最新辽宁省沈阳市辽南协作校高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

1、2018-2019学年辽宁省沈阳市辽南协作校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1 .在复平面内，复数 z 2 i所表示的点在第（）象限.A. 一B.二C.三D.【答案】D【解析】 写出其对应的点，从而可得答案 .【详解】解：复数z 2 i ,对应的点为（2, -1）,所以该点位于第四象限.故选：D.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题2"（如图），2 .在初中的平面几何证明中有这样一段证明：“因为lm,所以 1这段证明的大前提是（）A. “lm”C. “两直线平行，同位角相等”【答案】C【解析】利用三段论进行分析解答【详解】B. “ 12”D.“同位角相等，两直线平行”

2、根据演绎推理的三段论可以得到：大前提是：两直线平行，同位角相等 故选：C.本题考查推理证明中的三段论，是基础题.3 .列关于排列数和组合数的叙述（m, n均为正整数， m n ）,第1页共17页 A n(n 1)(n 2)L (n m)； Cm / n； A1 CmA：； (n m)!m!m m m m m 1Cn 1 Cn Cn其中正确的有()个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】根据排列数和组合数的计算公式逐一判断.解： Am n(n 1)(n 2)L (n m 1),故错误;cmcmAAAnnmAmn!(7E '故正确;第13页共17页 A： n(n 1)(n 2)

3、L (n m 1),m 1),故正确;CnmAmn!m! n(n 1)(n 2)L (n(n m)!m! (n m)!Cm1的意义是指从n 1个不同元素中取出 m个不同元素的组合数,Cm Cm1的意义是指从n 1个不同元素中取出 m个不同元素，当某元素不妨设为 A, 分两类，当a取到，有Cnm1种情况，当a不取到，有Cm种情况，总共Cnm Cnm1情况, 和Cm1的意义是一样的，故正确.故选：C.【点睛】本题考查组合数和排列数的计算，关键是公式的熟练应用，是中档题4.关于实系数方程 ax2 bx c 0(a 0),下列说法错误的是()a. b2 4ac 0时，方程有两个不相等实根 2B. b

4、4ac 0时，万程有两个不相等虚根C- b2 4ac 0时，方程有两个相等实根D. b2 4ac 0时，方程有两个互为共轲复数的虚根【答案】D【解析】根据实系数二次方程的根与判别式的关系判断.【详解】解：A. b2 4ac 0时，方程有两个不相等实根b 7b_4ac ,故A正确；2aB. b2 4ac 0时，方程有两个不相等虚根b i'4ac b ,故B正确;2abC. b2 4ac 0时，万程有两个相等实根，故C正确，D错误.2a故选：D.【点睛】本题考查实系数二次方程的根与判别式的关系，是基础题5.现有2门不同的考试要安排在 5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试

5、，那么不同的考试安排方案种数是()A. 12B. 16C. 8D. 6【答案】A【解析】分析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3种安排方法.若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数， 相加即得所求.详解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有 3种安排方法，这时，共有 C2 x 3=6种方法。若第一门安排在中间的 3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有 3X2=6种方法。综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有6+6=12种，故选A.点晴：注意区分分类相加和分步相乘的区分。6 .已知函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大

6、致为()【答案】D【解析】 根据图像下降的速度进行分析即可 .【详解】解：图中图像从左到右在下降，说明导函数为负值，排除AB;另外由图像发现，图像先下降越来越快，然后下降越来越慢，说明导数值先变小后变大，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数值变化的速度与导函数图像的关系，是基础题7 .中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）

7、A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】C【解析】先阅题意，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】解：若冠军是丁，则爸爸，妈妈，孩子三人中妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是丁，若冠军是甲，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是甲，若冠军是乙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是错的，与题设矛盾,故冠军不是乙，若冠军是丙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸猜测是对的，与题设相符，故冠军是丙,若冠军是戊，则妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是戊， 综合得：获得冠军是丙, 故选：C.【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合

8、情推理，属中档题8 .五位好朋友去某地旅游，由于时间紧迫，他们每个人只能在a,b,c三个景点中任选一个参观，且这三个景点都至少有一个人参观则参观方法共有（）A. 150 种B. 130 种C. 124 种D. 96 种【答案】A【解析】分两类，一类是有两个景点有两个人参观，一个景点有一个人参观，二类是有一个景点有三个人参观，二个景点分别都有一个人参观，分别求出两种情况下的方法数相加即可.【详解】 解：当有两个景点有两个人参观，一个景点有一个人参观时，dc2参观的方法数为A3 90种；A2当有一个景点有三个人参观，二个景点分别都有一个人参观时,参观的方法数为 C；A； 60种，则这三个景点都至少

9、有一个人参观则参观方法共有60 90 150种.故选：A.本题是分堆分配问题的考查，注意分类讨论，是基础题19 2 x/1 X2 dx（）0A.B3B.C. _31212868【答案】B【解析】令y J1 x2，则x22y 1 y 0 ,点x, y的轨迹表示半圆，则该积分一、，一， 一 1表不该半圆与y轴，x -, x轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可2【详解】 解：令y 出x2，则x2 y2 1 y 0 ,点x,y的轨迹表示半圆,12 J1 x2 dx表不以原点为圆心， 0一，一 j12为半径的圆的上半圆与 y轴，x 一，x轴围成的2曲边梯形的面积，如图:1故2 01 X dX SVOAB

10、S扇形BOC g3 _812故选：B.【点睛】本题考查定积分的几何意义,属基础题10.已知函数f(X) X32x的零点构成集合XiP(i1,2,3,4) ( Xi,X2,X3,X4可以相等)，则满足条件“2Xi2X22X3的数组Xi,X2,X3,X4的个数为A. 33B.29C. 27D. 21【解析】根据题意，令f(X)0可得X的值，即可得函数 f(X)的零点，对于数组(X1，X2,X3,X4),分析可得X1,X2,X3,X4的取法中最多有两个取到J2 ,由分类计数原理分析可得答案.解：根据题意，f (X)X3 2x 0,解可得xJ2或0,即函数f(X)的零点为0,2, .2；即 p0,72

11、, 72 ；若 XiP(i 1,2,3,4),则满足条件“22X3X44"，则 X1,X2,X3,X4 的取法中最多有两个取到72，当Xi,X2,X3,X4都取0时，有1种情况;当Xi,X2,X3,X4中仅有一个取到 J2或-1-1_C2c 4 8种情况;当X，X2，X3，X4中有两个取到 五或72时，有C： 22 24种情况,故共有1 8 24 33种情况.故选：A.【点睛】 本题考查排列、组合的应用以及分类计数原理的应用，涉及函数的零点判定定理，属于中档题.11 .若函数f (x) ln x(x 0)与函数 g(x) x2a有公切线,则实数 a的最小值为.1, cA ln 22B

12、.ln2 1C.D.ln 2求出f(x)导数，设出切点，求出切线，将其与 g(x)2'一x2 a联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程,借助于函数的极值和最值，即可得到 a的最小值.解：f (x)1一,设公切线与曲线f(x) lnx相切的切点为xm,ln m , m 0 ,则公共切线为即 x my m mln m0,其与y x2 a相切,联立消去y得： mx2 xamm mln m 0,1 4m am m mln m0有解,则h514mln m有解,14m2lnm, m0,12m31 2m2 m2 m31 人 2m 1一，令丁2m30,六14mInm

13、在 0,上单调递减,上单调递增,故选:m min1 ln2212'所以实数a的最小值为A.21n221n 212,【点睛】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用:求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题.12.对于定义域为 R的函数f(x),若满足f (0) 0；当x R ,且x 0时，都f x2 ,则称f(x)为有xf (x) 0；当X1 0 X2,且xX2时，都有f X“偏对称函数”.现给出四个函数：f1(x) xex ； f2(x) 1n(1 x)；x,x 02x xf3(x) d 八；f4(x) e ex .则其中是“偏对称函数”的函数个数1n x 1 ,x 0为(

14、)A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】D【解析】条件等价于f(x)在(-8, 0)上单调递减，在(0, +OO)上单调递增，条件等价于f x f x 0在(-8, 0)上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论解：由可知当x>0时，f (x) 0,当x<0时，f (x) 0,f (x)在(-°°, 0)上单调递减，在(0,十8)上单调递增；由可知当Xi 0时，f XifXi ,即f x f x 0在(-8, 0)上恒成立；对 f1(x) xeX,有 f1'(x)1 x ex,，f(x) xeX在(-8, -1)上单调递减，在(-1 , +oo)

15、上单调递增，故f(x)不满足条件，f1(x)不是“偏对称函数”f2(x) ln( x2 1x)，f2(x) ln( . x2 1x) ln 1 - ln(Jx2 1 x), ,x 1 xf2（x）是奇函数，在R上单调递增，不满足条件,f2（x）不是“偏对称函数”对 f3(x)x,x 0ln x 1 ,x 0当 x 0 时，f3(x) f3( x) x ln 1 x ,1 x 一令 h x xln1x,则 hx 1 0,1 x 1 x h x在(-8, 0)上单调递减，故 h x h 0 ln1 0,不满足条件， f3(x)不为“偏对称函数”；对 f4(x) e2x ex x,一' _

16、2 x x x _ x1f4(x) 2e e e 2e 1 ,令 f,(x) 0,得 x ln-, 2、1,1则f4(x)在(-8, ln )上单调递减，在(ln , +8)上单调递增，故f4(x)不满22足条件, f4（x）不为“偏对称函数”.故选：D.【点睛】本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，属于中档题二、填空题.213.若复数z （i为虚数单位），则|z| 1 i2【解析】 根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果【详解】解:2i1i，2则 |z| -.2,1故答案为：-.2【点睛】本题主要考查复数模长的计算，比较基础14.观察下列不等式：ala2a3a

17、444aia2a3 a4照此规律，当n N (n2)时不等式为 .【答案】a1 a2 Lan n a1a2L an n【解析】根据题意，依次分析所给不等式的左中右的变化规律，综合即可得答案【详解】解：根据题意，由所给的几个不等式发现：左边式子的分母大小和分子相加的数的个数一样，对应右边就相乘，开根号，则照此规律，当 n N(n2)时不等式为 aa2L一an Ja1a2"L""a?. n故答案为：a1 a2 L-an n a1a2 L-an . n【点睛】本题考查归纳推理的应用，关键是发现不等式左右两边变化的规律15.由曲线y x2,y 阪围成的封闭图形的面积为 .

18、【答案】12【解析】 先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可.【详解】解：曲线y = x2与曲线y 3/x联立，可得交点坐标为(0,0), (1,1)曲线y = x2与曲线y 3/x所围成的封闭图形的面积为0 Vx x2 dx 3 x3 - x3.43012,5故答案为：？.12【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题16.设函数f(x) ax3 3x 2(x R),若对于任意x 1,1,都有f(x) 0成立,则实数a的取值范围是【答案】1 a 5f (x)的最小值，让最小值大【解析】 求出f (x) 0时x的值，讨论函数的增减性得到于等于

19、0即可求出a的范围.【详解】解：由 f (1)。可得 a 1 , f'(x) 3ax2 3,当a 1时，令f'(x) 3ax2 3 0解得x 汩，且出 aa当1 x上亘时，f (x) a0, f (x)为递增函数,三x指时，f (x) a a0, f (x)为递减函数,当x 1时, af (x)为递增函数所以3*af 10a 3 2 0解得1 a 5.故答案为：1 a 5.考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力三、解答题3 一 2 .217.复数4 10 a i,z2 (2a 5)i,右4 z2是实数，求实数a的a 51a值.【答案】a 3【解析】可

20、求得乙z22a 5 10 a2 i ,利用其虚部为0即可求得实数a的值.【详解】3o2解：: z 10 a2 i,z2 (2a 5)i , a 51 a22a 5 10 a2 i ,2 2a 5 10 a 0,解得 a5或 a 3.又分母a 5 0,a 5 ,故a 3.故答案为：a 3.【点睛】本题考查复数的基本概念，考查转化思想与方程思想，属于中档题18.某公司生产一种智能手机的投入成本是4500元/部，当手机售价为 6000元/部时,月销售量为a台，市场分析的结果表明，如果手机的销售价提高的百分率为x(0 x 1),那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为 X时，月利润是y元

21、.(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种智能手机的销售价，使得该公司的月利润最大【答案】(1) y 1500a 4x3 x2 4x 1(0 x 1) ；(2)手机的销售价为9000元时，该公司的月利润最大【解析】(1)根据题意，算出每个手机的利润，计算出销售量，两者相乘即可得到月利润y (元)与x的函数关系式；(2)求得导数，研究函数的单调性，求函数取最值时x的取值即可.【详解】解：(1)依题意，销售价提高后手机为6000 1 x元/部，月销售量为a 1 x2部，2 _则 y a 1 x 6000(1 x) 4500,即 32y 1500 a 4x x 4x 1(0x1)；2_

22、(2)函数的导数为 y 1500a 12x 2x 4 ,1 2令y 0,得6x2 x 2 0,解得x 或一(舍2 3去).、，一1八.1八当 0 x 时，y 0；当一x 1 时，y 0.22 ，1 一所以，当x 时，y取得最大值，此时销售价为9000兀.2答：手机的销售价为 9000元时，该公司的月利润最大 .【点睛】本题考查根据实际问题选择合适的模型，是解决实际问题的变化关系常用的方法，其步骤是，建立函数模型，求解函数，得出结论，再反馈回实际问题中去.主要考查导数的运用：求最值，属于中档题 .、一 1 3 1 219.设 f(x)-x -xax.3 24 ,2(1)若f(x)在 ，上存在单调

23、递增区间，求 a的取值范围；32(2)若f(x)在 一，上单调递减，求a的取值范围.322【答案】(1) a -；(2) a - 9 '9一. 2 ,2【解析】(1) f (x)在一，上存在单倜递增区间，即 f (x) 0在一，上有解，33只要f'(x)max 0即可；(2) f(x)在23,上单调递减，即f (x)上恒成立，只要f'(x)max即可；【详解】2,211斛：(1)f(x) x x a x - a,242-J, 、'22当x -,时，f (x)maxf a ,339，2一人22则当x ,时，令一 a 0，得a ，399,2,2所以，当a 2时，f(

24、x)在-, 93上存在单调递增区间;2(2)由(1)得当x -,一 .,，、22时，f (x)max f 二二a，392则当x -,3一八2八一2时，令一a0，得a-，992_ 2所以，当a 时，f(x)在 一,上单倜递减93【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题,正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础20.证明： J2不是有理数.【答案】证明见解析；【解析】 试题分析：利用反证法假设 J2是有理数，进而利用有理数的性质分析得出矛 盾，进而得出答案.试题解析：假设三，为有理数那么存在两个互质的正整数 p,q ,使得：J2 -, q于是p J2q,两

25、边平方得p2 2q2所以 ak 1 ak 2,第19页共17页22由2q是偶数，可得p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以P也是偶数.因此可设p 2s, s是正整数，代入上式，得：4s2 2q2,即q2 2s2.所以q也是偶数，这样 p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾.因此、2不是有理数.21.已知数列 an ,an 0© 0,a2 1 an 1 1 a2.(1)求出 82,83；(2)判断数列 an的单调性并给出证明.【答案】(1)a2Y5；aJ112君1 ；(2)数列an是单调递增数列，证232明见解析【解析】(1)令n 1, n 2代入计算即可；(2)利用数学归纳

26、法，先证明n 1时结论成立，再假设n k k N 时，结论成立,22 、结合已知对ak 1 ak变形可得ak 2 a- ak 2 a 1 ,进而可得结果.【详解】 22解：(1)Q an 0,a1 0,an 1 an 1 1 an,则当n 1时，a2 a2 1 a2 0,解得a2 YL；2当 n 2 时，a；a31a23-5,解得a3,11 1 ；(2)数列an是单调递增数列，证明：当n 1时，由(1)得a2 a1,假设当n k k N 时，ak ak 1,那么当n k 1时，ak 1akak 2ak21(ak1ak11 ak 2ak 1ak 2ak 110 ,因为 ak 2 ak 1 10，即当n k 1时，ak i ak 2也成立，综上可知an an i对任意n N*都成立.【点睛】本题考查利用数学归纳法证明数列的单调性问题，关键是22ak i akak 2 ak i ak 2 ak i 1的变形，是中档题22.已知函数 f(x) a(x i) ln x(a R).(i)讨论f(x)的单调性;(2)令函数g(x) exi f(x),e 2.7i828L是自然对数的底数，若函数 g(x)有且只有一个零点 m,判断m