初三培优圆与相似辅导专题训练附详细答案

1、初三培优圆与相似辅导专题训练附详细答案一、相似1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与x轴相交于点 A (1, 0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线 x=1.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)联结AC BC,若4ABC的面积为6,求此抛物线的表达式；(3)在第(2)小题的条件下，点 Q为x轴正半轴上一点，点 G与点C,点F与点A关于 点Q成中心对称，当4CGF为直角三角形时，求点Q的坐标.【答案】(1)解：二抛物线y=ax2+bx+c (a>0)的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点 A的坐标为(-1,0)，抛物线与x

2、轴的另一个交点 B的坐标为(3, 0)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,当 x=0 时，y= - 3a,.C (0, - 3a)(2)解：/A ( 1, 0) , B (3, 0) , C (0, - 3a), .AB=4, OC=3a, /Sa acb=上 AB?OC=6,.1 6a=6,解得 a=1,.抛物线解析式为y=x2-2x-3(3)解：设点 Q的坐标为(m, 0).过点G作GHI±x轴，垂足为点 H,如图,以G点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称, .QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m, OC=GH=3

3、, .OF=2m+1, HF=1,当/ CGF=90 时,3 / QGH+/ FGH=90 ,° / QGH+Z GQH=90 ；/ GQH=Z HGF,4 RtA QGH RtAGFH,Gh Oft . 4Fh =必，即 J L 解得 m=9 ,5 .Q的坐标为（9,0）;当/ CFG=90 时,6 / GFH+Z CFO=90 ； / GFH+/ FGH=90 ,°/ CFO=Z FGH,7 RtA GFH RtA FCO, Gh Fh | 3/=,即二如'，=',解得 m=4,8 .Q的坐标为（4, 0）;Z GCF=90不存在，综上所述，点Q的坐标为

4、（4, 0）或（9, 0）.【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得点 C的坐标；（2）由（1）的结论可求得 AB=4, OC=3a,根据三角形 ABC的面积=AB?OC=6可求得a的 值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m, 0）.过点G作GH± x轴，垂足为点H,根据中心对称的性质 可得 QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m , OC=GH=& 分两种情况讨论：当 / CGF=90时，由同角的余角相等可

5、得/GQH=/ HGF,于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得GH QhRtA QGHsRtGFH,则可得比例式印 韵， 代入可求得 m的值，则点 Q的坐标可求 解；当/CFG=90°时，同理可彳#另一个 Q坐标。2.如图，在 4ABC 中，AB=AC, /BAC=90°, AHXBC 于点 H,过点 C 作 CD)±AC,连接AD,点M为AC上一点，且 AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.(1)若 AB=3, AD= M%1,求 BMC 的面积;(2)点E为AD的中点时，求证： AD=、足BN .图1在 ABM 和 ACAD 中， AB=AC, Z

6、 BAM= Z ACD=90 , AM=CD ,AABMACAD,BM=AD=AM=4就一5=1 , CM=CA - AM=2 ,Sabcm= ? ?CM?BA=-X 23=3(2)解：如图2中，连接EG CNI,彳EQ± BC于 Q, EF)± BA 于 P.1 . AE=ED , /ACD=90 °, AE=CE=ED , / EAC=Z ECA ,-. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD , ZABM=ZMCE ,/ Z AMB=Z EMC , . / CEM=/ BAM=90 ° ,幽朋 眼a2 .ABMAECM,1) 劭,. 田 劭,/

7、ZAME=Z BMC, . AMEs BMC,，/AEM=/ ACB=45 °, ，/AEC=135 °, 易 知 / PEQ=135 °, . . / PEQ=/ AEC , ，/AEQ=/ EQC Z P=Z EQC=90,° EPAEQC, . EP=EQ / EP± BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z NBC=22.5 , °，/ ENC=Z NBC+/ NCB=45 ；. AENC 的等腰直角三角形， ，NC= V

8、 EG . .AD=2EC, .-.2NC= X'J AD, . AD=NC, / BN=NC,，AD= '二 BN.【解析】【分析】(1)首先利用 SAS判断出ABM ACAD,根据全等三角形对应边相等得出BM=AD=根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出 CM的长，利用iSabcm= -?CM?BA即可得出答案；(2)连接EG CN,作EQ± BC于Q, EP± BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得出 AE=CE=ED根据等边对等角得出 / EAC=Z ECA,根据全等三角形对应角相等得出ZABM=ZCAD,从而得出 /ABM=/

9、MCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出 /CEM=/BAM=90 ；从而判断出 ABMsECM,由相似三角形对应边成比例得出BM :CM= AM : EM,从而得出 BM : AM= CM ： EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出 AMEABMC,故 / AEM=/ACB=45； /AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPA EQQ故EP=EQ根据角平分线的判定得出 BE平分/ ABC,故/ NBC=/ ABN=22.5 °,根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的性质得出/ NC

10、B=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+/ NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= /EC,根据AD=2EC, 2NC=4三AD , AD= .NC,又 BN=NC,故 AD= . BN.3.如图，点A、B的坐标分别为（4, 0）、 （ 0, 8）,点C是线段OB上一动点，点 E在 x轴正半轴上，四边形 OEDC是矩形，且 OE=2OC设OE=t （t>0）,矩形 OEDC与4AOB 重合部分的面积为 S.求t的值;当t=4时，求S的值；直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；若 S=12,贝U t=.(2)(3)(4)

11、a【答案】（1）解：由题意可得 /BCD=/ BOA=90 , /CBD=/ OBA, .BCgBOA,而 CA OE= t, BC= 8-CO=8-2，OA= 4,则8-，当点D在直线（2）解：当 t=416AB上时，t=万时，点E与A重合，设 CD与AB交于点F,CF QA则由CBM4OBA得6 比，CF即,解得CF=3S=OC(OE+CF)16（3）解：当0vtW5时,2 x 丰3+4)3S= t21：6vtw酎,S=£t2+10t-16L 当 4vt W 1时，S=J't2+2t(4) 8当0V t,如图（1）,16当5<t w时，如图（2）,D0- A (4,

12、0) , B (0,8)直线AB的解析式为y=-2x+8, G (t,-2t+8) ,F"),.DF=/t-4,DG=-t-8,t 15；，匕. $=$矩形 COE-SA DFG=t当4Vt & 1时，如图（3）.CF=4-'J（4）由题意可知把 S=12 代入 S=Mt2+2t 中，）.t2+2t=12,整理，得 t2-32t+192=0.解得 ti=8,t2=24>16 （舍去） =当 S=12 时，t=8【分析】（1）首先判断出 BC2 BOA ,根据相似三角形对应边成比例得出 BC : BO=CD : OA ,根据矩形的性质及线段的和差得出 CD= OE

13、= t, BC= 8-CO = 8- , OA= 4,利用比例式即可得出方程，求解得出 t的值；（2）当t=4时，点 E与 A重合，设 CD与AB交于点 F,则由CBD4OBA得 CF : CB=OA : OB ,根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案；16（3）当0<t=时，如图（1）,其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积1b公式即可得出函数关系式；当$ <tW4时，如图（2）,利用待定系数法，求出直线AB的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示 出G,F的坐标，进而表示出DF的长，DG的长，根据 S=

14、S矩形coedS/xdfg即可得出函数关系式；当4<tW16时，如图（3）根据矩形的性质得出CD/ OA,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出BCFBOA,由相似三角形的对应边成比例得出 BC: BO=CF OA,根据比例式表示出 CF的长，再根据 S=Sxboa-Sabcf即可得 出函数关系式。4.已知抛物线y= ax2+bx+5与x轴交于点的负半轴上，且 AC= AB,点D的坐标为(0,A(1, 0)和点B(5, 0),顶点为 M.点C在x轴3),直线l经过点C、D.31-1(1)求抛物线的表达式；A巳 且线段CP是线段CA、CB的比例中项,(2)点

15、P是直线l在第三象限上的点，联结求tan / CPA的值；(3)在(2)的条件下，联结 AM、BM,在直线 PM上是否存在点 E,使得/AEM=/AMB.若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二.抛物线YJ h + 3 与 x 轴交于点 A (1,0), B (5, 0),-6.抛物线的解析式为(2)解： A (1, 0) , B (5, 0),OA=1, AB=4.AC=AB且点C在点A的左侧,AC=4 .CB=CA+AB=8.线段CP是线段CA、CB的比例中项,CA CP牙一六 .CP=又 / PCB是公共角,CPACBP .Z CPA=/ CBP过P作PHI&

16、#177; x轴于H. OC=OD=3, /DOC=90； /DCO=45.°，/PCH=45 PH=CH=Cpi"5 J =4, H (-7, 0) , BH=12, P (-7, -4),PH T.anCBP -BH J, itan / CPA= $ .(3)解：抛物线的顶点是 M (3, -4),又 P (-7,-4),PM / x 轴.当点E在M左侧，贝U/BAM=/AME. /AEM=/AMB,AAEMABMA.ME AM.AM BAME=5,E (-2, -4).过点A作AN, PM于点N,则N (1, -4).当点E在M右侧时，记为点E ', / A

17、E ' N=ZAEN,点上与E关于直线AN对称，则(4, -4).综上所述，E的坐标为(-2,-4)或(4, -4).【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解。即 ；由题意把 A (1,0), B (5, 0),代 入解析式可得关于 a、b的方程组，a + b + 5 = 0 , 25 a + 5 b + 5 = 0 解彳# a=1、b=-6,所以 抛物线的解析式为 y = - 6 x + 5;(2)过P作PHI± x轴于H.由题意可得 OA=1, AB=4.而AC=AB且点C在点A的左侧，所以ca aAC=4 ,贝U CB=CA+AB=8已知线段 CP是线段CA CB的比

18、例中项，所以CP 1瓦解得CP=4X因为/PCB是公共角，所以根据相似三角形的判定可得CPACBP ,所以ZCPA=/ CBP;因为 OC=OD=3, / DOC=90 ； / DCO=45 .所以 / PCH=45 ；在直角三角形 PCH 中，PH=CH=CP sin 45 ° =4,所以 H (-7, 0) , BH=12,贝U P (-7, -4),在直角三角形 PBH PH 1中，tan / CBP =W =tan/CPA;(3)将(1)中的解析式配成顶点式得y=(x'-4,所以抛物线的顶点是 M (3, -4),而P点的纵坐标也为 -4,所以 PM/x轴.分两种情况

19、讨论：当点 E在M左侧， 则 /BAM=/AME,而/AEM=/AMB, 根据相似三角形的判定可得 AEMsBMA,所以可ME AM"得比例式乩V 一，即入后 /，解得ME=5,所以E (-2, -4);当点E在M右侧时，记为 点E 过点A作ANLPM于点N,则N (1 , -4),因为/ A E ' N=AEN,所以根据轴对 称的意义可得点 E '与E关于直线AN对称，则E' (4, -4).5 .如图 1,在 RtABC中，/ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 点以1厘米/秒的速度匀速移动；点 Q

20、从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的 速度匀速移动.点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒.(1)当 t=时，PQ/AB(2)当t为何值时，4PCQ的面积等于5cm2?(3)在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将 APQC翻折，得到EPQ如图2, PE与AB 能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.能垂直，理由如下：延长QE交AC于点D,将APQC翻折,得到 AEPQ,.QCPAQEP,/ C=Z QEP=90 ,° 若 PE± AB,贝U QD/ AB, .CQgCBA,.QD=2.5t,.QC=QE=2t . DE=0.5t / A=Z ED

21、P, / C=Z DEP=90 ,(2)解：二点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点 Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动,mPC=AC-AP=6-t CQ=2t,M |一二 f,SACPQ=- CP?CQ=J =5,t2-6t+5=0解得3=1, t2=5 (不合题意，舍去)当t=1秒时，4PCQ的面积等于5cm2(3)解：【解析】【解答】解：(1)二点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点 Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动， . PC=AC-AP=6-t CQ=2t,当 PQ/ AB 时，APQCAABC, .PC: AC=CQ B

22、C, .(6-t): 6=2t: 8 . t=2.4 当 t=2.4 时，PQ/ AB【分析】(1)根据题意可得 PC=AC-AP=6-1 CQ=2t,根据平行线可得 PQgABC,利用相似三角形对应边成比例可得PC： AC=CQ BC,即得(6-t): 6=2t: 8,求出t值即可；1(2)由SACPQ= ：CP?CQ =5,据此建立方程，求出 t值即可；(3) 延长 QE交AC于点 D, 根据折叠可得QCP0QEP ,若 PEXAB,则QD/AB,可得 CQDscba,利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t,根据DE Pb两角分别相等可证 ABCsDPE ,利用相似三角形对应边成

23、比例 而一加，据此求出t 值即可.6.如图，以AB为直径的OO外接于4ABC ,过A点的切线 AP与BC的延长线交于点 P , /APB的平分线分别交 AB , AC于点D , E ,其中AE , BD (AEv BD)的长是一 元二次方程x2-5x+6=0的两个实数根.(1)求证：PA?BD=PB?AE;(2)在线段BC上是否存在一点 M ,使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明, 并求其面积；若不存在，说明理由 .【答案】(1)解：PD平分/APB,/ APE=Z BPD,AP与。相切,/ BAP=Z BAC+Z EAP=90 ,°.AB是。的直径，/ ACB=Z BAC+

24、/ B=90 ；/ EAP=/ B,2 .PAEAPBD,PA 第万厂应，PA?BD=PB?AE(2)解：如图，过点 D作DU PB于点F,作DGLAC于点G,. PD 平分/APB, ADXAP, DF± PB,.AD=DF,3 / EAP=/ B,Z APC=Z BAG,易证：DF/ AC,/ BDF=Z BAG,由于AE, BD (AEV BD)的长是x2 - 5x+6=0的两个实数根,解得：AE=2, BD=3,PA PB 二 由(1)可知：二 3 ,PA 2cosZ APC= /'"3,/Rnp /ApJ4 . cos/ BDF=cosZ APC=,DF

25、£ =.一BD J , ?.DF=2,5 . DF=AE四边形ADFE是平行四边形，6 .AD=DF,，四边形ADFE是菱形，此时点 F即为M点， 一cos/ BAC=cosZ APC= i , k/37 .sin / BAC=，DG= 3 ,菱形 ADME 的面积为：DG?AE=2 x" = 3 .【解析】【分析】(1)易证/APE=Z BPD, /EAP=/ B,从而可知 APAEAPBD,利用相似三角形的性质即可求出答案 .(2)过点D作DFL PB于点F,彳DGLAC于点G,易求得PA PB2AE=2, BD=3,由(1)可知： 33 ,从而可知 cos/ BDF=

26、cos/ BAC=c。4 APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形 ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE的面积.7.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与 x轴交于点A (3, 0) , C (-1, 0),与y轴交 于点B.点D为二次函数图象的顶点.图废I(1)如图 所示，求此二次函数的关系式：(2)如图 所示，在x轴上取一动点P (m , 0),且1vmv3,过点P作x轴的垂线分 别交二次函数图象、线段 AD , AB于点Q、F , E ,求证：EF=EP;(3)在图中，若R为y轴上的一个动点，连接 AR ,则|川| BR+AR的最

27、小值(直接写出结果).【答案】(1)解：将 A (3, 0) , C (-1, 0)代入 y=ax2+bx+3,得：产3 +先/3 = 6#J办，解得：,此二次函数的关系式为 y=-x2+2x+3 (2)证明：y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,.点D的坐标为(1,4).设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c (kw。，将 A (3, 0) , C (0, 3)代入 y=kx+c,得:3k c = C-2 线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3.同理，可得出：线段 AD所在直线的函数关系式为 y=-2x+6.,一点P的坐标为（m, 0）,，点E的坐标为（m, -m+3），点

28、F的坐标为（m, -2m+6）, .EP=-m+3, EF=-m+3, .EF=EP5 I【解析】【解答】解（3）如图，连接BC,过点R作RQ± BC,垂足为Q.yjk . OC=1, OB=3,BC= 5.（勾股定理） / CBO=Z CBO, / BOC=Z BQR=90 ；.BQFAAOB,ERQh =BR=AR+RQ.AR+亚当A, R Q共线且垂直 AB时，即AR+川BR=AQ时，其值最小./ ACQ=Z BCO, / BOC=Z AQC,.CQAACOB,br+cr勺最小值为故答案为:【分析】（1）根据 A, C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；（2）利用待

29、定系数法求出线段 AB, AD所在直线的函数关系式，用 m表示EF, EP的长，可证得 结论；（3）连接BC,过点R作RQ± BC,垂足为 Q,则BQRAOB,利用相似三角形的性质可得出RQ= IB BR,结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A, R, Q共线且垂直AB 时,即 AR+ IB BR=AQ 时，其值最小，由/ ACQ=Z BCO, / BOC=Z AQC 可得出 CQAsCOB,利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解.8.如图，在 4ABC中，AB=AC ,以AB为直径的。分别交BC , AC于点D , E ,连结 EB ,交OD于点F.(1)求证：OD, BE.

30、(2)若 DE= |厉，AB=6,求 AE 的长.（3）若4CDE的面积是OBF面积的3,求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理 由.【答案】（1）证明：连接AD, AB是直径，/ AEB=Z ADB=90 ；.AB=AC,/ CAD=Z BAD, BD=CD,E 0.刖一闻ODXBE;(2)解：. /AEB=90,/ BEC=90,° BD=CD,BC=2DE=2职, 四边形ABDE内接于。O, / BAC+/ BDE=180 ,° / CDE-+Z BDE=180 ,°/ CDE=Z BAC, / C=Z C,.,.CDEACAB,CE 加 CE .CB

31、 衽，即入56 ,.CE=2, .AE=AC-CE=AB-CE=4(3)解：BD=CD,Sacde=Sx bde , BD=CD, AO=BO,.OD/AC,-/OBFAABE,Saabe=4Saobf ,Saabe=4Saobf=6Scde ,s Sa cabfSa cde+Sa bde+Sa abe=8Sa cde ,-/CDEACAB,CDCD ICA 4 BD=CD, AB=AC,【解析】由,即 AC= V- BC【分析】（1）连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；（CE DE2）先证CDa4CAB得CB AB ,据此求得 CE的长，依据AE=

32、AC-CE=AB-CEM得答案；(3)由 BD=CD 知 Sacde=Sabde ,证OBFABE 得Sa cab=8S>a cde ,由CD&CAB知BC 1s A CDECDn1H -£-J-S a CASCA8,据此得出CD I CA 为行,结合4 知 Saabe=6S cdeSa abe=4Saobf ,结合 S d 脚bd=cd, ab=ac知融 d从而得出答案.、圆的综合9.如图1,以边长为4的正方形纸片 ABCD的边AB为直径作OO,交对角线 AC于点E.(1)图1中，线段AE=(2)如图2,在图1 边形ABCM剪掉，使 150°),在旋转过程中

33、的基础上，以点 A为端点作Z DAM=30，交CD于点M,沿AM将四RtAADM绕点A逆时针旋转(如图 3),设旋转角为 a (00< a<AD与。O交于点F.S.VDD图3图工* kI当a =30B,请求出线段 AF的长； 当a =6叫，求出线段 AF的长；判断此时 DM与。O的位置关系，并说明理由;时，DM与。O相切.A国1【答案】(1) 2vz【解析】(1)连接街用困(2)22相离当“ =90时，DM与。O相切BE,AC是正方形 ABCD的对角线，z. Z BAC=45°,.AEB是等腰直.AE=4vf2;(2) 连接 OA、OF,由题意得， /NAD=30

34、6;, /DAM=30°,故可得 /OAM=30°,ZDAM=30 ；贝U/OAF=60 ；又 / OA=OF, .OAF 是等边三角形，1.OA=4, ，AF=OA=4;AF=AB'cos/ DAM=8连接 B'F,此时 / NAD=60 °, . AB'=8, /DAM=30 °,此时DM与。O的位置关系是相离;AD=8,直径的长度相等，当DM与。相切时，点D在。上，故此时可得 a 与 NAD=90 °.点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30。角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问

35、时，关键是判断出点D的位置，有一定难度.1、2中分别过圆外一点10 .不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图 A作出直径BC所在射线的垂线.【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线11 .已知：AB是。0直径,C是。0外一点，连接BC交。于点D, BD=CDi接AD、AC.如图1,求证：/BAD=/ CAD（2）如图2,过点C作CH AB于点F交。于点E延长CF交。于点G.过

36、点作EHI± AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF;（3）如图3,在（2）的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG线段AL的长.【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 12 .105【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°,得到/ADB=90°,再证明AB4 4ACD即可得到结论；(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到/GA&/BEG.再证 KF瞌 BF匕得到BF=KF=_BK 由 OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到结论.2(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM

37、=GM, / AGG/GCM=90°.再证 / GAF=/GCM = .通过证明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG.再证明 /BGC=/MCG= .设 BF=KF=a,可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得到 3a+2=4a,解出 a 的值，得到 AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK= AK=6,可以求出 AH的长.再由AH 21tan GAF tan BAD 阳刈tan BAD tan BCF 一,利用公式 tan Z GAD=,得至U31 tan GAF

38、 tan BAD/GAD=45 ；则AL=72aH,即可得到结论.试题解析：解：(1) .AB 为。的直径，ZADB=90°, ./ADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD ACD,/ BAD=Z CAD.(2)连接 BE. . BG=BG, . . / GAB=/BEG. .CF± AB, ./KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF, . / HAK=/KEF=/BEF.人1 . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABFBF=KF= BKLOF=O曰BF,

39、AK=AB-BK,AK=2OF.B D C(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=. AC=CG, 点C在AG的垂直平分线上.1 OA=OG,点O在AG的垂直平分线上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 ： .AFXCG,./AGC+/GAF =90/ GAF=/GCM =. AB 为。的直径，Z AGB= 90 ,° /AGB=/CMG=90 :1,.AB=AC=CG,AAGBACMG, ，BG=GM= AG2,在 RtAGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 BG/ CM,/ BGC

40、=Z MCG=BF设 BF=KF=a, tan BGF tan GF1-,GF=2a, tan GAF tan 2GFAFAF=4a. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,.a=2, AK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6. HK15 iJ. tan a =tanHAK=设 KH=m ,贝U AH=2m , . AK=Jm2AH 21(2 m)2 =6,解得:m="5 . AH=2m=12遍.在 RBFC中,tan BCFBFFC

41、/ BAD+ / ABD=90 °, / FBC+ / BCF=90tan BADtanBCF1, . tan / GAD=3tan GAF tanBAD1 tan GAF tan BAD/ GAD=45；.1.HL=AH,al=V2ah=皿.5D,两点12.已知P是e O的直径BA延长线上的一个动点，/P的另一边交e O于点C、1 一一.位于AB的上万，AB =6, OP=m, sin p=-,如图所示.另一个半径为6的e 01经过点C、D,圆心距 0。1= n .(1)当m=6时，求线段 CD的长；(2)设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示 m；(3) POQ在点P的运动

42、过程中，是否能成为以 OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求 出此时n的值；如果不能，请说明理由.一 V5 或 2。152【答案】(1)CD=2痣；(2)m= 3n81 ;(3) n的值为2n【解析】分析：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC .解RtA POH ,得到OH的 长.由勾月定理得 CH的长，再由垂径定理即可得到结论；(2)解RtA POH ,得到OH = m.在RtVOCH和RtA QCH中，由勾股定理即可得到3结论;(3) POO1成为等腰三角形可分以下几种情况讨论： 当圆心0八O在弦CD异侧 时，分OP= OQ和0尸=OO1 .当圆心。1、O在弦CD同侧时，同理可

43、得结论.详解：(1)过点。作OH，CD ,垂足为点H ,连接OC .AB =6,OC=3 .由勾股定理得：CH J5.OH ± DC , CD 2CH 2而.1m(2)在 RtA POH 中，QsinP= , PO=m, . . OH = 33在 RtOCH 中，CH2= 92在 RtOiCH 中，CH 2= 36 n m 3可得：362m cn =933n2 81 m=2n（3） POOi成为等腰三角形可分以下几种情况:当圆心Oi、O在弦CD异侧时2i） OP= OOi，即 m= n ,由 n=3n81,解得： 2n即圆心距等于e O、e Oi的半径的和，就有e O、e Oi外切不

44、合题意舍去.m 22 m 2ii） Q|P= OOi,由 j(n )m () = n ，33CCc 2解得： m= n ,即n =-,解得：n= - Ji5 .33 2n5当圆心Oi、O在弦CD同侧时，同理可得:8i 3n2m=2n2POOi是钝角，只能是m n ,即n=,解得：2n综上所述：n的值为9芯或9相.55点睛：本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解 答（3）的关键是要分类讨论.i3.定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一 半，那么称三角形为 智慧三角形”.理解：如图1,已知义贵是。上两点，请在圆上找出满足

45、条件的点C ,使工铝C为智慧三角形”（画出点。的位置，保留作图痕迹）；如图2 ,在正方形ACD中，E是君C的中点，F是GD上一点，且CF = -CD，试4判断是否为 智慧三角形”，并说明理由；运用：如图3 ,在平面直角坐标系xOy中，QO的半径为1 ,点2是直线y = 3上的一点，若 在。上存在一点P ,使得3。尸2为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此 时点P的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） P的坐标（ 2巨，-）,（2叵，3333）【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于 C1,连结BO并且延长交圆于 C2,即可求解； （2）设正方形的边长为 4a,表

46、示出DF=CF以及EC BE的长，然后根据勾股定理列式表示 出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定 4AEF是直角三角形，由直角三角形的性 质可得4AEF为 智慧三角形”；（3）根据 智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形, 根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解.试题解析：（1）如图1所示：(2) AAEF是否为智慧三角形”,理由如下：设正方形的边长为4a,.E是DC的中点， . DE=CE

47、=2a,. BC: FC=4: 1,2+ (2a) 2=20a2,2+a2=5a2,2+ (3a) 2=25a2,FC=a, BF=4a- a=3a, 在 RtA ADE 中，AE2= (4a) 在 RtECF中，E卢=(2a) 在 RtA ABF 中，AF2= (4a) .ae2+ef?=af2,.AEF是直角三角形，.AEF为 智慧三角形”；(3)如图3所示：由智慧三角形”的定义可得 根据题意可得一条直角边为由垂线段最短可得斜边最短为斜边AF上的中线等于 AF的一半, OPQ为直角三角形，1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,3,由勾股定理可得 pq=6 才二人叵，PM=1

48、X26 + 3=-, 3由勾股定理可求得 OM=;_ -考点：圆的综合题.故点P的坐标(-31班(3314. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时,PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14Y2； ( 3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积50.3【解析】【分析】(1

49、)由圆周角定理可得 /PCD=/ ACB=90,可证ABC/PCD,可得处 里,即可得CP CD证.(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的长，由锐角三角函数可求 PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PCBC可求CD的值；1一一 ，.一 一 4 一(3)当点P在AB上运动时，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得 23-1422SvpcdPCPC PC ,当PC最大时， PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：(1)C. AB为直径，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD

50、=/ ACB,且 / CAB=Z CPB.ABCAPCDAC BCCP CD.AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,丁点P运动到AB的中点时，过点 B作BE,PC于点EP是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4，CE=BE=SbO22 / CAB=Z CPBBCtan / CAB=AC.PE=3224 ,=tan / CAB=3BEPE3 2 7 2PC=PE+CE=+2 ,2 = .AC?CD=PC?BC .-3>CD=72 X4214 .5.CD=31(3)当点P在Ab上运动时，Sapcd= >

51、;PC>CD, 2由（1）可得：CD=4PC 3Sa pcd=工 PC2-pc = 2-pc2,当PC最大时, PCD的面积最大,502当PC为。直径时， PCD的最大面积=- X2=3【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.15.如图，AB为。的直径，且 AB= m （ m为常数），点 C为AB的中点，点 D为圆上 一动点，过 A点作。的切线交BD的延长线于点 P,弦CD交AB于点E.(1)当 DC AB 时，则 DA一DB（2）当点DCD在AB上移动时，试探究线段 DA, DB, DC之间的数量关系；并说明理t,求4ADB的面积S与t的函数关系式;由；设CD长为当空DEi求的值.OA【答案】（1） 应；（2）DA+DB = 72dC,S1 21 2DE 24,2=-t m ； (3) 24OA 35【解析】【分析】（1）首先证明当 DC, AB时，DC也为圆的直径，且 ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2） 分别过点A, B作CD的垂线，连接 AC, BC,分别构造4ADM和4BDN两个等腰 直角三形及4NBC和4MCA两个全等的三角形，容易证出线段 DA, DB, DC之间的数量关