12改进的欧拉法

1、1. 3梯形法、隐式格式的迭代计算数值分析预备知识:引入Lagrange插值方法：设已知点（兀,必）（i = 0J2 n口 （兀-勺）令 厶（X）二 ，i = 0,n（%-勺）Z详j次Lagrange插值多项式为L/?（x）=工必（兀），i=0余项：Rn（x） = f （x） - Ln（x）满足定理：设被插值函数f（x） w Cn+a,b,且插值节点兀0,兀,” 互不相同,则对任意X e a,b,都存在e a,b,使得严1）（点）Rn （%）= 齐（兀-兀0）（兀-兀1）（兀- £ ）（m +1）!13梯形法、隐式格式的迭代计算在欧拉方法的推导过程，用矩形公式近似计算积分S+1fn若

2、用梯形公式近似计算积分，贝9G+1u(J+i)-%()= f+f (+i)G+fna也仝丿/匕川（切）+/U+1M-+1)图13因此有班乙+i）u %亿）+3（如一切/亿，（ j）+/亿+1,）叫+1 =W«+| hf（n，冷）+ /仇+1，色+1）（1.16）这是一个隐式格式。梯形公式局部截断误差分析:将表成 r = +M, 0<r<1.对于（0,0亿）和（1,0（如）,用两点插值的余项公式有= uf(t) = utn + rh)"1w M 0 /"+%)/ c、/1、=w (f )u (t i)1(r 0)(7* l)一丿0_15J_02!h2=u

3、tn) 4- T_utn+X)- utn) + r(r -+ Oh)其中0<3<1，两端关于F在"丿”+J上积分n+ =nJ-MS)/n力2 f+ j /，Tl t（t 一+ 0h）dt因为/ = +必,所以dt = hdr,且+,口皿）力£”匕）+化+）-爲/9，冷心 fn212即 r fMtwt=存/(几心)+/K+i,心+j) -存心 g ,Jtn212故梯形公式的局部截断误差，即改进的Euler法的局部截断误差为力3疋)=-务 r(G = o(胪)梯形公式的整体截断误差为：£=%()-色由色+i=给+*/亿，知)+/亿+1，冷+1)，+1u(t

4、n+l) = u(tn)+ j f(t,u(t)dt 作差得'en+lh312令Ru)= maxR化且Mi <T-tQni 3j 3所以 I 勺+i迈人 §+ 1) /?(1)+ I e0 Ih3 . h25鸟炉)+ pF% T 1*0 1= O(2),故梯形法（即改进的欧拉法）的整体截断误差的 阶为0（从而梯形格式是收敛的。类似于Euler格 式可以得到梯形格式的稳定性定理。(1.16)(1.18)(1.19)前已指岀，梯形法是一个隐式格式h色+1 =冷 + 3 /（,冷）+/（乙+1,冷+1） 如何求解血+采用迭代法，其格式如下:< 监/（一+1,以?1） +

5、 f （,色）必?初始猜测迭代法的收敛性：由压缩映像原理可知：hT 1-L< 12为迭代法收敛的充分条件。当£ = o,有下面的预报校正格式:心?1 =叫+勺U '11 n ）预报格式Un+1 = Un + £ /（，"“）+ / （一+1，必?1）校正格式I2（1.20）也称为改进欧拉公式。当然也可迭代多次:Wn+1 =Un+hf ，Un ）预报格式（1.21）Un+ =%”+£_/（，%） + / （一+1，Un+ ）校正格式当步长力取得适当小，用预报格式（欧拉法）已能算出 比较好的近似值，故迭代收敛很快，通常只需迭代二三次 就可满足精度要求，如果迭代多次仍不收敛，说明步长过 大，必须减少步长力，再进行计算。梯形法较之欧拉法提高了精度，但增加了迭代次数， 因此增加了计算工作量。镌本P10,3李立康4,5,6,卖习题2作业:试用预报校正格式(1.20)解初值问题 U = U +