求数列通项公式的常用方法_(有答案)

1、练习.已知数列an满足a1a a n an 13,/(n2),求此数列的通项公式答案：裂项求和an求数列通项公式的常用方法一、累加法1 .适用于：an 1 an f(n) 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之"o2 .解题步骤：若 an 1 an f (n) (n 2),a2 ai f(1)a3 a2 f (2)则 3所以数列an的通项公式为ann 。' 'L Lan 1 an f (n) n两边分别相加得an 1 a1 f (n)k 1例1已知数列an满足an 1 an 2n 1, ai 1 ,求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 an

2、1 an 2n 1 则an(anan 1)(an 1 an 2) L (a3a2)(a2 a1)a12( n1) 1 2(n 2) 1L (2 21) (2 11)12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12( (n 1) 12(n 1)(n 1) 12n.下载可编辑.评注：已知a1 a, an1 anf(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函2.解题步骤：若an 1an两边分别相乘得,an 1al例2已知数列an满足an 12(n 1)5n an, ai3,求数列an的通项公式。解：因为 an 1 2(n 1)5n an, a13,所以an0 ,则an 1an2(n 1

3、)5n,故数、指数函数、分式函数，求通项 an.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于：an i f(n)an 这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之f(n),则空 f(1),也 f(2),L L ,皿 f(n)ala2annaif (k)k 1_an_ a_1兔也。anL a11) 51 3an 1 an 2a2 al2(n 1 1)5112(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1

4、2n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n2) L 21 3n(n 1)n 1 L -Q-,3 25 2 n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an 3 2n 1 5 2n!.练习.已知an 1nann 1,a11,求数列an的通项公式答案：an(n 1)!(a11) -1an 1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an 1 nan n 1，转化为1 n(an 1)，若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式三、待定系数法适用于an 1 qan f (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数

5、集的一 个函数。1.形如an 1 cand,(c 0,其中 a a型(1)若c=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=0时,数列 an为等比数列;来求.(3)若c 1且d0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列解题步骤:设an 1c(an)，得 an 1can(c1),与题设an 1 can d，比较系数彳导(c 1)d,(c 0)anc 1,所以有：c(an 1 c 1因此数列an 一 ca1 一构成以 cd1为首项，以c为公比的等比数歹U,an所以(aid 、 n 1 cn)can (a1即：c、n 1 d)c n.例3已知数列an中,a11,an 2an 11(

6、n 2),求数列an的通项公式。解：Q an 2an1 1(n2),an2(an 11)练习.已知数列an答案：2,anan中,(2)n11是首项为a12, an 12,公比为211-an 一22的等比数列求通项anan 1 2n,即 an2n 12.形如：an 1P anq（ 其中q是常数，且n 0,1）n若P=1时，即：an1 an q ,累加即可n若p 1时，即：an1 p an q ,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即:P nan(-)bnbn1q ,令 P ,则1 ,P、nbn （）P q ,然后累加求通项.ii.n 1两边同除以q ,目的是把

7、所求数列构造成等差数列。an 1_p 包 1n 1n即：q q q qbn令annq ,则可化为bn 1P h bnqq,然后转化为待定系数法第一种情况来解。.下载可编辑.注意：应用待定系数法时，要求p q,否则待定系数法会失效。例4已知数列an满足an 1解法一（待定系数法）：设an 113n2(an3n 1)比较系数得14, iii. 2 2,n则数列an4 3是首项为a14 35 ,公比为2的等比数歹U,所以an4 3n 15 2n 1 an 4 3n 1 5 2n 1 :n 1解法二（两边同除以 qan 1n 1n 1两边同日中除以3得：32生4c «nN3 33 ,下面解法

8、略解法三（两边同除以an 1n 1n两边同时除以2 得：2an 4 .3.n，（力23 2,下面解法略3.形如 an 1 pankn（ 其中k,b是常数，且0)待定系数法解题步骤:通过凑配可转化为(a nxny) p(an 1 x(n 1)y)比较系数求x、y;解得数列（an xny）的通项公式；得数列 an的通项公式。例5 .在数列 4中,a1 一 ,2an2an 1 6n3,求通项an.（待定系数法）解：原递推式可化为2（an xn y）an1 x(n1) y比较系数可得：x=-6 , y=9,上式即为2bnbn 1所以bn是一个等比数列，首项biai6n 9bn即:an 6n1 c9 9

9、 (2)n1an 9 (-)故26n 9o练习在数列an中,a11, an 13an2n,求通项an. （逐项相减法）解:a n 1 3a n2n, n2 时，an3an 1 2(n 1),两式相减得an 1a n 3(a n an 1 )2.令 bnan ,则 bn3bn知 bn 5 3n 12即 an 1 an5 3n 1 1an再由累加法可得亦可联立an解出23n4.形如 an 1 pan（ 其中a,b,c是常数，且a 0)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例6已知数列an满足an 12an 3n2 4n 5, a1 1,求数列an的通项公式

10、。解：设 an1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)比较系数得x 3,y 10,z 18,所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18),22由 ai 3 110 1 18 1 31 32 0 ,得 an 3n 10n 18 0则 an 1 3(n 1)10(n 1) 18 2,故数列an 3n2 10n 18为以an 3n2 10n 18 2a1 3 110 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1 ,则 an 2n 4 3n2 10n 18。5.形如an 2pan

11、 1 qan时将an作为f(n)求解分析：原递推式可化为an 2 an 1( p )(an 1 an)的形式，比较系数可求得an 1 an为等比数列。例7已知数列 an满足an 25an 16an，a11，a22 ,求数列an的通项公式。解：设 an 2an 1 (5)(an 1 an)比较系数得2,(取-3结果形式可能不同，但本质相同)贝U an 22an 13(an 12an)，则an 1 2an是首项为4,公比为 3的等比数列an 12an4 3n 1n 1，所以an4 35 2n 1练习.数列an中，若a18,a22,且满足an24an 13an0,求an答案:an 11 3n四、不动

12、点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D,若存在f(x)x0 D ,使f(x0) x0成立，则称x0为f(x)的不动点或称(xo, f(xo)为函数f (x)的不动点。分析：由f(x)x求出不动点x0,在递推公式两边同时减去xo,再变形求解。类型一：形如 an 1 qan d例8已知数列an中，a1 1,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为f (x) 2x 1,由f (x) x得，不动点为-1 an 1 1 2(an 1),类型二：形如an 1a an b c an d分析：递归函数为f (x)(1)

13、若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,再将两式相除得an 1 p . an p 苴中 a pc .(a1q pq)kn 1 (a1p pq)k，八十 k，一 an、, n 1,、an 1 qan qa qc(a p)k(a1 q)(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除，得1an 1 pk ,其中k an p2ca d例9.设数列an满足a12, an 15an 4 一 ， 一，求数列an的通项公式.(答案：an2an 7n 14 32n)4 3n 11分析：此类问题常用参数法化等比数列求解解：对等式两端同时加参数 t,得：5an

14、 4 t (2t 5) an 7t2an 72an 77t 4a n2t 5(2t 5)2t2an 77t 42t 5解之得t=1,-2一an t 广代入 an1t (2t 5)得2an 7an 1an 2an 1 1 3, an 1 2 92an 72an 7相除得an 11an 121an1an1口“a11n一，即一是首项为 3an2an2a121 a11公比为1的等比数列，史一1 = 1 31 n,解得an3an2 44 3n 124 3n 11 .练习.已知数列an满足a1 2,an 12a. 1(n N ),求数列an的通项an4an 6答案:an13 5n10n 6五、对数变换法r

15、适用于an1pan(其中p,r为常数)型p>0 , an例10.设正项数列2an 满足 a11 , an 2an 1(n>2).求数列an的通项公式.解：两边取对数得：10g 2n1 2 log 2n1, log 2nbn 2bn 1bn 是以 2为公比的等比数列,nlog an 12n 1 log 2n2n 1 1. an 221 2(logan11),设 bnlog2n1,贝b1 log211 bn1 2n12n11练习数列an中，a11 , an 2Yan 1 (nR2),求数列an的通项公式答案:an22六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例11已知数列

16、an满足an 1 ,a1 1 ,求数列 an的通项公式。“ 一 111解：求倒数得1 an 12 anan 1an 21an1 ,，、-(n 1), an2七、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有Sn,又有anS,n 1分析：把已知关系通过 an转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的Sn Sn 1,n 2方法求解。1 ._例12已知数列七的各项均为正数，且前 n项和Sn满足Sn-(an1)(an2),且a2,a4,a9成6等比数列，求数列an的通项公式。1解：对任思n N有Sn (an 1)(an 2)61，当 n=1 时，S1 a1g 1)(a1 2),解得 a1 1 或 a1261当 n>2 时，Sn 1 -(an 1 1)(an 1 2)6-整