12-13仿射坐标系

1、§ 2仿射坐标系定义13：空间中一点?与三个不共面向量 勺龙2，纟3 一起构成空间的一个慟标架，记竹 O;勺竝呦称O为它的原点，称1“2，勺为它的 坐标向量对于空间任意一恵，把向量肚 对勺的分解系数构成的有威组称为燉 关于上述仿射标架的他坐标。这样得到的空间的点写元有序数组的对应莠 称为由仿射标和;勺竝心决定的空间仿射坐标爰坐标面与卦限空间仿射坐标系共有八个卦限利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 力坐标为色，ay, az,方的坐标为®, by, bz, a+b=(ax+bx)i +(ay +by)j + (az + 优)斤； a-b=(ax

2、 -bx)i + (ay -by)j + (az -bz)k;Aa = (%ax)i + (MJ 了 + (Xaz )k.线段的定比分点坐标例1设人（工1，儿忆1）和3（工22忆2）为两 旦却点，而在AB直线上的点M分有向线段 AB为两部分丽、MB,使它们的值的比等AM °，求分点坐浙t于某数兄(2工1),即誘二'解 设M(x.y.z)为直线上的点,AM OM-0A-x-xv y-yv zzMB = OB-OM=x2 x, y2 y, z2z由题意知：AM=AMBx x, y = Ax2 x, y2 y, z2z,X xx= A(x2 x) zz> X = "

3、1 + '“2 ,1 + 2V 几=2(力一刃亠八屮告，1 + 2z Z =2(z2 -z) n z = Zi + 严2,1 + 2M为中点时，X. +x.x =2§3向量的内积3.1向量的投影I则向量9M淋为向酝=0M在仑方向上的内投影 向药而称为向酝=而在方向上的外投影， 分别记低渊Rz注：内投影和外投影韵纟的大小无关设谕0是两个非零向量，谁，0为它们的 几何夹角（其弧度档龙之间），込二十 当a = 0时，Ca = |a|cosa，eQo,艮卩 昱冬=|a|cosa“00命题13：投影具有线性性质，即对任意两个向量，pPe(a + fl)=Pea+Pep, Pea + P

4、)=PeaPeP(2)对任意向量淋实数L/(2a) = APea, Pe(Aa) = Pea32内积的定义实例rzzQUzzrMiSM2一物体在常力戸作用下沿直线从点M移动到点必2,页表示位移，则力所作的功为W=IFIIflcosi9 （其中0为戸与f的夹角）启示两向量作这样的运算，结果是一个数量.定义1.5 % 0两个向量的内积是一濮数，记他0. 当 0中有零向量时，a0 = O；否则 a0： = |a|0|cosa, 0).显然，a = 0u谨直切a = Jaq a 0 = 0 a0=a/3 a pa0a|0|y5)= arccos 7-7关于数量积的说明：(1) a证.& = (

5、)， ta-a =ddcos0 =a2 (2) db =0 al£（匝h 0，方工0）证(=>) ra b=0, I莎 1工0, I万IhO, cos & = 0，0=-, :. al£.2(u) alJby & = ；， cos0 = 0,ab =ab lcos& = 0数量积符合下列运算规律:（1）交换律:a b =b a;（2）分配律：（莎+方）C=C + 1!(3)若2为数：(加)万=a-(Ab) = 2(a -b),若期数:（加）（历） = 2“（匝方）例1证明向量C与向量(ac)b-(b 1)/垂直.证(/C)方一(方-c)

6、1;-c= («- c)ft - c - (ft -c)«- c=(c -b)a C一匝C=0(a-c)b-(b c)«±c、 a = axi +ayj +azk b =bxi +byj +bk > > a-b =(axi +ayj +azk) *(bxi + byj + bzk) *. fjJlA,:i j = j=0,vl i 1=1 j 1=1 k 1= 1,、,.Fi =j)=R斤=1ab=axbx+ayby+aj)z数量积的坐标表达式设A(xnjnz1), B(x2,y2,z2) 为空间两点.d = AB = ?dzAixyZi)B(x2,y2,z2)AB由 AB = OB-OAAB=丁（兀2 -心尸+伉-儿y+-zj兀2,儿，® g y】，$= x2 y2 z2 空间两点间距离公式两向量夹角余弦的坐