数值计算方法第4章2ppt课件

1、)4(,)(,)3(,)(,)()()(1)2(210221010210221010210101000 xxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxxfxxxfxf得，则点为了提高精度，增加节）式得：式代入（上有一般的，在节点）式得：式代入（nxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf,.,)()(,)(,)()()(3)4(21021021010101000插值公式和余项。上的在节点分别为、其中Newton)()()()()(,.,)().()(,.,).()(.,)(,)()()(010110110110210101000ninnn

2、nnnnnnxxfxRxNxRxNxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf)()()()()(,)()(,)(,)()(,)(,)()()()()()()()(,)()()()()(20202020020201210021210020210121002021010101010010100 xfxxxfxfxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxfxNxfxxxfxfxxxfxxfxxxfxNxfxNnnn可以验证：。的最大值与最小值之间介于其中，故有差商与导数的关系即：因此他们的余式也相等由插值的唯一性知：类似地可

3、以证明nnnnnniinxxxxnfxxxxfxnfxxxxfxxLxNnixfxN,.,)!1)(,.,)()!1)(,.,)(),()(),.2 , 1 , 0()()(10) 1(10) 1(10重点插商为重点插商。为使用方便，我们规定,.,.,.,.,.,101010010010limlimnnnhnhnxxxxfdxdhxxxxfxxxhxfxxxxhxfxxxxxfNewton插值计算插商表1一阶插商二阶插商三阶插商单元号F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)(kxf)(0 xf)(1xfkx0 x1x2x3x)(2xf)(3xf,10 xxf,20 xxf,30 xxf,210

4、 xxxf,310 xxxf,3210 xxxxfnx)(nxf,0nxxf,10nxxxf,210nxxxxf插商表2求Nn(x)n插商表1计算简单，好实现，但数值不稳定。n插商表2在计算机上稳定性好，但算法复杂。n计算Nn(x)常采用秦九韶程序取n=4 例题n在实践运用中 ，常是等距节点情况，即n n 这里h0为常数，称为步长，这时Newton插值公式就可以简化，为此我们引入差分概念。),.,2 , 1 , 0(niihaxi等距节点Newton插值公式n插商与差分的关系n1用前插表示N(x)n 在等距节点条件下有：00101101)()(,fhxxxfxfxxf0100220102102

5、1210!1,.,!21211),),fhnxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxfnnn一般有),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()(,00) 1(10020000hxxfntttnhxRfnntttfttftfthxNxNNewtonthxxnnnnnn式插值公式和余式具有形则若令2用后插表示N(x) 同样有：插值公式为：则到排序为：如果将节点,.,).()(.,)(,)()()(,.,.,0111121110110 xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNNewtonxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

6、nnnnnnnnnnnnnnnnnnfhnxxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxffhxxxfxfxxf!1,.,!21211,1)()(,011221221121111一般有),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()() 0() 1(12nnnnnnnnnnnnnnxnhxfnsssnhxRfnnsssfssfsfshxNxNsshxx则一般取若令例题000191. 0,000886. 0,003992. 0018033. 0,081450. 0,367879. 0000191. 0,001077. 0,005955. 0,032858. 0,1

7、81269. 0, 155545352550504030200ffffffffffff而：即：nLagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的函数值相等，也就是保证了函数的延续性，但不少实践问题还需求插值得光滑度，也就是还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶数越高那么光滑度越高。现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交通具的外形，就是参照海豚的标本上知点及知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的外形制成飞机、汽车等外形。Hermite插值多项式n构造H(x)njjjjnjjiiiiiiiifxyxxHnifxfxHxfxHxHnixffxfyxii00)()()(),.2, 1 ,0()

8、()(),()()(),.,2, 1 ,0()(),(令满足希望，已知ijijxnixnixijijxLagrangeiijiijjj01)(4,.2, 1 ,00)(3,.2, 1 ,00)(201)(1）（）（）（）（插值函数我们设想由?)(?)(xxjj如何求0)(, 1)()(.)()(.)()(0:)()(.)()(.)()(0:)(11101110jjjnjjnjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxjjjjjjj而为一次多是项式。次多项式，故是由于所以令的二重零点。是则)(12)()()().()().()()().()().()()()()()(,.,.,222121212

9、02212121201110 xCnxHxlxCxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCxxxxxxxjnjjjjjjjnjjjjnjj)()()()(2xlBAxxBAxxCjj即令0)()(2)()(2)()()(0)()(10)(, 1)(22jjjjjjjjjjjjjjjjjjxlBAxAxlxlBAxxAlxBAxxlBAxxxjj即得：由)(21)(20)()(21jjjjjjjjjxlxBxlAxlBAxABAx得由)()()(21 ()()(21)(2()(22xlxlxxxlxlxxxlxjjjjjjjjjjj故得：由同理可得)()()(2xlxxxjjj)()()(,)

10、(,.,.,1)(, 0)(0)(.)()(.)()(0)(.)()(.)()(211101111011110 xlDCxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxjjjnjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以设的二重零点是知道)()()(11)()()(2)()(0)(22xlxxxxDCxlxlDCxxClxDCxxjjjjjjjjjjjjjjjj所以解得：算法实现).()(.).()().()(1)(),).()().()(1)()(11213132020102100nnnnnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxAxlxxxxxxAxxxxxxAxlxl则其中例如：）首先如何实现（nijnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxAxl1002010102010030100302000)(1)(1.)(1)(1).()(.).()().()(1)(所以有njiijnjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxl101110)(1)(1.)(1)(1.)(1)(1)(不是一般性算法4.3.1Hermite插值余项特例n=1)2112111111313111331)()()21()()()21()()()()()(:)(,)()()(,)()()(,1131