2016年竞赛与自主招生专题第十六讲：解析几何二(教师版)

1、2016年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也 是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分 的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合

2、性，形成了题目多变、 解法灵活的特色。、知识精讲.椭圆中的经典结论:1.点P0(xo, yo)在椭圆上2 x2 ay2b2 11上，则过Po的椭圆的切线方程是 否 ayoyb21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P2 ,则切点弦P1P2的直线方程是笺舞y 1 . a b223.椭圆xy、1(a>b>o)的左右焦点分别为F1、F2 ,点P为椭圆上一点， a bF1PF2,则椭圆的焦点三角形的面积为S fpf2 b2xy2.点 P0(xo, yo)在椭周上-2" -2 abtan.1 22二.双曲线中的经典结论：22x y1 .点P)(xo, yo)在双曲线上 三 1 (

3、a> o, b>。)上，则过B的双曲线的切线 a b方程是x°xyoy22222点P)(xo, yo)在双曲线上2- -yy a bab切线切点为P、则切点弦PP2的直线方程是 萼件 1 .a b223.双曲线斗 与1 (a> 0, b>0)的左右焦点分别为Fi、F2,点P为双曲线上一 a b点，FiPF2，则双曲线的焦点三角形的面积为 S fpf2 b2tan.1 22三.抛物线：1 .过抛物线y2 2 Px (p 0)的焦点F的一条弦AB ,记准线与X轴交点为E ,AE、BE分别交y轴于P、Q两点，则：线段EF平分角 PEQ Kae Kbe 02 .端点坐

4、标积恒定：过抛物线y22px(p 0)的焦点F的直线l ,交抛物线于A(xi,yi)、B(X2,y2),则：(1) g2P2;1FAFB3 .共线：过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F的直线l ,交抛物线于A 图示，有下列三个结论：B两点，如(D(2)(3)(4)A、O、B1B、O、Ai设直线AO与抛物线的准线的交点为B1 ,则BB1平行于x轴. 设直线BO与抛物线的准线的交点为 A ,则AA1平行于x轴.【知识拓展】一.圆锥曲线和直线的参数方程1 .圆x2 y2 r2的参数方程是x rcos,其中是参数。 y r sin ,2 22.椭圆二 与1的参数方程是ac0s ,其中 是参数，称为离

5、心角。a by bsin2 23 .双曲线今 冬1的参数方程是,其中 是参数。a by btan4 .抛物线y2 2 Px的参数方程是x 2 Pt ,其中t是参数。y 2ptx x tcos .5 .过定点（x。, yo），倾斜角为的直线参数万程为.t为参y Vo tsin数。这里参数t的几何意义是：|t|表示直线上的点（x, y）和定点（x0,yo）的距离；当点（x, y）在点（x0, y0）的上方时，t 0 ,当点（x, y）在点（x0, y0）的下方时，t 0;当点（x, y）与点（%,丫°）重合时，t 0,反之亦然。二.圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、

6、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极 点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为一ep一,其中e为离心率，p是焦点到相应准线的距离1 ecos三.焦半径公式设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则 r ed .221.对于椭圆x2 与1（a> b> 0）,Fi（ c,0）、F2（c,0）是它的两个焦点.设P（x,y） a b是椭圆上的任一点，则有r1 PF1 a ex, r2 PF2 a ex.?解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横22坐标（对xy 1是纵坐标）的一次函数.a b22?（扩充）：

7、焦半径公式的另一种形式（三斗1（a> b> 0）为 a2?注意：当 一b>0时，点P在右支上，当 一b<0时，点P在左支a ccos b2b2一 A P （是以Ex为始边，EP为终边的角，不是FF的倾斜角）.a ccos22.对于双曲线与 a2yr1(a>0, b>0),F( c,0)、F2(c,0)是它的两个焦点.设bP（x, y）是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有r1PF1ex a ,r2 PF2 ex a ;若点P在双曲线的左支上，则有r1 PF1ex a ,2 PF2 ex a .22?（扩充）：焦半径公式的另一种形式（与-yy 1 （

8、a> 0, b> 0 ）为 a bb2（是以F?x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角）.a ccosa ccos3.对于抛物线y2 2 Px ( p> 0), F(E,0)是它的焦点，设P(x,y)是抛物线上2的任一点，则r PF x E .设 xFP ，则r 一P一 . 21 cos四.共腕直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径.若两直径中的每一直径平分与另b22.设双曲线的方程为与 1 a b一直径平行的弦，则称此两直径为共腕直径.kkb2a21.设椭圆的方程为今a2y1(a>b> 0),互为共腕直径的斜率关系为kk立lx lx2 )a22.设双曲

9、线的方程为三 a2 y b21 ( a>0, b>0),互为共腕直径的斜率关系为一bkk -2 ； a3.设抛物线的方程为y2 2 Px ( p> 0), 一组斜率为k的平行弦的中点轨迹为射线 y (x>0). k五.过焦点的弦221.设椭圆的方程为xy 1(a> b>0),过Fi( c,0)的弦长为2a e(xi x?), a b过F2(c,0)的弦长为2a e(x x2).过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数.2ab2一一?(扩充)：焦点弦长的另一种形式为I 2一 .( 是以Rx为始边，F1P为 a c cos终边的角，不是FF的倾斜角).a&g

10、t;0, b>0),过E( c,0)的弦长为2ab2222a c cos是以F2X为始边，F2P为2a e（xiX2）,过 F2（c,0）的弦长为 2a e（xX2）.?（扩充）：焦点弦长的另一种形式为I终边的角，不是F2P的倾斜角）.3.设抛物线的方程为y2 2px （ p> 0）, F （旦0）,设xFP ,则焦点弦长为 2. 2sin六.双曲线的渐近线1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l ,使得P与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C的一条渐近线.2双曲线与a2y2 1的渐近线b222方程为、当0 ,即y22a bbx x .a2.共腕双曲线的方程为2

11、x 2 a2当 1,共渐近线的双曲线系方程:b22 x 2 a2 y b2互为共腕的两条双曲线有以下性质: >0时得焦点在x轴上的双曲线；<0时得焦点在y轴上的双曲线；=0时即是双曲线的渐近线；11两共腕的双曲线的离心率 e、e2满足-2+-2 1;e e2它们的四个焦点在同一个圆上.、典例精讲 例1. （2011 “卓越联盟”）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x上，ABC三个顶 点都在抛物线上，且 ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x y 20 0 ,则抛物线方程为(A) y2 16x(B) y2 8x(O y216x(D) y28x?分析与解答:如图，可令方

12、程为y2 2px(p 0)。,B22*y2 ,c * y3。2p2p2 y4x2px, y 20y2 2p20 y o所以4y240 p2py,2y2py 20 p0,py2y33-2y310p2 y12p2 巨2p所以由、yi另一方面,由、yiy22-汉3p,2p 2y30y2y3y1y222y1 yp2 ,10p,y3 0,2y33p2代入中,2 y2211y37p2 y22y320p 。所以1T p21 24P20p, p 80舍去)。所以抛物线方程为2y 16x o2例2. (2003同济)已知抛物线y 2px0(1)过焦点的直线斜率为k,交抛物线于A、B,求|AB|;T24(2)是否

13、存在正方形ABCD , 的k满足的方程。?分析与解答：使C在抛物线上，D在抛物线内？若存在，求这样(1) AB直线方程是yX 2 ,设A(X1,y1), B(X2,y2)。依抛物线定义知| AB | xiX2X1X2p O2y 2pX,pk2X2y k(X )2_2(2p k p)x1 . 2 24kp0,由韦达定理知,X1X22p k2pk22p1ABi 址 2p12p(1 M(2)先设13-11 ,令 C(X3, y3)1 ,、,贝11 yy3一(X2X3)。k2X 旦XX2-, X32py2 y31 -y2-k 2p2V32pV32pk ,即 y32 pk y2。又 | AB| |BC

14、|,且|BC| . (X2所X3)2 (y2y3)2222 1.k(y2 y3)(y2 v3W k M y31。2p 11k21k2 | y2y31,2 .k | y2(2pk y2)|41 k2 12y2 2pk|,kj k21 k2 | y2pk|y2pkkpi2"2pk M12y 2 Px2 2py 7y p20y2(这里利用求根公式取11由知pk月C2 p 1 Ji J2 ,化简得k4 2k 1 0o kk . k同理，k 0时，求得方程为k4 2k 1 0。综上，这样的k满足方程k4 2k 1 0。注：笔者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCDT什么特点此问题有

15、相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。图 13-11222例3. (2011 “华约”)双曲线x2与1(a 0,b 0), RE是左、右焦点，P是 a b右支上的任一点，且 F1PF2 y, S FiPF2 3揭2。(1)求离心率e；(2)若A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，且 QAF2QF2A包成立？?分析与解答：在PF1F2中，由余弦定理，1F1F2|PF112e c 2,双曲线方程：x2匕1aa 3a |PF212 2严1严21壬，(2c)2 (PF/ IPF2I)2 2|PF1| IPF2I 1cos| PE | | PF21 4c2 4a2 4b2。3S PF1F2-| PF1 |

16、| PF21 sin 1 4b23、. 3a22322所以 b2 3a2,c Ja2 b2 2a。所以(2)先设 QF2 x轴。此时 Q(2a,3a),1 QAF2 为等腰 Rt ,QAF2 QF2A。下证.3a tan3 tanasec 2a 2 sec分别是左、右焦点)，则 S PFF 7PF1F21-。令 Q(asec ,V3atan )。 tan QF2Atan QAF22.3 tan,3a tan asec3 tan ,sec 1tan 2 QAF2 1sec 12.3 tan (sec 1),、2 -2(sec1)3tan3 tansec 12 . 3tan(sec 1)2、,3t

17、an(sec1)3 tan-tan QF2Ao所以存在常2sec22sec 42(sec1)(sec2) 2 sec数 1,使21QAF2 - QF2A 何成立。22222?注：设P是双曲线与、1 (或椭圆、4 1)上一点，F1PF2(Fi,F2a ba b2八2、b cot(b tan)。22例4. (2007武大)如图，过抛物线C:y2 8x上一点P(2, 4)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物 线交于A、B两点。(1)求直线AB的斜率；(2)如果A、B两点均在y2 8x(y 0)上，求 PAB 面积的最大值。2?分析与解答：G）不妨设Agyi'B2y28kpAyi42上288(y

18、i 4)2 yi168yi 4O同理,kPBy2y12y2_yABy2yi88的直线方程为:yi|AB|AB|2I8yi48y2 4yiy22yi82 yi8yi0 0 P至u AB的距2yi22y282yi8y I(y28v)(y2yi)ly2yi8 ,故, 2 I y28 yi所以又由yi以 S PAB8 t(t2 64)yi Iyi Iy28|t32.2 | yi4|PABi8i88 ,且 yi, y264t |。2y8yi. 2|yi2I(yi知yi2 五 |yi 4|8yi 481 |yi 4|4)(yi 4)2 64| o8,0。令 yi4 t，则t 4,4,所注意到f(t) |t

19、3 64t|是一个偶函数，故只考虑t 0,4的情况。此时记g(t) |t3 64t| 64t t3,对 g(t)求导,g'(t) 64 3t2 0,t 0, 4,故 g(t)在0, 4上是严格单调递增的函数，从而gmax 64 4 43 192 ,即、1 (S PAB)max - 19224 o8例5. （2011 “北约”）已知Ci,C2是平面上两定圆，另有一动圆 C与Ci,C2均相切， 问圆心C的轨迹是何种曲线？说明理由。?分析与解答：设Ci,C2半径分别为1/2,由圆锥曲线定义，可得下列结论：12 时,C1与C2相离：圆心C的轨迹是直线（C1C2的中垂线）及双曲线（与C1,C2一

20、个 内切，另一个外切）；C1与C2相交：圆心C的轨迹是直线（去掉C1,C2两个点）（与C1,C2都外切或都内切）及椭圆（与C1,C2 一个内切一个外切）；C1与C2相外切：圆心C的轨迹是直线去掉切点（包括C与C1, C2都外切或都内 切或一个外切，另一个内切）12 时，C1与C2外离：圆心C的轨迹是双曲线（C与C1,C2都外切或与C1,C2中一个内切 一个外切）；C1与C2相交：圆心C的轨迹是双曲线（C与C1,C2都内切或都外切）及椭圆去掉C1,C2两个点（C与C1,C2一个内切，一个外切）；C1与C2外切：圆心C的轨迹是双曲线（C与C1,C2都外切）及直线去掉切点（C与C1,C2一个内切，一

21、个外切）；C1与C2内切：圆心C的轨迹是直线去掉切点及C1与C2 （C与C1C2都外切或都 内切)及椭圆去掉切点(C与Ci,C2一个内切一个外切)；Cl与C2内含：圆心C的轨迹是椭圆(Ci,C2不是同心圆，C与Ci,C2一个内切，一个外切)及圆(Ci,C2是同心圆，C与Ci,C2一个内切一个外切)。例6. (2011年上海理)已知道平面上的线段l及点P ,任取l上的一点Q ,线段PQ 的最小值成为点P到线段l的距离，记作d(P, 1)。(1)、求点 P(1,1)到线段 1： x y 3 0(3 x 5)的距离 d(P, 1);(2)、设1是长为2的线段，求点的集合D P d(P, 1) 1所表

22、示的图形面 积；(3)、写出到两条线段11、12距离相等的点的集合 P d(P, 1。= d(P, 12),其中11 AB, 12 CD ； A, B, C, D是下列三组中的一组。对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分。 A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,0) A(1,3), B(1,0), C(-1,3), D(-1,-2) A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)?分析与解答：(1)、如图1所示，由图可知，显然在线段的端点(3,0)处取得最小值，故最小距 离为：d(p,1)

23、(1 3)2 12.5(2)、如图2所示，D是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域， 故面积为：S=2 2+ =4+如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成：第一段是y轴上，所有满足y 0的点，即：x, y x 0, y 0 ;第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该抛 物线为：1 2 ,x y (y 0,0 x 1)4第三段是直线，该直线为：y x l(x 1)（图3）百 DDCVIDva（图4）2, y 0, y 1将坐标平如图5所示，由四部分组成。由四条直线 x 0,x面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集：第I区：到两直线距离相等的点是角平分线，即：

24、 x,y y x(0 x 1);第R区：到定点D的距离等于到定直线y轴的距离，是抛物线，但该抛物线不在第II区，故第II区域没有满足条件的点；第田区：到两个定点的距离相等，是 AD中垂线，即：c 3,x,y y 2x-2（x 2）;第IV区：到定点A与到定直线x轴的距离相等，是抛物线，即：1 2 1x,y y -x -(1 x 2)；22第V区：、到两个定点A、D的距离相等，应该是线段 AD的中垂线，但该 线不经过第V区，故在第V区没有满足条件的点；第VI区：到定直线y轴的距离等于到定点。的距离，y轴经过点0,故满足条件的点只有x轴的非正半轴，即： x,y x 0, y 0 ;第叩区：到同一个

25、点0的距离相等，是整个第三象限的点，即：x, y x< 0,y < 0 ;第Vffl区：到定直线x轴，与到定点0的距离相等，x轴经过0点，故满足 条件的点为y轴的非正半轴，即： x, y y 0,x 0 ;第IX区：到定点Q D的距离相等的点，为线段 0D的中垂线，但该线不经 过第DC区，故在第DC区没有满足条件的点。IVniVI2 乂一IX（图5）?点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合能力要求很高。题目中自定义 了到线段的距离。第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问 主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。在能力方 面要求考生具有较高的

26、数形结合和分类讨论等相关能力，综合性很强。其他题目 赏析：四、真题训练1. (2011复旦)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是()(A) 2 2 (cos .3sin ) 52(B) 6 cos 4 sin 0(C) 2 cos 1(D) 2 cos22 (cos sin ) 12. (2009华南理工)已知圆 O: x2 y2 r2 ,点P(a,b)(ab 0)是圆。内一点。过点P的圆。的最短的弦在直线 1 上，直线b的方程为bx ay r2,那么()。(A) 1i/12,且l2与圆。相交(B) 1i l2,且l2与圆。相切(C) I1/I2,且12与圆。相离(D) 1i " 且I2

27、与圆。相离3. (2010复旦)已知常数k1,卜2才两足0 k1 k2, kkz1 0设C1和C2分别是以yk1(x 1) 1和yk2(x 1) 1为渐近线且通过原点的双曲线，则 G和C2的离4. (2011复旦)设有直线族和椭圆族分别为x t, y mt b(m,b为实数，t为参数)和yx27. (2011中南财大)如图，已知椭圆 C: -ya 1 (a是非零实数)，若对于所有的m,直线都与椭圆相交，则a,ba应满足()。,.、22,_、22,_、22一、(A) a (1 b ) 1(B) a (1 b ) 1(C) a (1 b ) 1(D)22a (1 b ) 1225. (2010同济

28、)右圆x y 4x 4y 10 0上至少有二个不同的点到直线l :ax by 0的距离为2丘,则直线l的斜率的取值范围是 。226. (2006武大)椭圆 与 与 1(a b 0)的半焦距为c,直线y 2x与椭圆的一 a b2为1(a b 0)的一个焦点到长轴b2个交点的横坐标恰为c,则该椭圆的离心率是 。的两个端点距离分别为2者和2疵,椭圆相交于E、F两点。(1)求此椭圆的方程。uur uur(2)若ED 6DF ,求k的值。(3)求四边形AEBF面积的最大值。直线y kx(k 0)与AB相交于点D ,与8. (2011 “卓越联盟”)已知椭圆的两个焦点为Fi( 1,0), F2(1,0),

29、且椭圆与直线y x 73相切。(1)求椭圆的方程P,Q及M ,N ,求四边形(2)过后作两条互相垂直的直线1112,与椭圆分别交于PMQN面积的最大值与最小值。9. (2001复旦)已知椭圆(x a)22y21与抛物线y212共点A、B ,线段AB的中点M在抛物线y2 1 (x 1)上,4x在第一象限内有两个公求a 。10. (2004同济)设有抛物线y2 2 Px(p 0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围内时，BAC包是锐角？五、真题训练答案1 .【答案】D【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式cos , 选项 A B C sin分别为：

30、x2 y2 2x 2、, 3y 5,x222y 6x 4y 0,xy2 x 1,它们都表示圆;选项D,2 cos22 (cossin ) 1 , x2 y2 2x 2y 1 ,表示双曲线。2 .【答案】：D【分析与解答】：由于最短的弦l1与OP垂直，所以h的直线方程为：22ax by a b 0。故l1与l2互相垂直。因为圆心。至U l2的距离为I r2la2=b22 。因为 a2b2r2,所以 Ja2 b2,a2b2r。所以l2与圆相离。2d -= .a2 b23.【答案】C【分析与解答】:由条件可设C1的方程是(x 1)22a(y 1)2k11 , C2的方程是(x 1)2(y1)2b2又

31、Ci,C2过122 k1 a0 ki k2,kik2 1,知 0ki.2 2 ，,2k1 a b1k2bC2带正号，且a2k1k2212'k1ak11b2127-2 k2 b2 ,从而G前应带负号,k1且1。e2【分析与解答】：注意到直线y mx b横过定点（0,b）,对所有m R ,直线与椭2圆相交，则当且仅当（0,b）在椭圆内部。所以 空T b2 1,即a2（1 b2） 1,故 a选B。5.【答案】2 、3,2 J3【分析与解答】：圆：（x 2）2 （y 2）2 18,半径为3而。如图分别作两条与直线l平行的平行线，这两条平行线与直线l的距离都是2亚，欲使圆上至少有三个不同点到直线

32、l的距离都是2底，则这两条平行线与圆都有交点。设直线 l的斜率为k,直线1:kx,则问题等价于圆心（2, 2）到直线1的距离V2。所以26.【答案】*2【分析与y2 xa2x,2 y b2(4a22 2b )xb2 。依题意，(4a2,2 2b )c2. 2a b(4a222b )(a22 2b2)a2b20, ba272，2,2a b2a2.2故离心率e.3 2.2.27.【分析与解答：（1）由题意得的椭圆方程是直线AB, EF的方程分别为x3 ,解得a32,c,3,b2y2,y kx(k 0)设 D(x0, kx0), E(x1,kx1),22F (x2,kx2),其中 Xix2 ,且 X

33、i,X2酒足万程(1 4k )x 4 ,故x?X1uur uur1510由 ED 6DF 知 X0 Xi 6(x2 X0),得 x (6x2 X|) - x2 ;由 D777.1 4k2r 1一只有1个交点，所以方程组 a2 b2只有一解。即方程b2x2 a2(x V3)2 a2b2在AB上知2210X0 2kX0 2 ,得 X0 -2-,所以 ,化简得 24k2 25k 6 0 ,12k12k7 j 4k2解得k 2或k y x 3有相等两根方程(b2 a2)x2 2j3a2x 3a2 a2b2 0 有相等两根。所以 (2屈2)2 4(a2 b2)(3a2 a2b2) 0。得 a2 b2 3

34、。因为焦点为(1,0),(1,0),所以a2 b2 1a222 c所以a所以椭圆方程为y21ob21238(3)根据点到直线的距离公式和式知，点E、F到AB的距离分别是Ix1 2kxi 2|、.52(1 2k ,1 4k2)5(1 4k2)h2|x2 2kx2 2| 2(1 2 k 1 4k2)% 55(1 4k2)|AB| .22 1边形 AEBF 的面积为1ABIS h2)_1 5 4(1 2k)21 5(1 4k2)2(1=2k) 21-4k2毛2金。即当。时，四边形AEBFt最大面积272222。228.【分析与解答：(1)设椭圆方程为041(a b 0)。因为它与直线y x V3a b(2)若PQM率不存在(或为0)则Sra边形 PMQN|PQ| |