初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析

1、初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析一、圆的综合1.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2. B ( - 3 J3 , O),C ( B O) .(1)求。M的半径；(2)若CHAB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4； (2)见解析；(3) 4.【解析】【分析】(1)过M作MTLBC于T连BM,由垂径定理可求出 BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；(2)连接AE,由圆周角定理可得出 /AEC4 ABC,再由AAS定理得出AEHAFH,进 而可得出结论；(3)先由(1)中ABMT的边长确定出/BMT的度数，再由直角

2、三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1)如图(一)，过 M作MTLBC于T连BM,.BC是。O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，1 ，BT=TCh BC=2s/3,2 BM=，12 4=4； 如图(二)，连接 AE,则/AEC=/ ABC, .CE AB, / HBC+-Z BCH=90 在COF中， / OFC-+Z OCF=90,/ HBC=Z OFC=Z AFH,在 AEH和AFH中，AFH AEH AHF AHE ,AH AH .AEHAAFHI (AAS), .EH=FH；(3)由(1)易知，/BMT=/BAC

3、=60, 作直径 BG,连 CG,则 / BGC=Z BAC=60 , .OO的半径为4, .CG=4,连AG, / BCG=90 ；.-.CGx 轴， .CG/ AF, / BAG=90 ； AGXAB, .CE AB, .AG/ CE四边形AFCG为平行四边形， .AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键.2.如图，以。为圆心，4为半径的圆与 x轴交于点A, C在。上，/OAC=60.(1)求/ AOC的度数；(2) P为x轴正半轴上一点，且 PA=OA连接PC,试判断PC与。的位置关系，并说明

4、 理由；(3)有一动点M从A点出发，在O O上按顺时针方向运动一周，当Samao=Sacao时，求动点M所经过的弧长，并写出此时 M点的坐标.【答案】(1)60。；(2)见解析；(3)对应的M点坐标分别为：Mi (2, -2J3)、M2(-2, - 2百)、M3 (-2, 25、M4(2, 2百).【解析】【分析】(1)由于/OAC=60,易证得4OAC是等边三角形，即可得 /AOC=60 .(2)由(1)的结论知：OA=AC,因此OA=AC=Ap即OP边上的中线等于 OP的一半，由 此可证得4OCP是直角三角形，且 /OCP=90,由此可判断出 PC与。的位置关系.(3)此题应考虑多种情况，

5、若 MAO、4OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此 有四个符合条件的 M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行 求解.【详解】(1) OA=OC, Z OAC=60 ,.OAC是等边三角形，故 / AOC=60 .(2)由(1)知：AC=OA 已知 PA=OA,即 OA=PA=AC1，AC=OP,因此4OCP是直角二角形，且 /OCP=90,2而OC是。的半径，故PC与O O的位置关系是相切.(3)如图；有三种情况：八 取C点关于X轴的对称点，则此点符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M1 (2,-26)；劣弧MA的长为:604180 取C点关于原点的对称点，此点

6、也符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M2 （-2,2石）；120劣弧MA的长为： -1803 取C点关于y轴的对称点，此点也符合 M点的要求，此时 M点的坐标为：M3 （-2,22404 16优弧MA的长为：郅一4 -；1803当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时 M4 （2, 2J3）;优弧MA的长为：3004 20-；1803综上可知：当 Sa mao=Sacao时，动点 M所经过的弧长为 , , ,-20-对应的M点坐标分别为：M1 （2, 2志）、M2 （-2, 2北）、M3（ 2, 2遍）、M4（2,2技.【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用

7、，不要漏解.3 .如图，在VABC中， ACB 90o，BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE AD交AB于点E,以AE为直径作e O .1求证：BC是e O的切线；4 若 AC 3, BC 4,求 tan EDB 的值.cdbi【答案】（1）见解析；（2） tan EDB -.2【解析】【分析】1连接OD,如图，先证明 OD/ /AC ,再利用AC BC得到OD BC ,然后根据切线 的判定定理得到结论；2先利用勾股定理计算出 AB 5,设eO的半径为r,则OA OD r, OB 5 r,再证明VBDO sVBCA ,利用相似比得到r： 3 5r, _155,斛仔r ,接着利用勾85股

8、定理计算BD 万，则CD3)1.r-,利用正切定理得tan 1 -,然后证明1 EDB ,从而得到tan EDB的值.1证明：连接OD,如图,Q AD 平分 BAC , 12,QOA OD ,23,1 3,OD /AC ,Q AC BC, OD BC , BC是e O的切线；2 解：在 RtVACB 中，AB 43 425，设e O的半径为r,则OA OD r , OB 5 r ,QOD /AC ,VBDO sVBCA,OD ： AC BO ： BA,15即 r： 35 r ： 5,解得 r 一，8OD15OB258，【详解】在 RtVODB 中，bd Job2 OD2 5, 2一 一 3CD

9、 BC BD -2，3在 RtVACD 中，x , CD 万 1 , tan 1 一AC 3 2Q AE为直径,ADE 900，EDB ADC 90，Q 1 ADC 900,1 EDB ,l2 1tan EDB .2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时莲圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条 直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.4.如图AB是4ABC的外接圆OO的直径，过点 C作。的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC连接AD交CM于点E,若。OD半径为3, AE=5,(1)求证：CMXAD;

10、【解析】分析：(1)连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；(2)根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.CM切。于点C, / OCE=90,.AB是。的直径，/ ACB=90 ,.CD=BG AC垂直平分 BD,，AB=AD,/ B=ZD / B=ZOCB/ D=Z OCB .OC/ AD/ CED=Z OCE=90 CMXAD.(2) OA=OB, BC=CD1 OC= AD22 .AD=6DE=AD-AE=1易证CDE-MCECE DEAE CE.CE2=AEX de3 .CE=.5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性

11、质的应用，灵活判断边角之间 的关系是解题关键，是中档题 .5.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的中 点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2) -连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求sin/CAE 的值.【答案】 见解析；(2)/.10【解析】分析：(1)要证 DE是。的切线，必须证 ED) OD,即/EDB+/ ODB=90(2)要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD) AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：(1

12、)证明：连接。、D与B、D两点，.BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=/ EBD. ( 2 分)又 OD=OB且/ EBD叱 DBO=90 , / EDB+/ ODB=90 :.DE是。O的切线.(2)解： / EDO=Z B=90,若要四边形AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点,又 ; BD AC,.ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHIAC于H,设 BC=2k,则 EH=/k, AE=75k,EH .10，sin/CAE= .AE 10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点（即为半径），再证垂直即

13、可.6.如图，A是以BC为直径的。上一点，AD BC于点D,过点B作。的切线，与 CA 的延长线相交于点 E, G是AD的中点，连结 CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的 延长线相交于点 P.（1）求证：BF=EF:（2）求证：PA是。的切线；（3）若FG=BF,且。的半径长为3J2,求BD的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 272【解析】分析：(1)利用平行线截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF;(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到/FA8/EBQ结合BE是圆的切线，得到 PA

14、! OA,从而得到PA是圆O的切线；(3)点F作FH，AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度.详解：证明：(1).BC是圆O的直径，BE是圆O的切线， EBXBC；又 ; AD BC, .AD/ BE.BFCADGC AFECAGAC,BF CFEF CF =. =.DG CG AG CGBF EF=，DG AG1 G是AD的中点，DG=AG, BF=EF;(2)连接 AO, AB.,. BC是圆O的直径，3 / BAO90 :由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点,4 .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BA

15、O,. BE是圆O的切线，/ EBO=90 ；5 / FBA+ZABO=90 ；6 / FA9/ BAO=90 ;即 / FAO=90,7 PAX OA,8 .PA是圆O的切线；9 . BDXAD, FHXAD,10 .FH/ BC,由(2),知 / FBA=Z BAF,BF=AF.11 BF=FG,12 .AF=FG,.AFG是等腰三角形.FHXAD,.AH=GH,DG=AG, DG=2HG.日口 hg 1即 -,DG 2. FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四边形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC .HFGADCG,.FHHG1CDDG2即电1, CD 22,

16、3 2.15, 3.O的半径长为3亚,BC=6，2，BD=_ BC = 2 2z .3.结合已点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键7.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0, 0),点A(娓,0肖点B(0, J2),点D在劣弧 0A上，连结 BD交x轴于点 C,且/ COD= / CBO.(1)求。M的半径；(2)求证:BD平分/ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点 E,使得直线AE恰为。M的切线，求此时点 E的坐标.【答案】(1) M的半径r=J2 ；(2)证明见解析；(3)点E的坐标为(_2Y

17、6,J2).3【解析】试题分析：根据点 A和点B的坐标得出0A和0B的长度，根据 RtAOB的勾股定理得出 AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ABD=/ COD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出4AB瞌4HBE,从而得出BH=BA=2/2 ,从而求出0H的长度，即点E的纵坐标，根据 RtAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出/ CBO 的度数，然后根据 RtHBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：(1) ;点 A 为(J6 , 0),点 B 为(0,近)，0A=J6 0B=J2 根据RtAOB的勾股定理可得： AB=2J2 e M的半径r=-AB=

18、V2 . 2(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：/ ABD=Z COD / COD=Z CBO，/ ABD=Z CBOBD 平分 / ABO(3)如图，由(2)中的角平分线可得 ABEHBE，BH=BA=2J2，OH=2我 一,2 = 2OA -在 RtA AOB 中，一 J3 . . / ABO=60，/ CBO=30OB在RtHBE中，HE=BH 述.点e的坐标为(2Z6 ,我) .333考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数8.在平面直角坐标系中，已知点 A (2, 0),点B (0, 2与)，点O (0, 0) . 4AOB绕 着O顺时针旋转，得 AOB,点A、B旋转后

19、的对应点为 A, B,记旋转角为图1图Z(I )如图1, AB恰好经过点A时，求此时旋转角 a的度数，并求出点 B的坐标；(n )如图2,若0V a90,设直线 AA和直线 BB交于点P,求证：AAUBB;(出)若0 aPC CD,由(1)可得：CD=4PC3一 1 一 4 2 o Sa pcc=PC PC = PC,233当PC最大时，APCD的面积最大，250当PC为。直径时， PCD的最大面积=-x2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.11.如图，点B在数轴上对应的数是-2,以原点。为原心、OB的长为半径作

20、优弧 AB, 使点A在原点的左上方，且 tan/AOB= J3 ,点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数 为4.(1) S扇形AOB= (大于半圆的扇形)；(2)点P是优弧AB上任意一点，则/PDB的最大值为 (3)在(2)的条件下，当 /PDB最大，且/AOPV 180时，固定OPD的形状和大小， 以原点O为旋转中心，将 4OPD顺时针旋转 a (0。WaW 360。 连接CP, AD.在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；当PD/AO时，求AD2的值； 直接写出在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围.【答案】(1) 10- (2) 30 (3) AD=2P 20+

21、8 J3 或 20+8 J3 1 wd W 33【解析】【分析】(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中，当PD与。相切时，/PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3) 结论：AD=2PC.如图2中，连接 AB, AC,证明COW4AOD,即可解决问题.求出 分两种情形：如图 3中，当PD/ OA时，设OD交。于K,连,接PK交OC于H.PC即可.如图 中，当PA/OA时，作PKL OB于K,同法可得.判断出PC的取值范围即可解决问题.【详解】(1) tan Z AOB=串,/ AOB= 60 :-3002210.S扇形AOB= (大于半圆的扇形),3603.PD是。的切线, O

22、PXPD,/ OPD= 90 ； sin PDOOPOD/ PDB= 30 :同法当DP与。相切时，/BDP= 30, /PDB的最大值为30：故答案为30.(3)结论：AD=2PC.理由：如图2中，连接AB, AC. .OA=OB, /AOB=60；.AOB是等边三角形，BC= OC,.-.AC OB, / AOC= / DOP= 60 ,/ COP= / AOD,AO OD 2, OC OP.-.COPAAOD）,AD AO 八 2, PC OC.AD=2PC. 如图3中，当PD/ OA时，设 OD交。于K,连接 PK交OC于H.,. OP=OK, /POJ60；.OPK是等边三角形，1.

23、 PD/ OA,/ AOP= / OPD= 90 , / POH+Z AOC= 90 ；/ AOC= 60 ；/ POH= 30 ；.PH=；OP=1, OH=73pH=石,PC= .PH2 CH2,T （1 ,3）25 2.3,.AD=2PC,-AD2=4 （5+2百）=20+873 .如图中，当PA/ OA时，作PK! OB于K,同法可得：PC2=12+ ( J3 - 1) 2 273 , AD2=4PC2=20-8/3图4由题意1巾Gc，在旋转过程中，点 C到PD所在直线的距离d的取值范围为1甫W3【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定 理，

24、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.12.如图，已知 AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线AB对称的两个 点，连接 OC AC,且/BOC 90,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线 CG与线 段AB的延长线相交于点 F,与直线AD相交于点G,且/ GAF= / GCE(1)求证：直线CG为。的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接 CH,满足CB= CH,CBHkOBC求OH+HC的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；5.【解析】分析：(1)由题意可知：/CAB=/ GAF,由圆的性质可知：/CAB=/ OCA,所以/

25、 OCA=Z GCE,从而可证明直线 CG是O O的切线；(2) 由于CB=CH所以/CBH=/ CHB,易证/ CBH=/ OCB,从而可证明 CBHAOBC；BC HB 一 BC2 由CBHMOBC可知： 反所以HB=,由于BC=HC所以BC2OH+HC=4-，一 +BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.详解：（1）由题意可知： /CAB=/ GAF, .AB是。的直径，/ ACB=90 .OA=OC,Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=Z GCE / GCE吆 OCB=Z OCA+Z OCB=90 ； .OC是。的半径，直线CG是。的切线

26、;(2)CB=CFi/ CBH=Z CHB,.OB=OC,/ CBH=/OCB, .CBHAOBCBC _ HBOCBC,.AB=8, BC2=HB?OC=4HBd BC2 HB=,4，OH=OB-HB=4-应4.CB=CHBC2 .OH+HC=4- p +BC, 当 / BOC=90 , 此时 BC=4.、2 / BOC 90 ； -0BC/10 = 6 710设 CE=CD=x 则 BC=3屈+x, AC=6折 +x .AB2+BC2=AC2(9 y1 )2 +(3 Vi0 +x)2= (6 iA0 +x)2解得：x=9 ,10.BC=12710, AC=15710. .ABC各边长 AB

27、=9历，AC=15V10, BC=12/T05 DC却【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定 理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股 定理作为等量关系列方程解决是常用做法.14.如图1, D是。的直径BC上的一点，过 D作D已BC交。于E、N, F是。上的 一点，过F的直线分别与 CB DE的延长线相交于 A、P,连结CF交PD于M, Z C=1 ,一/ P.2(1)求证：PA是。的切线；(2)若/A=30,。的半径为4, DM=1,求PM的长；(3)如图2,在(2)的条件下，连结 BF、BM;在线段DN上有一

28、点H,并且以H、D、C 为顶点的三角形与 4BFM相似，求DH的长度.【答案】(1)证明见解析；(2)PM=4j3-2;(3)满足条件的DH的值为613或212 2也11【解析】【分析】(1)如图1中，作PHLFM于H.想办法证明/PFH=/ PMH, / C=/ OFC,再根据等角的余角相等即可解决问题；(2)解直角三角形求出 AD, PD即可解决问题;(3)分两种情形 当CDHMBFM时,DHFMCDBF一DH CD 当CDHMFB时， ,分别构建万程即可解决问题;FB MF【详解】(1)证明：如图1中，作PH, FM于H.01. PDXAC, / PHM= / CDM= 90 ； / Z

29、 PMH= ZDMC, ，/C=/MPH,-1 ，/. / C= / FPM,/ HPF= / HPM,2 Z HFP+Z HPF= 90 , Z HMP+Z HPM= 90 , . . / PFH= / PMH,1.OF=OC,，/C=/OFC / C+Z CMD= / C+Z PMF= / C+Z PFH= 90 ； / OFC+Z PFC= 90 ,/ OFP= 90 ,，直线PA是。的切线.(2)解：如图 1 中，. /A= 30, /AFO= 90, ，/AOF= 60, / AOF= / OFC+Z OCF, / OFC= / OCF/ C= 30 ； 0O的半径为4, DM =1

30、 ,.OA=2OF=8, CD=石DM= 73 ,.OD=OC- CD= 4-石,.AD=OA+OD= 8+4-向=12 -向， 在 RtADP 中，DP= AD?tan30 =.PM = PD- DM=4 出-2.(3)如图2中,CDbF，CDMFDH 百44、3 2 ，DH=12 2 上111-由（2）可知：BF= BC= 4, FM= 73 BF= 43 , CM=2DM= 2, CD=布,.FM=FC- CM = 4 眄 2,一一, DH当CDHMBFM时，FMDH 36-,DH=-4.3 24 DH当CDHMMFB时，FB- DN= J42 4 V3 2 TS3-S ,DHvDN,符

31、合题意,综上所述，满足条件的 DH的值为-3或I2 2m211【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题15.对于平面内的OC和。C外一点Q,给出如下定义：若过点 Q的直线与OC存在公共, 一AQ BQ ,点，记为点A, B,设k ,则称点CQA (或点B)是。C的“林目关依附点”，特另地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ, k2AQ2BQ、（或）CQCQ已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0), C(1,0), OC的半径为r.(1)如图1,当r 彼时, 若A1(0,1)是。C的k相关依

32、附点”，求k的值.A 2(1 +J2, 0)是否为OC的“外目关依附点(2)若。C上存在“相关依附点”点M,当r=1 ,直线QM与。C相切时，求k的值.当k J3时，求r的取值范围(3)若存在r的值使得直线yJ3x b与。C有公共点，且公共点时 OC的？3相关依附点”，直接写出b的取值范围.【答案】(1)应.是；(2)k J3;r的取值范围是1W r 2 ; (3)33 b 3 石.【解析】【分析】2AQ .(1)如图1中，连接AC、QAi.首先证明QAi是切线，根据k 布二计算即可解决CQ问题；根据定义求出k的值即可判断；(2) 如图，当r 1时，不妨设直线 QM与eC相切的切点 M在x轴上方(切点 M在 x轴下方时同理)，连接 CM ,则QM CM ,根据定义计算