0 0,53 1 , 31 , 10g3 0.5 0 ,log3 0.5 0,53 30.5一2例10.已知哥函数y xm3 (m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称,求m的值.一2解：,哥函数y x (m Z)的图象与x轴、y轴都无交点，2m 2m 3 0 ,， 1 m3；2m Z , (m 2m 3) Z ,又函数图象关于原点对称，2 m 2m 3是奇数，m 0或 m 2 .21例 11、求函数 y= x5 +2x5 +4 (x> 32)值域.解析：设 t = X5 ,X> 32,，t > 2,则 y=t 2+ 2t +4= （ t + 1） 2+3.当 t = 一 1 时，ymin= 3. 21，函数 y= X5 +2x5 + 4 （x> -32）的值域为3, +）.点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.五：课后练习Xy=log a的图像可能是（）若a > 1在同一坐标系中，函数y=ax和2.求值4 10.0625+ v61- ( ) 0- 3133 483.卜列函数在,0上为减函数的是（）1A. y x3