用放缩法证明不等式

1、利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：(1)先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列an4的刖n项的和Sn- a32n1,2,3,|M。设 Tn ,n 1,2,3,|证明:nTi3。i 12证明：易得Sn2 _ n 1_ n _3(21)(21)，Tn3_2 (2n2n1 1)(2n 1)312(2n 12n11)，nTi i 112i 1_127T1) 1(2122 1122 1，) 2n1 13，2 21 1，) 2

2、n 1 1点评:此题的关键是将2n(2n 1 1)(2n裂项成1)12n 11一1,然后再求和，即可达到目标。2n 1 1(2)先放缩通项，然后将其裂成n(n3)项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩0例 2已知数列an和bn满足 a12, an1an (an1 1),bnan 1 ,数列bn的前n和为Sn ,nS2n Sn ；(I)求证：Tn 1Tn ；(II )求证：当n 2时，S2n7n 1112证明：()Tn 1 TnIII12n 2(六III12n1112n 1 2n 2 n 11(2n 1)(2 n 2)，Tn 1+ I(II ),n 2,S2nS2nS2n 1S2S1S1T2n1

3、T十 | T2 T1 S由(I)可知 Tn 递增，从而T2n1T2n2IIIT2,又 T11,S11,T2,212717n 11S2nT2n 1T2n 2IT2T1S1(n1)T2T1S1(n 1) 112212即当n 2时，S2n7n 11o12点评：此题（II ）充分利用（I）的结论，Tn递增，将S2n裂成S2nS2n 1S2n 1S2n 2 |S2Si的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法:放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列 an的首项为a13,点an,an 1在直线*3x y 0(n N )上。若 Cn log 3 a3

4、2(n * _ _N ),证明对任意的n N(1 9T)i卜1+Cn)33n 1恒成立.证明：cn 3n（台3n 13n 3n 1 3n 13n2 3n 1 3n3n 2一,11所以(1)(1+)C1C24 73n_J1 43n 23n 1即(1 一)(1+一)III (1+一)V3nC1C211Cn点评:此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式,右边是三次根式,立方后比较更容易处理。1(1+)Cn3nle （3）3可以看成是三个假分式的乘积,3n 2保持其中一项不变,另两项假分数分子分母同时加1,3n 1 3 3n 1 3n 3n 12,则积变小，()3n 2 3n 2 3n 1 3n从而达

5、到目标。3n 1 一3n 1 , , ,一，必，而通项式为必的数列在迭乘时刚好相消,3n 23n 23、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列xn满足,11x1 T,xn 1：, n N *21 xn，证明:|xn 1,2 n 1(5)0证明：当n 1时，|xn 1Xn |,.1|x2 x1 | -,结论成立。6当n 2时，易知oxn 11,1xn 12,xn1 xn 1xn )(1xn 1 )(1xn 1)(1 xn1)2xn 11|xn 1 xn | | ；1 xn1 xn 1|xnxn 1 |(1xn )(1 xn 1)5|xnIB/ 2 n 11 2

6、n 1(二)|x2 x1 | 二(二)56 5点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列an的各项均为正数，且满足aian2an2(n N，记 bn an an 1an,数列bn的前n项和为xn ,1且 f (xn) xn , 2(I)数列bn和an的通项公式;(II )求证:f(x1) f(x2)f %)f (x3)IIIf (xn)f(xn 1)略解:(I)bn2n,f (xn)2n证明: )f(xn)f(xn1)2n2n 12nn2(2f(x1) f (x2)f d)f (x

7、3)III小1 (xn 1)f(xn)f(xn 1)2n 12n 1 112(2n 11)1 _2 2n 1(2n 1 2)f (X)f 乂)f(x2)fU)IIIf(xn)f (xn 1)(223111 却=2112(1 牙)反思:f (x1)f (x2)f J2)f J3)IIIf (xn)f(xn 1)右边是n,感觉是n个1的和,而中间刚好是 n项,一 一2n 11, . n 1,所以利用2 1 11 ；左边是n不能用21 22同样的方式来实现,n 1.2n 11一一(f(n)( f (n) 0),试着考虑将 F一缩小成一Cn(Cn是等比数222n 1 12列)，从而找到了此题的突破口。

8、5、二项式定理放缩法:在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型:(1)部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。例6已知数列an满足a1 a (a 2) , an(4n 6)an 4n 102n 12n 1(I)证明数列 a-2是等比数列，并求出通项110(n )如果a 1时，设数列 an的前n项和为Sn,试求出Sn,并证明当-1n 3时，有&-S3Ill略解：an(a 2)(2n 1) 2n 12 ( n N ),则 Sn(2n1)(2n 1).0n012 C n C nn 1CnSn因此,n 3时，2n(2n 1)(2n1

9、S3III_ 0_ 1Cn Cn,11),则Snn (n 1)Cn11X12(5最后通过放缩很可能变成10S3Cn2(n 1)，则 2n 1(2n 1)(2n 1)1) (11)7) (7 9),，一 1到将一Sn2n12n 1(乙+)2n 1110(2n 1)(2n 1)(2n 1)(2 n 1)1 ,因为要证明111二，而三S310S4I”是一个数列前n项的和,Snf(n)(f(n)0)的形式1,11,而一应是由放缩后裂项而成， 10S3 3 71351,11、1(-)，一2 3 5Sn(2n 1)(2n 1)(2n 1)(2 n 1)111, , r ,1 ( ),此时刚好得到2 2n

10、1 2n 1in SSI1(12 5 2n 1),接下来就要处理2n 1 2n 1 ,想到用二项式定理。10(2)完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列an的前n项和为Sn,且对任意的n N * ,都有an 0,Sn 荷a3-1a3 . 求a1，a2的值；(II )求数列an的通项公式an； (III )证明：ann 1 ann a；n1。略解：(I ) (II ) a11,a2 2, ann ；n 012 23 3证明(III ) (1 x) Cn Cnx CnxCnx |“，(1x)nCnC：x CnX2 C3x3(1x)n(1x)n 2C：x 2C3x32c

11、5x5|2C：x2nx,令 x -,2n1c 1 n则有(1)n(1)n1,从而(2n1)n(2n)n (2n 1)n，即a:1a21nann1。2n 2n点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时,定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商）,再进行放缩。例8在单调递增数列an中，a1 1 , a2 2 ,且a2n 1 , a2n 等比数列，n 1,2,3,.,a2n 1 成等差数列，a2n , a2n 1 , a2n 2 成（I）分别计算a3, a5n a4, a6的值；（II

12、 ）求数列an的通项公式（将an用n表示）；（III ）设数列工的前n项和为Sn ,证明:Sn略解：（I）证明：（IIIan4nn 2(n 1)(n 3)(II )得 a3 3,1II ),得一a49一，a526,a682(n 2)2,n为奇数n为偶数an(n 1)( n8(n 2)2一,n为奇数3）n为偶数显然,S1ai当n为偶数时,Sn4n162IIIIIIn (n 2)1当n为奇数综上所述,点评:8 HIn (n12)2(n 2)21n(n 2)4nn 24nn 23)时,Sn4n1 2Snan4nn 24(n 1)(n 1) 2(n 1)(n 3)0,即Sn(n4nn 2此题在作差比较

13、中实施裂项放缩,1)(n 2)(n 3)0.进而得到最后结果小于4nn 24nn 2(n 1)(n 3)4nn 20,从而得证。7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。2111 ，一例9设函数f(x) x bln(x 1),其中b 0.证明对任意的正整数 n ,不等式ln 1都n n n成立.111分析：欲证上述结论，直接作差比较ln - 1(-1 二)，无从下手；接着想到令23n n n111一，g(n) ln 1 1(2 、)，判断函数g(n)(n N*)的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能n n n1计算g(n 1) g(n),其结果还是很难处理；

14、联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令1 x (0,),n 判断函数h(x) x3 x2 ln(x 1)(x 0)的单调性，如果在 (0,)单调，则函数 g(n)也单调。(4)二项式定理放缩：如 2n 1 2n 1(n 3)；解：令函数h(x)x3 x2 ln(x 1) x3 x2 ln(x 1),则 h(x)3x22x x 13x3 (x 1)2x 1当x0,时，h(x) 0,所以函数h(x)在0,上单调递增,x (0,.23)时，恒有h(x) h(0) 0,即x x ln(x 1)恒成立.231_故当x (0,)时，有ln(x 1) x x ,对任意正整数n取x - (0, n、.，1

15、 ,11),则有 In 1 n nn、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式:(1)根式的放缩:111k k 1 2k . k k 1(2)在分式中放大或缩小分子或分母:1112(kk(k 1) k k(k 1)2)；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如n n 1;n 1 n2n 1 2n2n 2n 1(3)应用基本不等式放缩:n n 2n 2

16、 n(5)舍掉(或加进)一些项，如:| an a1 | | a2 a1 | | a3 a21|an an 1 |(n2)。4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度， 不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点,只有这样，才能使问题迎刃而解。再看例2,若构造函数f (n)S2n(1则 f(n 1) f(n) (1112n 1 2n 2III2n前后不等号不一致,不能确定S2n(1f (n1)(12n12122n n -III1212n12n2122nIII122n 1_12n2n少17n 1812f(n)的单调性,f(n) (12n(1III121

17、 7n 112n13III121(n N*),2n7 112 277n 1112 )此时放缩过当,131一2IIIIII12n 1_121212此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明n 3)_ 12n 20,所以 f(n 1) f(n),从而 f(n)(n N*)递增，f (n)f(1) 1所以S2n (1 n)成立，此时用单调函数放缩法可行。22同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。5、放缩法的策略以及精度的控制例10已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1an 2SnSn 1 0(n 2)。一 1(I)数列一是否为等差数列并证明你的结论; Sn(II )求Sn和an；(iii)求证：

18、s.2s1S3IIIS2 1n 2简解:(1) (2) Sn1丁，an2n2(n1)(3)证法一:1 时，S12S2S2IIIS2(n 2)2n(n 1)1冷、 一成立;22,S2” 1(一4n 4 n111(n 1) n111 1(14 44(11) n综上所述，S12SiS3III S2证法二:Sn14n214n2 1(2n 1)(2n 1)九n 1九)S2S2S32IOS21 - 1-(1 -23111I。22n 1 2n 12n 1一 一、.1 1，一，点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将 二 放大成 一21一，需从第二项起，要分类 4n 4n 4n1 12211 1讨论；而方法一是将 2放大成 2。 明显 4n 1比 4n 4n大很多，2比2更接近2 ,4n 4n 14n 1 4n 4n 4n从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，精确