14微积分公式

1、§1. 4函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、极限的局部保号性、左右极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量的变化趋势：X Xqj X 沢一0， X Xq+0 , X 00 9 X » 00， X +00 函数极限的通俗定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值几X)无限接 近于某一确定的常数4,那么这个确定的常数A就叫做在这一 变化过程中函数/仗)的极限.当兀1兀0时，兀x)以A为极限记为 lim /曲或f(当 fXT兀0

2、分析：当时,Ao 当 lx-xol -» 0 时，f (x)-A I 能任意小O任给£>0,当Lx-Xol小到某一时刻，有f(X)-A<£ o 任给 £>0,存在 5>0,使当 Lx-Xolv5 时，有 fx)-A<s.函数极限的精确定义：设函数f(x)在点兀0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意 给定的正数£(不论它多么小)，总存在正数5使得对于适合不等 式OvLr-Xolv渊一切尢,对应的函数值fCx)都满足不等式f(x)-A<£,那么常数A就叫做函数/'当x->x0时的极限，记为

3、lim f(x)=Af(x) 4(当兀->x0).XT%。lim/(x)=A<=> Vs>0, 3&O, Vx： O<lx-xol<,有f(x)-A<£ 函数极限的几何意义:若 limf(x)=A,贝lJVs>0, 3&>0,使当0<lx-xol<时,%->x0OX举例:例1 证明lim c=cX>兀0证明：这里f(x)-A=c-c=O,因此对于任意给定的正数£ ,任意取一正数当O<lx-xol<时，都有f (x)-A=c-c=O<£成立，所以lim c

4、 = c.例2证明lim兀=%oX>%0证明：这里!/(%)-Al=lx-xol,因此对于任意给定的正数G总可取,当O<lx-xol< 8=s时，能使不等式(x)-AI=lx-xol< £成立.所以lim x = x0 %->x0例 3 证明Um (2x-l)=l.x>1分析：|何_ai=|(2x-1)-11=24II,为了使金)-A® 只要lx-11 < | 即取§二| 证明：因为Vs>0, 38 =| >0,使当0vLx-llv§时，有f(x) 11=1 (2x 1) 1 =2x 1 <&#

5、163;，所以 lim(2x-l) = lXT1X -1例4证明lim= 2.XT4 X-1分析：注意函数在兀=1是没有定义的.但这与函数在该点是 否有极限并无关系.1lf(x)-2l= I 2l=Lx+l2l=lxII，要使(%)2Ivgx-1只需Lx-1|<5,即取8= s.证明：因为V>0 , »=£>0，使当Ov4Ilv5,有f(X)-2=x-<£ ,所以 lim= 2.XTl X-1! W !极限的局部保号性：定理1如果Hm f(x)=A,而且A>0(或A<0),那么就存在着X点兀。的某一去心邻域，当兀在该邻域内时，就

6、有/S)>0(或/S)vO)取 0<6<A极限的局部保号性:定理1如Slim »=A,而且4>0（或A<0）,那么就存在着X点旳的某一去心邻域，当X在该邻域内时，就有心）>0（或心）vO）.证明：设力>0,取正数£幺，根据极限的定义，对于这个 取定的正数£,必存在着一个正数/,当0<lx- xol<时，不等式 £ <f（X）<A+£成立.因A-s>0, 故f（x）>0极限的局部保号性:定理1如Slim »=A,而且4>0(或A<0),那么就存在着

7、X点旳的某一去心邻域，当X在该邻域内时，就有心)>0(或心)vO).定理U 如果lim f(x)=A, (AhO)，那么就存在着点的某一X>兀0去心邻域，当兀在该邻域内时，就有IAI.定理2如果在帀的某一去心邻域rt»>0(g(x)<0),而且 lim f (x)=A,那么 4>0(或 A<0).证明：询假设上述论断不成立，即设AvO,那么 由定理1就有的某一去心邻域，在该邻域内»<0,这与 的假定矛盾.所以心0.左右极限:x 勺-。表示x仅从兀0的左侧趋于A：。,而x fXo+O表示兀仅从兀0 的右侧趋于勺.若当时，沧)无限接近于

8、某常数A,则常数A叫做函数 沧)当xfr。时的左极限，记为lim f (x)=A 或/(/。一。匸人；XTX()-0若当xtxo+O时，加；)无限接近于某常数4,则常数A叫做函数 沧)当兀勺时的右极限，记为lim f(x)=A 或 f(xo+O)=A.x->xo+O结论：lim f(x) = A <=> lim /(x) = lim f(x) = A x-»x0 0x-»xo+OIV VI U A !讨论：左右极限的定义如何叙述？左极限的£-5定义：若Ve>0, 3&>0, Vx： Xq- §<x<Xq,

9、有(x)-4Ivg 则称 常数A为函数几兀)当兀一>%时的左极限.例6函数x-l,x<0, f (x) = v 0,兀=0,x + l,x>0. 当兀t0时冗0的极限不存在.因为/S)的左极限lim f(x) = lim (x -1) = _1,x>-0xT-0右极限lim f(x) = lim (x +1) = 1,XT+OX>+0所以极限limfW不存在.兀tO:、自变量趋于无穷大时函数的极限极限的通俗定义：若当XTOO时，才(劝无限接近于某常数A,则常数4叫做函数 于(X)当X ->00时的极限，记为lim /(x) = A 兀Too类似地有 lim

10、/(x) = A 和 lim f(x) = A.XT-00兀一>+8讨论：极限lim f(x)=A> lim f(x)=A和lim久%)=4的精确定义如何XSX-»-o0XT+00叙述？三者之间的关系如何？! W !极限的精确定义：设炎兀)当|划大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的 正数£,总存在着正数X,使得对于适合不等式Lxl>X的一切兀， 对应的函数数值/=)都满足不等式f(x)-A<&,则常数4叫做函数f(x)当X TOO时的极限.lim /(x) = A<=> Vs>0, BX >0, Vx: x>X,有 f(x)-A<£,XToO结论：lim /(x) = A<=> lim /(x) = lim f(x) = A XSx->xo+O极限lim f (x)=A的定义的几何意义:XS例7证明1曲丄=0分析：设£是任意给定的正数.要证存在正数X,当bd>X时, 不等式-0<成立.解不等式得|x|>-,故取X=1.X88证明：因为对V6>o, 3X=,使当Lrl>x时，有£