学案6简单的三角恒等变换

1、简单的三角简单的三角恒等变换恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换( (包括导出积化和差、和差化积、半角包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）公式，但不要求记忆）. . 高考的必考内容高考的必考内容,常利用其解决三角函数的化简、常利用其解决三角函数的化简、求值和三角恒等式的证明，也常同三角函数的值域、求值和三角恒等式的证明，也常同三角函数的值域、单调性结合在一起考查三角函数的综合应用单调性结合在一起考查三角函数的综合应用.证明证明化简化简 求值求值 用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公用诱导公式及逆用两角和差的正、余弦公式，将式，将70,10,4

2、0化成与化成与20有关的角有关的角,约分求解约分求解.化简：化简： 2cos402cos40- -tan70tan70sin10sin10cos10cos10sin20sin20cos20cos203【解析解析】 2 2 sin20sin20) )cos40cos40sin20sin20sin40sin402cos202cos20 2cos402cos40- - sin20sin20) )cos30cos30sin10sin10sin30sin30(cos10(cos102cos202cos20 2cos402cos40- - sin20sin20) )sin10sin103 3(cos10(

3、cos10cos20cos20 2cos402cos40- - sin20sin20cos20cos20sin10sin103 3cos10cos10cos20cos20 2cos402cos40- - cos70cos70sin70sin70sin10sin103 3 sin20sin20cos10cos10cos20cos20 2cos402cos40- -tan70tan70sin10sin10cos10cos10sin20sin20cos20cos2023 tancossincos2sin2sinsin2cos21cos22sin22cos22cos-cos22sin21)2cos22

4、cos2sincos22sin21)cos2(sin21)-cos2(2sinsin41)cos21)(sin2-cos2(sin2)1(222222 化为一角一函的形式再求周期和最值化为一角一函的形式再求周期和最值.已知函数已知函数f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1(xR).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间 上的最大上的最大值和最小值值和最小值;(2)若若f(x0)= , x0 ,求求cos2x0的值的值.320, 562,4 【解析】【解析】 (1)由由f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,得得f(x)= (2sinxcosx)+

5、(2cos2x-1)= sin2x+cos2x=2sin(2x+ ),所以函数所以函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为.因为因为f(x)=2sin(2x+ )在区间在区间 上为增函数上为增函数,在区在区间间 上为减函数上为减函数,又又f(0)=1,f( )=2,f( )=-1,所以函所以函数数f(x)在区间在区间 上的最大值为上的最大值为2,最小值为最小值为-1.336 6 6, 0 2,6 6 2 2, 0 (2)由由(1)可知可知f(x0)=2sin(2x0+ ).又因为又因为f(x0)= ,所以所以sin(2x0+ )= .由由x0 ,得得2x0+ ,从而从而cos(2x0+ )=

6、.所以所以cos2x0=cos(2x0+ )- =cos(2x0+ )cos +sin(2x0+ )sin = .6 566 532,4 6 67,32 6 54)6x2(sin102 6 6 6 6 6 6 10343 本题考查二倍角公式的正用及逆用本题考查二倍角公式的正用及逆用,利用一角一利用一角一函的形式求出最值函的形式求出最值.第第(2)问考查了求值问题问考查了求值问题.已知函数已知函数 (1)当当m=0时时,求求f(x)在区间在区间 上的取值范围；上的取值范围；(2)当当tan=2时，时，f()= ，求，求m的值的值. 4xsin4xsinmxsinxtan11)x( f2 43,8 53【解析【解析】 (1)当当m=0时时,f(x)=sin2x+sinxcosx= (sin2x-cos2x)+ = sin(2x- )+ .又由又由x 得得2x- ，所以所以sin2x- ,从而从而f(x)= sin(2x- )+ .2122214 2143,8 4 45, 0 4 1 ,22224 21221, 0(2)f(x)=sin2x+sinxcosx- cos2x= + sin2x- cos2x= sin2x-(1+m)cos2x+ .由由tan=2得得所以所