函数的单调性与导数练习

1、第一章 1.3 1.3.1函数的单调性与导数 课后强化演练 一、选择题 1.函数 f(x)=1+x sinx在(0,2 ibU ()A.增函数B.在(0,兀上递增，在(q 2兀上递减C.减函数D.在(0,兀上递减，在(0,2就递增解析：f' (x) = 1 cosx>0,f(x)在(0,2兀上是增函数. 答案：A2.函数f(x) = x315x233x+6的单调减区间为()A . (11,1)B. ( 1,11)C.(巴1)D.(巴1)U(11, +8)解析：f' (x)=3x230x33,由 f' (x)<0,得一1vxv11. 答案：B 3,若 f(x)

2、=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则()A . b2-4ac>0B. b>0, c>0C. b=0, c>0D. b2-3ac<0解析：f'(x) = 3ax2+2bx+c,a>0,由题意得：A=4b212ac<0,即：b2 3ac< 0.答案：D解析：由丫=*( (x)的图象可知，当 0vxv1 时，f' (x)<0, x>1 时 f' (x)>0,当 xv1 时 f' (x)>0,当一1vxv0 时，f' (x)<0,f(x)在(一8, 1), (1, +

3、8)上单调递增，在(一1,1)上单调递减.答案：C5.若函数y=a(x3x)的递减区间为一票 半，则实数a的取值范围是()33A. a>0B. 1<a<0C. a>1D. 0<a< 1解析：y' =a(3x21),又 y' <0 的解为 一堂,堂，. . a>0.答案：A6.若f(x)是定义在(0, +8 )上的非负可导函数，且满足xf' (x) + f(x)w0.对任意正数a, b,若avb,则必有()A . af(a)w bf(b)B . bf(b)< af(a)C. af(b)wbf(a)D. bf(a)<

4、; af(b)解析：设 g(x) = xf(x)(x>0), g ' (x) = xf' (x)+ f(x)W 0,. g(x)在(0, + 8)上单调递减或恒为常数.又0< a< b,g(a)>g(b).即：af(a)>bf(b).答案：B二、填空题7,若函数f(x) = x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),则b+ c=.2.八 3b 2,解析：-f (x) = 3x2 + 2bx+c,由题意得：f' (x)=0 有两1,3,b= - 3, 得c= - 9.c=-3, 3由韦达定理得：. b + c= 12.答案：128.若

5、函数f(x)是R上的偶函数，且在(0, +8)上有F仅)>0,若f( 1)=0,那么关于x的不等式xf(x) < 0的解集为.解析：:年)在(0, +8)上满足f (x)>0, . .f(x)在(0, + 8)上为增函数，又f(x)为偶函数，. f(x)在(一8, 0)上为减函数，又 f(-1)=0,f(1) = 0, x f(x)V0 的解集为 0vxv1 或 xv - 1.答案：( 8, 1)U (0,1)4x9,若函数f(x)=x2 + 1在区间(m,2m+1)上是单倜递增函数，则头数 m的取值氾围是解析：由f (x) =4x2 + 1 2x4x 4x2+ 4x2+1

6、2x2+1 2>0,解得1 wxW 1.r 一，、，、，一、一.,，r m A 1 ,一，r即f(x)的单调递增区间为 1,1,由题意得解得一1WmW0.2m+ 1 < 1,又 m<2m+ 1, m> 1,答案：(一1,0三、解答题10 .求下列函数的单调区间: (1)f(x) = x2ln x;xe(2)f(x)=x.解：(1)函数f(x)的定义域为(0, +8).6一，1f (x) = 2x- = x：2x 1 . 2x+ 1因为x>0,所以恒士工>0,由f' (x)>0得x>2, x2所以函数f(x)的单调递增区间为¥，+

7、8 ；由 f' (x)V 0 得 xv 乎，又 xC (0, 十°° ),所以函数f(x)的单调递减区间为0,乎.(2)函数 f(x)的定义域为(8, 2)U(2, +oo).f'(x) =ex x-2 exx- 2x-2因为 xC (8, 2) U (2, 十0° ),所以 ex> 0, (x- 2)2>0.由f' (x)>0得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3, +8)； 由f' (x)<0得x<3,又定义域为(一巴 2)U(2, +8), 所以函数f(x)的单调递减区间为(一8,

8、2), (2,3).11 .已知 x>1,证明 x> ln(1+x). 证明：设 f(x)= xln(1 + x)(x> 1),一，1f (x) = 1 - -1 + x由 x>1,知 f' (x)>0.故 f(x)在(1, +8)上单调递增，f(x)>f(1).又 f(1)=1 In 2>0,即 f(1)>0.又由 x> 1,故 f(x)>0,即 x>ln(1+x).12 .已知函数f(x)=(ax2+x1)e其中e是自然对数的底数aCR.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)若a<

9、;0,求f(x)的单调区间.解：(1)a=1 时,f(x)= (x2+x1)ex,所以 f' (x)= (2x+1)ex+(x2+x1)ex= (x2+3x)ex,所以曲线f(x)在点(1 , f(1)处的切线斜率为k=f' (1) = 4e.又因为f(1) = e,所以所求切线方程为y e=4e(x 1),即4ex y3e=0.(2)f' (x)= (2ax+ 1)ex+ (ax2+x 1)ex= ax2 + (2a+ 1)xex,12a + 1 一， 一，右一2<a<°,当 XW 0 或 4一 时，f (x)w°；当0wxw 一中时，

10、所以f(x)的单调递减区间为(一8, 0,生型，+8 ;单调递增区间为0,现aa若a=则f' (x)=$2exw 0,所以f(x)的单调递减区间为(一8, +oo ).若 a< -,当 xw 2a+1 或 x>0 时，f' (x)w。； 2a2a+ 1<x<0 时，f' (x)>0. a所以f(x)的单调递减区间为 一8,2a+ 1 2a4 1 一0, +8);单调递增区间为2a二，0 .ak选做1 .13 .定义在 R 上的可导函数 f(x)满足 f( x) = f(x), f(x 2)=f(x+2),且当 xC 0,2时，f(x) = ex+2xf' (0),则f 7与f 9的大小关系是()A. f 7>f?B. f|163一 7C. f 2,16<fTD.不确定f' (0) = 2, f(x) = ex+x在0,2上单调递解析：f' (x) = ex+2f, (0),当 x=0 时，f'