山西省高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

1、2019-2020学年山西省高二上学期期中考试数学(理)试题、单选题1 ,已知集合 A= x|y ln(x 2) ,B=x|(x+5)(x- 2) < 0 则 AAB=()D, 5,+8)A、B,再利用交集的A. (- 2,+8)B. - 2,2C. (2,2【答案】C【解析】利用对数函数的定义域、一元二次不等式的解法化简集合 定义求解即可【详解】A= x|y ln(x 2) = x|x 2 ,B=x|(x+5)(x-2) w 0=x| 5x2,AAB= x| 2 x 2 .故选：c.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为

2、元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.2 .某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】直接利用分层抽样中，每个层次被抽取的概率相等求解即可【详解】因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等，所以，应选取的初二年级学生人数为 600 X18=6,故选B.500 600 700【点睛】分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取 的比例相同.3 .若直线a

3、x 2y a 2 0与3x (a 5)y 5 0平行，则a的值为()B. 1 或 3C. 3D. 2或 3【答案】A【解析】根据直线平行得到a(a 5)2 3,排除重合情况，计算得到答案【详解】因为直线ax 2y a 2 0与3x (a 5)y 5 0平行所以a(a 5)2 3,解得a 2或a 3当a 3时，这两条直线重合，排除，故 a 2.故选：A【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.,则/,n ，则 m n,n ，则 m n，则m n4 .已知 ，是二个不同的平面， m , n是两条不同的直线，下列判断正确的是A.若 ，B.若 /, mC.若 ，mD .若

4、m , n【答案】D【解析】 根据空间中线面关系的性质定理，逐项判断，能得到答案【详解】 对于A ,平面 和 也可能相交，故A不正确；对于B,直线m与n也有可能是异面，故B不正确；对于 C,直线m与n有可能平行、异面以及相交但不垂直，故 C不正确;对于D,同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，故 D正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间中线面之间位置关系的判断，属于基础题ir uuur1rmiir5.已知两个单位向量 e,3的夹角为60°,向量m 5e1 2q，则m ()A. MB.后C. 275D. 7【答案】A 、- urii 一， Lr 2 【解析】 先根据向量数量积定义得 e

5、 e2 ,再求m ,即得结果.【详解】uruui因为 0e211cos一,232ir 2urur1 ur _所以 m|5e2e2 |225 4 20 19 m屈2故选：A【点睛】本题考查利用向量数量积求向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题6 .点P(sin , J3cos )到直线x y 8 0的距离的最小值为()A. 4B. 273C. 372D. 572【答案】C【解析】利用点到直线的距离公式得到，d得到答案.【详解】点 P(sin , 73 cos )到直线 x y 82sin 83,根据三角函数的有界性20的距离为:2sin 8,| sin 、3 cos 8136 c 二.d222

6、 3 2故选：C【点睛】本题考查了点到直线的距离公式和三角函数的有界性，意在考查学生的计算能力7 .已知A(1,0), B 0,2 , C 2,6 ,则 ABC的BC边上的高线所在的直线方程为( )A. x 2y 1 0b. x 2y 1 0 c. x 6y 1 0 d. x 1 0【答案】A【解析】先计算kBc 2 ,得到高线的斜率，又高线过点A(1,0),计算得到答案.【详解】kBC42 ,高线过点A(1,0)2 0,、1 BC边上的高线所在的直线方程为y x 1 ,即x 2y 1 0.故选：A【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为1是解题的关键.8.光线自点 2,4射入，经倾斜角为

7、135的直线l：y kx 1反射后经过点 5,0 ,则反射光线还经过下列哪个点()A. 14,2B. 14,1C. 13,2D. 13,1【答案】D【解析】先计算k tan135 1,计算点 2,4关于直线l:y x 1的对称点为1， 一、3, 1，计算得到直线方程 y -(x 5),代入数据计算得到答案.8【详解】k tan135 1,设点 2,4关于直线l：y x 1的对称点为 m,n4 1则m 2,解得n 4 m2, 1220 ( 1)1所以反射光线所在直线方程为y 一() (x 5) - (x 5)5 ( 3)8.9当x 13时，y 1;当x 14时，y .故过点13,18故选：D.【

8、点睛】本题考查了直线的对称问题，计算点 2,4关于直线l: y x 1的对称点是解题的关键.22229.已知P,Q分别为圆M :(x 6) (y 3)4与圆N:(x 4) (y 2)1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP| |AQ|的最小值为()A. 710? 3B. 5而 3C. 775 3D. 5>/3 3【答案】B【解析】 计算圆N关于x轴对称的圆为n':(x 4)2 (y 2)2 1, |AP| | AQ|的最小值为MN 1 2 ,计算得到答案【详解】圆N:(x 4)2 (y 2)2 1关于x轴对称的圆为圆N :(x 4)2 (y 2)2 1则 |AP| |AQ| 的最小

9、值为 |mn r R 由02 52 1 2 575 3.故选：B【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积 (假设内壁表面光滑， 表面积为S平方厘米，半球的半径为 R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为()re tm2A (0)> 序&椿,) C【答案】D【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为h, F3 S43 . 一 r .V R3 -R, - R3,根据高的关系得

10、到 323【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为h,R,则s、，2_3_ 2,2_3所以酒杯的容积V-R3R2hR333一 S22 S又h 0,所以一R2 0,所以 R2 一,22故选：D（厚牌 D-碍:/）。计算容积得到r2 S 5 r2一R -, - R ,计算得到答案. 2 3C_S_22 R2 2 Rh,则 Rh 3 R , R2 R 一 R3 R, - R3, 23233R,解得肾R P【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力11.如图，在Rt ABC中，D, E分别为AB, AC边上的中点,且 AB 4, BC 2.现将 ABC沿DE折起，使得A到达

11、A的位置,且二面角 ADE B为60 ,则ACB.3C.、.而D. 273【解析】由三角形中位线知DE / BC ,从而得到DE BD ,DE AD ；由二面角平面角的定义知 ADB60°,由此得到AB 2 ；根据线面垂直的判定定理和平行关系可知BCL平面A1BD ,由线面垂直性质知 BCAB,利用勾股定理求得结果Q D,E分别为AB,AC中点DE /BCDE BD, DE AD又 BD,AD平面ABD , BD IAD Dde 平面AbdQ二面角ADEB的平面角为ADBA1DB 600Q AD BDAB 2Q BC/DEBC平面ABD ,又AB平面AbdBC ABAC Jab2 B

12、C2 J4 4 2亚故选：A本题考查立体几何中的折叠问题的求解,关键是能够根据折叠后的不变量得到线面垂直的关系，结合勾股定理求得结果12.若直线y kx 1与函数f(x)J27x2,o 软x交点，则k的取值范围为(八1, 3、A. 4,7）3 3B T，；）x2 6x 8,21 3C.一,一）4 4x,的图象恰有3个不同的4【答案】C【解析】画出函数图像，直线 ykx 1过定点 0, 1 ,根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得到答案.【详解】 2222f X的图象由圆(x 1) y 1的下半部分与圆(x 3) y 1的上半部分组成直线y kx 1过定点0, 1 .223k 1,当直线y kx

13、 1与圆(x 3) y 1的上半部分相切时，d .： 1,1 k2一 一 3斛得k 一或k 0 (舍去)41当直线y kx 1经过点4,0时，k 一4 , 1 3数形结合可得：k -,-).4 4【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键二、填空题21g x,x 013 .设函数 f(x) 1 x ，则 f( f(10) ,x 04【答案】16【解析】直接代入数据得到答案.【详解】f ( f (10) f( 2) 42 16故答案为16【点睛】 本题考查分段函数求值，考查运算求解能力9 ，小圆锥与大圆锥14 .如图，某几何体由两个同底面的圆锥组合而成，若底面

14、积为的高分别为4和6,则该几何体的表面积为 .【答案】15 9,5【解析】根据底面积计算底面半径，再利用表面积公式得到答案【详解】底面积为 r2 9 r 3几何体的表面积为 3 ( 32 42 . 32 62) (15 9.5).故答案为：15 9.5【点睛】本题考查了表面积的计算，意在考查学生的计算能力222215 .若圆M ： x 1 y 14与圆N ： x y m 25内切，则m 【答案】272 1或2 72 1【解析】由圆的方程可确定两圆圆心和半径，根据两圆内切的位置关系可知圆心距等于两圆半径之差的绝对值，由此构造方程求得结果【详解】由圆的方程可得两圆圆心分别为：M 1, 1 , N

15、0,m ；半径分别为2和5Q 两圆内切MN|1 0 21 m 2 5 2 3解得：m 2近1或2衣1故答案为：2拒1或2 42 1【点睛】本题考查根据圆与圆位置关系求解参数值的问题，关键是能够由两圆内切得到两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值 .16 .如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD 平面 ABCD, AB AD , AB/CD,AD CD PD 2, AB 1, E,F分别为棱PC,PB上一点，若be与平面PCD所2成角的正切值为 2,则（AF EF）的最小值为 【答案14 4 2 3【解析】 先找出BE与平面PCD所成角，再利用正切值为 2,证得E为PC的中点.根 据所给各边的长度，

16、求出 APB, BPC的斜弦值，再将 PBC翻折至与平面PAB共 面，利用余弦定理求出 AE ,即为（AF EF）2的最小值.【详解】取CD的中点H,连接BH, EH.依题意可得，BH CD .因为PD 平面ABCD ,所以PD BH ,从而BH 平面ABCD ,所以BE与平面PCD所成角为l_ BH且 tan BEH EH2EH2 ,则EH 1 ,则E为PC的中点.在 Rt PAB 中，cosAPAPBPB因为PB 3, PC 2五,BC匹,所以cos BPC,所以 BPC 24将 PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中 2 2.2 142 cos APC cos APB - -,4

17、2336当F为AE与PB的交点时， AF EF取得最小值，此时,(AF EF)2 AE2 (2、2)2 晨2)2 2 2.2 ，2 4214 4.63故答案为：14 4 2 .【点睛】本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算 求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要 求较高，属于难题.三、解答题17 .已知直线l经过点3, 2 .(1)若l与直线y 2x平行，求i的方程(结果用一般式表示)；(2)若i在X轴上的截距与在 y轴上的截距相等，求i的方程(结果用一般式表示).【答案】(1) 2x y 8 0 (2) 2x 3y

18、0或x y 1 0.【解析】(1)根据平行得到l的斜率为2,得到点斜式为y 2 2x3,化简得到答案.(2)根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案【详解】(1)因为l与直线y 2x平行，所以l的斜率为2,由点斜式可得，l的方程为y2 2x3,即2xy8 0.2 八 一 一(2)当直线l过原点时，l的斜率为 一，所以l的方程为2x 3y 0 .3当直线l不过原点时，设直线l的方程为-y 1,代入3, 2 ,得a 1 ,a a所以l的方程为x y 1 0.综上所述：l的方程为2x 3y 0或x y 1 0.【点睛】 本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力18

19、 .已知四棱锥P ABCD的直观图如图所示，其中 AB, AP , AD两两垂直,AB AD AP 2 ,且底面ABCD为平行四边形.（1）证明：PABD .P ABCD的表面积.（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图,请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，表面积为 8 4，2【解析】（1）由线面垂直的判定定理可证得PA 平面ABCD,由线面垂直性质可证得结论；（2）根据三视图的原理可得到侧视图，同时可知CD 平面PAD , BC，平面PAB ,从而可得到 Rt PCD与Rt PBC的面积，进而求得四棱

20、锥的表面积.【详解】（1）Q AB,AP,AD两两互相垂直PA AB, PA ADQ AB, AD 平面 ABCD, AB AD APA 平面ABCDQ BD 平面 ABCD PA BD易知：CD 平面PAD, BC，平面PABCD PD , BC PBPCD与 PBC的面积均为：1 272 2 2五2四棱锥P ABCD的表面积为2& 2 - 2 2 222【点睛】二视图的回法和棱锥表面积的求解问题，涉本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、及到线面垂直关系的证明和性质等知识19 . a, b, c分别为 ABC内角A, B, C的对边.已知abcos A B(1)求 tan Atan

21、B ；(2)若 tanA 2, a 2押，求 b.【答案】(1) 3 (2) 15加131 _-【解析】(1)由已知等式可结合余弦定理得到-cos A B cosC ,利用cosC cos A B和两角和差的余弦公式可整理得到sin Asin B 3cosAcosB ,根据同角三角函数的商数关系可求得结果;(2)利用同角三角函数关系可求得sin A,sin B ,根据正弦定理可求得结果(1)由 abcos A B2, 221a b c 得：一cos A B 22abcosCcosC cos A Bcos A B 2cos A BcosAcosB sin Asin B2cosAcosB 2sin

22、 Asin B整理可得：sin Asin B 3cosAcosB“、入 nc-3(2) Q tan A 2 tan B 一2QA 0, B 0,sin Atan AtanBsin Asin BcosAcosB"sinB 亚513由正弦定理得:asin B bsin A2,5年132,5515 1313本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差余弦公式的应用、 同角三角函数的求解问题，属于常考题型20.如图，在直四棱柱 ABCD A1BQ1D1中，底面ABCD为正方形，。为AG的中点，且AB 2.(1)证明：OD P平面AB1c.(2)若异面直线OD与ABi所成角的正

23、弦值为 叵，求三棱柱ABC AB1C1的体积.11【答案】(1)证明见解析(2) 2用【解析】(1)连接OB，连接BD交AC于G ,连接BG ,证明四边形OBQD为平行四边形，得到证明.(2)线OD与AB1所成角即直线B£与AB1所成角，sin ab1G 吏2 ,证明11AC BQ ,再计算得到BB1 77 ,利用体积公式计算得到答案【详解】(1)连接OB1，连接BD交AC于G ,连接B£ .易证OB1 P DG ,且OB1 DG ,所以四边形OBGD为平行四边形，所以OD P BG .因为B£ 平面ABC , OD 平面ABC ,所以OD P平面ABC .(2)

24、由(1)知，OD P B1G ,所以异面直线OD与AB1所成角即直线B1G与AB1所成角，所以sinAB1G因为底面 ABCD为正方形，所以 AC BD ,又侧棱垂直底面，所以BB1 AC.因为BB1 BD B,所以AC 平面BB1D1D ,所以AC B1G.因为AG所以AB1布，所以BB11 4 *7.11- 12故二棱枉ABC AB1C1的体积V 22 J7 2币.2【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出BBi的长度是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21 .在数列an,bn中，ab 1, an13anbn3n1 , bn 13bnan 3n 1.等差数列 Cn的前

25、两项依次为a2 , b2.(1)求Cn的通项公式；(2)求数列 an bn Cn的前n项和Sn .【答案】(1) Cn 8n 10(2)Sn (4n 9)2n 2 36【解析】(1)根据递推公式计算 a22, b2 6,利用等差数列公式计算得到答案.(2)将题目中两式相加得到an1bn 12anbn,故anbn是首项为2,公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案【详解】(1) bi 1 ,a22, b2 6,则 Cn 的公差为 d 62 8故Cn的通项公式为Cn2 8(n 1) 8n 10.(2) an 1 3an bn 3n 1 ,bn 1 3bn an 3n 1 ,得 an 1 bn 1 2 an bn .又a1 b1 2,从而an bn是首项为2,公比为2的等比数列，故 an bn 2n. an bn Cn8n 10 2nSn2 2 6 22 L (8n 10)2，.23n 12Sn2 26 2 L (8n 10)2 ,Sn 2s4 8 22 23 L 2n (8n 10)2n 1,n 1_n1 _n1_即 S 4 8 24 (8n 10)2(18 8n)236,即 Sn