数列前n项和的求法总结

1、数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公 式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注 意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。公式法(1)等差数列前n项和:?=竺/)=? + 中？等比数列前n项和：？=?时，？?？=?;一? (?- ?)?"?时，?=" ?. ?(3)其他公式:? =?+?+?+? + ?= ?(?+ ?)? = ? + ? +? = ? + ? +”?+ ? + ?= ?(?+ ?)(?+ ?)“?”?+ ? + ?= ?(?+ ?)?解：点 显的看 差数

2、列， 把两个练习:例题1:求数列？方，？方，？煲，(？+?), 的前n项和S=(14"3，一.工力乜5十十后十不拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明 出：这个数列可以分解成两个数列，一个等= 止J + 1之一个等比数列，再分别运用公式求和，最后21数列的和再求和。il(il + 1)1=14 2 2n二.倒序相加法如果一个数列a n,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒 着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索具因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知 识的工具，例如：等差数列前 n项

3、和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1:设等差数列an,公差为d,求证：an的前n项和Sn=n(ai+an)/2解：Sn=ai+a2+a3+.+a n倒序得：Sn=an+an-l+an-2+ai CD +(2)4tf: 2s=(ai+a)+(a 2+an-i)+(a 3+an-2)+,+(an+ai)又 ; a i+an=&+an-i =a3+an-2- =an+ai28=n(a2+an)Sn=n(a+a)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助 ai+an=a2+an-i=a3+an-2=an+ai即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数 列的重要

4、性质来实现的。练习：(1)三.裂项相消法裂项相消法 是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而 求出数列的前n项和。修+12r 二1 1 1 . 十：二十；二二十十- * .一 例题 3:求数列I? 1 + 2 + 3l+2+. + n(nCN)的和解:点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后, 中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可四.错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即 若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的 两边同乘以公比，再与 原式错位相减整理后

5、即可以求出前 n项和。例题4:求数列nan(n CN*)的和解：设 S=a+2a2+3a3+nan+1)若 a=1 则：Sn=1+2+3+ +n= 2若 awl 贝U: aS=a2+2a3+(n-1)a n+nan+1 s 心"*：-得：(1-a)S n=a+m+a3+an-nan+1 贝U： " d练习：(1)(2)(3)求：?= ?+ ?+ ? + ? + (?- ?)?- ?.解：?= ?+ ?+ ? + ? + (?- ?) ?- ?，两边同乘以X,得? = ?+ ? + ? + ? + (?- ?)?-得，(？- ?) ? = ?+ ?(?+ ?+ ?+ ? +

6、?)- (?- ?)?再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列an满足an+i=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件 下，可把这个式子变成an+i-an=f(n),代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起， 经过整理，可求出an,从而求出Sno例题5:已知数列6,9,14,21,30,其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。角单:- 2 2-a i=3,a 3-a 2=5,a4-a 3=7，,a n-a n-i =2n-13+C2n-1)*x (tl- 1) = n -1把各项相加得：an-a i=3+5+7+ +(2n -1)=2 . an=n2-

7、1+a产n2+5n(n+L) (&n + l) . S n=12+22+n2+5n=6+5n点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了 12+22+n2=n(n-l-l) (2n +1)片因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，冉将其合并。例题 6:求 S=12-2 2+32-42+- +(-1) n-1n2(n N*)解：当 n 是偶数时：S=(12-2 2)+(3 2-42)+.-1) 2-n2n (1 + nJ=-(1+2+-+n)=-

8、2当 n 是奇数时：S=(12-22)+(3 2-42)+ - +(n -2) 2-(n-1) 2+n2=-1+2+(n-1)+n 2=-竽资7? I ? ?综上所述：？ = (- ?)?+?不？(？+ ?)点拨：分组求和法的实质是：将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列，分别求和。练习：(2)作业：1 .已知等差数列?,其前n项和为？?，且？?4= 9, ?5= 35.(1)求数列?得通项公式；(2)若?？ = 2? ?+ n,求数列?的前n项和为？?.(错位相减法)2 .设数列?满足？?i + 3?2+ 32?3+ ? + 3?- 1 ? = ?, n CN?.(1)求数歹I?得通项公式；(