建立空间直角坐标系,解立体几何题

1、建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等.常用公式：1、求线段的长度：ABk4x2y2z2,x2x1 2y2y1 2z2z1 22、求P点到平面 的距离：PN 1PM n| , （N为垂足，M为斜足，n为平面 的法|n|向量）|PM n|3、求直线l与平面 所成的角：|sin | , （ PM l , M 为 的法向|PM| |n|量）| AB CD|4、求两异面直线AB与CD的夹角：cos|AB| |CD|1nl n215、求二面角的平面角：|cos | 二, （ n

2、1 ,也为二面角的两个面的法向量）|n1| |n216、求二面角的平面角：cos 号，（射影面积法）7、求法向量：找；求：设 a,b为平面 内的任意两个向量，n （x,y,1）为 的法向量，a n 0则由方程组-，可求得法向量n.b n 0高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、垂直、角、距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直 角坐标系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. （2002年全国

3、高考题）如图，正方形 ABCD ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEFM相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a。a 五）。（1）求MN勺长；(2)当a为何值时，MN勺长最小；(3)当MNR小时，求面MNAW面MN所成二面角a的大小。解：(1)以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为x、y、z轴建立如图所示的空间直角2,22Ta),N(7a'2 a, 0)2mN =(o , a ,2而|',亭1)2管)22 2(a 2)21(0 a 42)2(2)由(1) | MN |-J(a 壬 1所以，当a二二时, 2MN-6.，min 2即M、N分别移动到A

4、C、BF的中点时，MN勺长最小，最小值为v,2O2(3)取MN勺中点 所以AP,MNMN勺长最小时P,连结 AP、BP,因为 AM=AN BM=BN BP!MN / APB即为二面角a的平面角。M(L 0, ),N ( , , 0)2222111 一由中点坐标公式P(1, 1, 1),又A 1, 0, 0), B 0, 2440, 0)PA=(1, -1, -1), PB=(- 1,2442一: 11PA PBcos / APB=PAPB416314，1163面MNAf面MNBff成二面角a的大小为冗1-arccos 一3例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABC此边长为4的正方形，E、F

5、分别是AB、AD 的中点，GCL面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系 由题意 C (0, 0, 0), G (0, 0, 2),C-xyz,E (2, 4, 0), F (4, 2, 0),B (0, 4, 0)GE = (2, 4,-2), GF = (4, 2,-2) , BE = (2, 0, 0)设平面EFG的法向量为n= (x, y, z),则n，GE ,2x 4y 2z 0得 4x 2y 2z 0 ,n ±GF ,GxF坐标系 B-xyz ,由 CM=BN=,aM(a , 0, 1 2令 z=1,得 x=1 , y=1 , 33

6、11即 n = (，_ , 1),33gc在n方向上的射影的长度为BEBE nBE nBE nn= 2 1111AB?C1M = -1例3. （2000年二省一市高考题）在直三棱柱 ABC- A1B1C1中CA=CB=,1 /BCA=90,棱 A A1=2, M、N分别是 AB、A A 的中点。(1)求 BN 的长；(2) 求 cos BA,CB1 ; (3)求证：AiB±GM解：建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,则C(0, 0,0), B(0, 1,0), N/、/、/、/,、11(1, 0,1), A1 (1,0, 2),B1 (0,1, 2), G(0,0, 2), M

7、(- ,2)22X 1+1X 1 +(-2) X0=022A 1B± GM、利用图形中的对称关系建系有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标 系来解题。(1)求 cos BE,DE ;B的平面角，求/ BED。解：（1）由题意D (-a , -a ,。)，BE= (- 3a ,2h2B (a, a, aE (甘(2)记面 BCV%a ,面 DVCM ,若/ BE/二面角 a -VC-例4. （2001年二省一市高考题）如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABC面中心O 为

8、坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz,其中Ox/ BC, Oy/ AB, E为VC的中点，高OV为h 。DE =(3acosBE, DE3a2h)2=BE DEbe，de'3a2h24T T2. 22. 25a h 5ah 24 24C 2,2_ 6a h=2210 a h(2) v V (0, 0, h), C (-a , a, 0) - VC = (a , a, - h )又/BE皿二面角a -VC-B的平面角BE ±VC , DE ±VC2 22即 Be - Vc =3a- 22h22=a2h2 _二0, 2a2=h_22代入 cos BE, DE6a h

9、_ 12210 a h 3即 / BED二:-arccos二、利用面面垂直的性质建系。但是有两个互相垂直的平面，我们可 点的三条直线，建立空间直角坐标系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线, 以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于例5. (2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC-ABG的底面边长为a,侧棱长为V2 a(1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A、C的坐标；(2)求AC1与侧面AB BA所成的角。解：(1)如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA所在直线为z轴, 以经过原点且与ABBA1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得：A (

10、0, 0, 0), B (0, a, 0), A (0, 0,显 a), C (- a , - , 72 a)22(2)取A1B1的中点 M 于是有M (0, - , V2a),连AM、MC有2- 3MC1 = (- -a , 0, 0),且 AB 二(0, a, 0), AA1 = (0, 0, 42 a)由于 MC1 - AB =0, MC1 - AA =0,故 MC平面 AB B1A1。 A C1与AM所成的角就是AC与侧面AB BA所成的角ACi =-旦,2a , 22 a), AM = (0, 22c 2AC11 - AM' =0+a-+2a2 =曳 44AC；|=榨 a2

11、2a3a，AM023a2a = cos AC1, AM9a24= 33a 3 a 22AC1与AM所成的角，即AC与侧面AB BA所成的角为30°。例6. (2002年上海高考题)如图，三棱柱OAB-OAB,平面OBBOL平面OAB/OOB=60,/AOB=9b 且 OB= O®2, OA=/3。求：(1)二面角O-AB-。的大小；(2)异面直线AiB与A Oi所成角的大小。(结果用反三角函数值表示)解：(1)如图，取OB的中点D,连接OD,则QD±OBv平面OBEOL平面OABOiD)±面 OAB过D作AB的垂线，垂足为E,连结 /DEO为二面角O-AB-O的平面角。由题设得ODr'3OA . 21sin / OBA=-=OA2 OB2721DE=DBsinZ OBA17v 在 Rt A ODE 中，tan/DE 0=/7/DE O=arctan 77 ,即二面角 O - AB-。的大小为 arctan 4i。(2)以。为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过点。且与平面AOE®直的直 线为z轴，建立空间直角坐标系。则 O (0, 0, 0), O (0, 1, <3),A(芯,0, 0), A1 (