初三数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及答案

1、初三数学反比例函数的专项培优 易错难题练习题(含答案)及答案、反比例函数k1.如图，直线y=-x+b与反比例函数 y= J1的图象相交于 A (1, 4) , B两点，延长 AO交反比例函数图象于点 C,连接OB.(1)(2)(3)x的取值范围;求k和b的值；直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量在y轴上是否存在一点 P,使Sa pac=S Saaob?若存在请求出点P坐标,若不存在请说明理由.【答案】(1)解：将A (1, 4)分别代入y=-x+b和 式得:4=-1+b,k4= 1 ,解得:b=5,(2)(3)k=4解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x> 4或解

2、：过 A作ANx轴，过B作BMx轴， 由(1)知，b=5, k=4,0 V XV 14=一，直线的表达式为：y=-x+5,反比例函数的表达式为：一工.5 =由x ,解得：x=4,或 x=1,B (4, 1),11、 产同“广%二 v =景"+瓦工小=百(1 M)0二干出C 一2一，2 155皿 c = 3过A作AEL y轴，过C作CDy轴，设P (0, t),/.Sapac= O OP?CD+ ? OP?AE= O op (CD+AE)=|t|=3 ,解得：t=3, t=- 3,.P (0, 3)或 P (0, - 3)【解析】 【分析】(1)由待定系数法即可得到结论；(2)根据图象

3、中的信息即可得到结论；(3)过A作AMx轴，过B作BNx轴，由(1)知，b=5, k=4,得到直线的表达I 44r =-K + 5 - -式为：y= - x+5,反比例函数的表达式为：1列方程d ,求得 B (4,1115£ 色总曲:总西透意硼超-电V #- -(I + 4) XJ=T1),于是得到？2,由已知条215 F* =二 X = 3 一 、一件得到52,过A作AELy轴，过C作CD, y轴，设P (0, t),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.1k2.如图，已知一次函数 y=二x+b的图象与反比例函数 y= i (x<0)的图象交于点 A (1, 2)和点B,点

4、C在y轴上.(1)当4ABC的周长最小时，求点 C的坐标； / k(2)当k x+bv时，请直接写出x的取值范围.【答案】(1)解：作点A关于y轴的对称点A',连接A控y轴于点C,此时点C即是所 求，如图所示.;反比例函数y= a (xv0)的图象过点 A(-1, 2),.k=- 1 x 2=2,反比例函数解析式为 y=-(xv 0);一次函数y= ± x+b的图象过点 A ( - 1, 2),口A2=-二 +b,解得：b=，一次函数解析式为 y=，x+二.-x联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组:解得:.点A的坐标为(-1, 2)、点B的坐标为(-4,上)点A与点A

5、关于y轴对称，点A'的坐标为(1,2),设直线A由勺解析式为y=mx+n,at -则有n =J6直线A'的解析式为y=x+令 y=x+中 x=0,则 y=",.点C的坐标为(0,(2)解：观察函数图象，发现：当xv-4或-1vxv0时，一次函数图象在反比例函数图象下方,，当x+二-第时，x的取值范围为 XV- 4或-1VXV0【解析】【分析】(1)作点A关于y轴的对称点A,连接A' B交y轴于点C,此时点C即 是所求.由点 A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的 坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，

6、解方程组 即可求出点 A、B的坐标，再根据点 A'与点A关于y轴对称，求出点 A'的坐标，设出直线 A' B的解析式为y=mx+n,结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A' B的解析式，令直线A' B解析式中x为0,求出y的值，即可得出结论；(2)根据两函数图象的上下关系结 合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集.(k>0)上的点，过点 P作直 (a>m).设4OPA的面积为3.已知：O是坐标原点，P (m, n) (m>0)是函数 y= -1 线PA!OP于P,直线 PA与x轴的正半轴交于点 A (a, 0)s,且 s=1 + I(

7、1)当n=1时，求点A的坐标；(2)若 OP=AP求k的值；Ld(3)设n是小于20的整数，且kw2 ,求OP2的最小值.【答案】(1)解：过点P作PQ, x轴于Q,则PQ=n, OQ=m,当n=1时，s=一 a=(2)解：解法一：.OP=AP, PAI OP, OPA是等腰直角三角形.m=n=二.1-1+ 4 =？an.即 n4- 4n2+4=0,.k2 4k+4=0,.k=2.解法二：-. OP=AP, PAL OP, OPA是等腰直角三角形. . m=n .设4OPQ的面积为sis 11 n4则：si= 一，二?mn= 11+ / ), 即：n4 - 4n2+4=0,.k2 4k+4=0

8、, .k=2.(3)解：解法一：.PA! OP, PQ± OA, .OPQAOAP.国空设: OPQ的面积为si ,则s =/ 学 I,*ft + / Jj 4仃+ 一, rf L'小7 =/化简得： 化简得：2n4+2k2 kn4 - 4k=0(k-2) ( 2k- n4) =0, n4k=2 或 k=(舍去)，当n是小于20的整数时，k=2.k2OP2=n2+m2=n2+ "又 m>0, k=2,n是大于0且小于20的整数.当 n=1 时，OP2=5,当 n=2 时，OP2=5,昌 A H当 n=3 时，OP2=32+ 学=9+ =方，当n是大于3且小于2

9、0的整数时，即当n=4、5、6-19时，OP2的值分别是：444| 742+，、52+ 乎、62+ 庚19+ 高,-192+ /第 >182+ £ >32+ 学 >5,OP2的最小值是5.【解析】【分析】(1)利用4OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；(2)由已知OP=AP, PAI OP,可得4OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于 n的方程，转化为k的方程，求出k； (3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达 OP2，,在n的范围内求出OP2的最值.4.如图，一次

10、函数y=kx+b的图象交反比例函数y= M (x>0)的图象于 A (4, -8)、B(1)(m, -2)两点，交x轴于点C.求反比例函数与一次函数的关系式；(2)(3)P为顶点作平行四边形，请直接写出点P的坐标.根据图象回答：当 x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?【答案】(1)解:.反比例函数y= x (x>0)的图象于A (4, -8),k=4 2-8) =-32.,双曲线y=熬过点 m=16.B (m, -2),由直线y=kx+b过点A, B得:解得,反比例函数关系式为,一次函数关系式为(2)解：观察图象可知，当0vxv 4或x> 16时，一次函数的值大于反比

11、例函数的值(3)解：.O (0, 0) , A (4, -8)、B (16, -2),分三种情况： 若OB/AP, OA/ BP,. O (0, 0) , A (4, -8),，由平移规律，点 B (16,-2)向右平移 4个单位，向下平移 8个单位得到 P点坐标为 (20, -10); 若 OP / AB, OA / BP,. A (4, -8) , B (16, -2),，由平移规律，点 O (0, 0)向右平移12个单位，向上平移 6个单位得到 P点坐标为 (12, 6); 若 OB/ AP, OP/AB,- B (16, -2) , A (4, -8),，由平移规律，点 O (0, 0

12、)向左平移12个单位，向下平移 6个单位得到P点坐标为(- 12, -6);以O, A, B, P为顶点作平行四边形，第四个顶点 P的坐标为(12, 6)或(-12, -6)或 (20, -10)d【解析】【分析】(1)将点A (4, -8) , B (m, -2)代入反比例函数y=x (x>0)中，可求k、a;再将点 A (4, -8) , B (m, -2)代入 y=kx+b中，列方程组求 k、b即可；(2)根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的范围；(3)根据平行四边形的性质，即可直接写出.5 .阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求

13、最大(小)值。对于任意正实数a、b , 可作如下变形a+b= 8&的彳=沁，广关户-大法+ 一丸=73i+入口，又.笛 伪却. . «+队/员封0+口，即十小 其国.(a、b均为正实数)中，若定值p ,则a+b>A/Q ,当且仅当a、b满足ab为时，a+b有最小值AR .(2)思考验证：如图1, AABC 中，/ACB=90, CD,AB,垂足为 D, CO 为 AB 边上中线，AD=2a , DB= 2b,试根据图形验证 理在3,成立，并指出等号成立时的条件.所以DE最小值为8,此时 S四边形adfE=(4+3) =28.(3)探索应用：如图 2,已知A为反比例函数

14、, ；的图象上一点，A点的横坐标为1, 将一块三角板的直角顶点放在 A处旋转，保持两直角边始终与 x轴交于两点D、E, F (0, -3)为y轴上一点，连接 DF、EF,求四边形 ADFE面积的最小值.【答案】(1) a=b(2)解：有已知得 CO=a+b,CD=2v ,CC»CEW|h + b >2b .当D与。重合时或a=b时，等式成立.川翩.§靖山"* 5皿:- /工修OF)(3)用牛.-，当DE最小时S四边形ADFE最小.过A作AHx轴，由(2)知：当 DH=EH时，DE最小，【解析】【分析】(1)根据题中的例子即可直接得出结论。(2)根据直角三角形

15、的性质得出CC=a+b, CD=A/0,再由(1)中的结论即可得出等号成立时的条件。(3)过点 A作AHx轴于点H,根据S 四边形adfe=Sa ade+Sx fde , 可知当 DH=EH时 DE最 小，由此可证得结论。k6.如图，一次函数 y=-x+3的图象与反比例 y=1(k为常数，且kw。的图象交于 A (1, a) , B两点.0' x(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解：二点A (1, a)在一次函数y=-x+3的图象上，.a= - 1+3=2,，点 A (1, 2).;点A (1,

16、2)在反比例y= * (k为常数，且kwQ的图象上，.k=1 X 2=2 反比例函数的表达式为y=.联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得:，点 B (2, 1)(2)解：作B点关于x轴的对称点B' (2, - 1),连接AB,交x轴于点巳连接PB,如 图所示., 点B、B关于x轴对称， .PB=PB.' 点A、P、B三点共线， 此时PA+PBa最小值.设直线AB'的函数表达式为 y=mx+n (mO),将 A(1, 2)、B(2, - 1)代入 y=mx+n,:辨+ n = 2m - J二，解得：'5 ,直线AB的函数表达式为 y= - 3x+5.a当 y

17、= 3x+5=0 时，x= 3 ,0，满足条件的点P的坐标为(，0).【解析】【分析】(1)将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点 A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；(2)作B点关于x轴的对称点 B'(2, - 1),连接 AB,交x轴于点P,连接PB,由两点之间线段最短可得出此时PA+PB取最小值，根据点 A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.7.已知：如图，在平面直角坐标系2OC=2W, sin

18、/AOC=,反比例函数y=1的图象经xOy中，点 A在x轴的正半轴上，点 B、C在第一象限，且四边形 OABC是平行四边形, 过点C以及边AB的中点D.c £(1)求这个反比例函数的解析式;(2)四边形OABC的面积.C作 CMx轴于 M,则/CMO=90 ,.OC=2'二sin / AOC= Ct.MC=4,由勾股定理得:OM=2,.C的坐标为(2, 4),代入y=工得：k=8,所以这个反比例函数的解析式是y= (2)解：过B作B已x轴于E,贝U BE=CM=4, AE=OM=2,过 D作DNx轴于N,.D为AB的中点，9,.DN=-x2=2, AN= -=1,把y=2代入

19、y=工得：x=4, 即 ON=4,，OA=4 - 1=3,，四边形 OABC的面积为 OAX CM=3X 4=12【解析】【分析】（1）过C作CM，x轴于M,则/CMO=90 ,解直角三角形求出 CM,根 据勾股定理求出 OM,求出C的坐标，即可求出答案；（2）根据D为中点求出DN的值， 代入反比例函数解析式求出ON,求出OA,根据平行四边形的面积公式求出即可.8.如图，已知直线 l: y=kx+b （k<0, b>0,且k、b为常数）与 y轴、x轴分别交于 A J点、B点，双曲线 C: y= I （x>0）.圄1图2度3（1）当k=- 1, b=2 W时，求直线l与双曲线C

20、公共点的坐标；（2）当b=2 < 以时，求证：不论 k为任何小于零的实数，直线 l与双曲线 C只有一个 公共点（设为P）,并求公共点 P的坐标（用k的式子表示）.（3）在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等.若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由； 若直线l与双曲线C相交于两点Pi、P2 ,猜想并证明PiA与P2B之间的数量关系. y = 一 x 十 23（1） /3【答案】（1）解：联立l与C得 ,»尸 ，-，得-x+2 1 丁 - 1 =0化简，得 x2- 2x+3=0解得 Xi =x2= ,，y1 =y2= J ,直线l与双曲线C公共点的坐标为（工）y 二心十乐

21、- 3k' v =-（2）解：证明：联立l与C得 , 工-，得kx+2 n-' =0,化简，得kx2+2 x- 3=0,a=k, b=2/，芸，c=-3, =b2-4ac= (2 豕)2-4kx( -3) =12k- 12k=0, .kx2+2 V或x-3=0只有相等两实根，即不论 k为任何小于零的实数，直线 l与双曲线 C只有一个公共点；x=-4,y=V 网即 P (- k , V 困)(3)解：PA=PB,理由如下: y=kx+b 当 x=0 时，y=b,即 A (0, b);b|心当 y=0 时，x= - A ,即 B ( 一 |* , 0),PB=n ,PA=PBP i

22、A=P2B,理由如下：y=kx+b 当 x=0 时，y=b,即 A (0, b);bb当 y=0 时，x= - A ,即 B ( 一 |* , 0),y - kx # b(L f 3 J 1一 联立l与C得1,-，得kx+b - A =0,化简，得kx2+bx- 3=0,-b +. 12k b4府 + /£解得Pi (二牛,二'b - J或£闾3 )- b+1我 | " b +'务十/比PiA2=()2+(W'b - W -j2#(?) 2 ,. PiA2=P2B2 , - b -阐P2 (2kb - J-十到P2B2=(. PiA=P2B

23、【解析】【分析】(1)根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；(2)根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；( 3)根据函数与自变量的关系，可得 A、B点 坐标，根据两点间距离公式，可得答案； 根据函数与自变量的关系，可得 A、B点坐9.如图1,抛物线y=ax2-4ax+b经过点A (1, 0),与x轴交于点B , 与y轴交于点 C ,且 OB=OC.标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的 坐标，根据两点间距离公式，可得答案.(1)求抛物线的解析式；(2)将4OAC沿

24、AC翻折得到4ACE ,直线AE交抛物线于点P ,求点P的坐标；(3)如图2,点M为直线BC上一点(不与 B、C重合)，连 OM , 将OM绕O点旋转 90°,得到线段ON ,是否存在这样的点 N ,使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)解：由题意知：抛物线的对称轴为： x=2,则B (3, 0);已知 OB=OC=3 贝U C (0, -3);设抛物线的解析式为：y=a (x-1) ( x-3),依题意有：a (0-1) ( 0-3) =-3, a=-1;故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3.(2)解：设AE交y轴于点F;OF 0A

25、1易证得FOAFEC ,有4 CE 3 ,设 OF= x ,贝U EF= 3x , 所以 FA= 3x - 1 ;在RtFOA中，由勾股定理得:(3x- 1) 2= x2+l,解得x=;即 of= :， F (0,求得直线AE为y = - x x+联立抛物线的解析式得:15 x- -N=/解得,，-6;.533BKKBI- SBBBA故点 P ( / ,16 )(3)解：.B (3, 0) , C (0, 3),. .直线 BC: y=x - 3;设点 M (a , a-3),则： 当点M在第一象限时，OG= a , MG=a-3;过M作MGx轴于G ,过N作NHx轴于H;丸/刈根据旋转的性质

26、知：/MON=90°, OM = ON ,则可证得 MOGNOH ,得： OG= NH=a , OH=MG=a-3, 故 N (a- 3, - a),将其代入抛物线的解析式中，得： -(a - 3) 2+4 (a-3) - 3=-a , 整理得：a2- 11a+24 = 0,a = 3 (舍去)，a=8;故 M (8, 5) , N (5, - 8). 当点M在第三象限时，OG= - a , MG=3 - a；同 可得：MG=OH=3-a , OG= NH= - a ,则N(3-a , a)，代入抛物线的解析 式可得：-(3- a) 2+4 (3-a) - 3=a , 整理得：a2-

27、a=0,故 a=0, a=1; 由于点M在第三象限， 所以a<0,故a=0、a=1均不合题意，此种情况不成立； 当点M在第四象限时，OG= a , MG=3-a；同 得：N (3-a , a),在 中已经求得此时 a = 0 (舍去)，a=1;故 M (1, - 2) , N (2, 1);综上可知：存在符合条件的 N点，且坐标为N (2, 1)或(5, - 8).【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点 B的坐标，已知 OB=OC,即可彳#到点 C的坐标，从而利用待定系数法求得 抛物线的解析式.(2)点P为直线AE和抛物线的交点，欲

28、求点 P,必须先求出直线 AE的 解析式；设直线 AE与y轴的交点为F,易得FOAsFEC由于OA=1, EC=3,根据相似 三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF设OF=x,则EF=3x, AF=3x-1,进而可在 RtA FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点 P的坐标.(3)此题应分三种情况讨论：当点M在第一象限时，可设 M (a, a-3),由于 ON是由OM旋转90°而得，因此4OMN是等腰直角三角 形，分别过 M、N作 MG、NH垂直于 x轴，即可证得 OMG0NOH,得 MG=OH, NH=OG,

29、由此可表示出 N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；当点M在第三象限，点M在第四象限时，解法同 .10.(1)如图1所示,在小JABC中，ZACB =底厂，忸e 瓦，点区在斜边面上，点E在直角边BC上，若4班犷，求证：141卬 JS% .(2)如图2所示，AD AD在矩形ABC'L中，AB 沁® , BC ，仇建，点仍在质上，连接AE ,过点区作上F上班交Q (或磔的延长线)于点H.若跖反=i：9,求仃的长；若点产恰好与点区重合，请在备用图上画出图形，并求 右且的长.【答案】(1)证明：在依.中，6 =缈丁匕 田，AB BE无一无. B£

30、:FC = J：Si,AB BE 4 j.1'£ 4，即x J ,整理，得：A- 101/布一 6,解得：打-,史-占，所以血的长为然M或&亚.【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明上斯- ACD即可证得结论；（2）仿（1）题证明艮恒Jm,再利用相似三角形的性质即可求得结果；由得J64F “ 3C建 设BE =斤si根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.11.请完成下面题目的证明.如图 ，AB为。O的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线 AB对称的两个点，连接OC,AC且/ BOC<90°,直线BC与直线AD

31、相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点 F与直线AD相交于点G,且/GAF=/ GCE（1）求证：直线CG为。的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH,满足CB=CH求证:CBH 4030求0H+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：/ CAB=/ GAF,.AB是。的直径， / ACB=90 °1.OA=OC,Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=/ GCE / GCE吆 OCB=Z OCA+Z OCB=90 ； OC是。的半径，直线CG是。的切线；（2）证明：CB=CH/ CBH=Z CHB, .OB=OC,/ CBH=/OCB, .CBHAOBC 解： 由CBHOBC可知： BC 感 oc sc .AB=8, BC2=HB?OC=4HB 处.HB= / , 4.OH=OB-HB=/ .CB=CH 8d 4+ BC .OH+HC=/当 / BOC=90 , 此时BC=' / BOC< 90