泛函分析习题答案第九章习题答案

1、第九章第九章 线性泛函线性泛函. )0()0( . 121121121kffffeff 则则，；若若上上两两个个线线性性泛泛函函，证证明明是是线线性性空空间间，设设.)()( )()( 0)()()()(0)( 0)( )()()()( 0)( 0)()0( 0 )0( 02012121020112210011020102010112111xfxfkkffexxkfxfxfxfxfxfxfxfxxfxfxxexxfxfkxfxfexefffef ，其中，其中即即所以所以，即，即，所以，所以，则，则，令，令，令，令，依条件，依条件，取，取，下设，下设，则，则如果如果. 0)( ), 2 , 1(

2、 0)(* . 2 yfnxfefxlyexnnn，则则，若若条条件件是是：对对任任何何的的充充分分必必要要中中一一元元素素列列，证证明明是是赋赋范范线线性性空空间间设设. 0)(lim)( 0)(), 2 , 1( 0)(* iiininnnyfyfyyxlyxfxlxnxfefxly，则，则，使，使，现在取，现在取必有必有，则对，则对，必要性，设必要性，设. 0)(), 2 , 1( 0)(* 0)(), 2 , 1(0)(* 1 3) 1)( 2) 0)( 1)* banach-hahn0) ,(nnnnnnxlyyfnxfefyfnxfefdfyfxfxlxefdxlyxly 必有必有

3、，故若，故若而而，使，使，特别必存在，特别必存在；，满足，满足定理的系，存在定理的系，存在，根据，根据，则，则充分性，如果充分性，如果 ).,(| )(|0)(| 1 * . 3nxxfexxfexnfef ，证明：证明：，设设).,(| )(| 21)2( ),(| )(|0),()1(),()(| )(|),()()()()( ),(0)( )()( 1)(1 101 )1( ),(inf| )(| | )(| )(| nxxfnxxfnxnxxfxfnxxxxxfxfxfxfnxxxnxxfxxfxfxxxfxexfnxyxxfyxyxfyxfxfnyexny ）即得）即得）（）（结合（

4、结合（，即得，即得令令所以所以，从而，从而，故，故，则，则令令，使使，存在，存在，故对任意，故对任意又因为又因为故故，有，有，则，则设设.21 * . 400021212121保保范范延延拓拓是是唯唯一一的的的的明明上上的的有有界界线线性性泛泛函函，证证的的子子空空间间是是定定义义在在若若，时时恒恒有有，、当当是是赋赋范范线线性性空空间间，又又设设设设feefffffffeffe .221 222 .* . 000000000212121102102121021000此与题设条件矛盾此与题设条件矛盾，而，而，则，则取取则则的保范延拓的保范延拓它们都是它们都是、则有则有，的保范延拓不是唯一的的保

5、范延拓不是唯一的如果如果设设，则结论显然成立，下，则结论显然成立，下若若 eeeeeeffffffffffffffffefffff .|)(0| ),(. 5202/112202120的的线线性性泛泛函函上上造造出出一一个个无无界界，试试在在的的范范数数定定义义为为上上元元，只只有有有有限限个个记记lxxlliiii . )(1), 0 , 1, 0 , 0()( ,)(20200)1(20120上上无无界界线线性性泛泛函函是是，故故，而而有有上上的的线线性性泛泛函函，因因为为对对是是则则易易知知定定义义：个个lfnefelelfnxflxnnnnnni . ),()( )()( . 600的

6、范数的范数并求出并求出上有界线性泛函，上有界线性泛函，是是试证试证为固定自然数为固定自然数，有，有上的线性泛函：上的线性泛函：为为设设fmfixfmxmxfii . 11)( 1)( 1 10)(1 )( |sup| )(|00000000000 fxffxfxiiiixffmxxxfiiiiiiiii，因因此此故故，且且，则则当当当当其其中中，现现在在，特特别别取取是是有有界界的的，且且故故，因因为为 ).1( *1.7 ppqllpqp，试试证证设设)7( )( )6()3()6( )(| )5()4()5(|)( )4( |)( )|()()|()( )3( )(| | )(|)2( )

7、( )( )1( )( )()( 1/11/11/11)1(001110101/11/11/1111oppppliliqiqipiqipipqiiqiiiqiiqiiiipqiiqiliqiqipipiqiqiiiilippiiiiqiffffxfxfxfxsignllfxfflxflxxfl 得得、结结合合得得、由由但但，则则记记其其中中，故故此此外外，因因为为可可知知事事实实上上，由由上上的的有有界界线线性性泛泛函函，且且是是则则，令令首首先先证证明明：若若.*21)( )( | )12( ), 2 , 1( | )(| )()11( | )(8)10( | 1)9( )( )( )( 1

8、)( )8( )( )( )()010 , 0( 2oo1/11111/11o1o10)1(oqpliqiiqiqniqiniiiniiinpiiiipiqniqinpnpiniiinliqiiiipinnnnpllflfnxflxlxflflxxfflxflxefelfqp 所所证证即即知知：，结结合合，且且由由此此可可知知，有有界界，故故有有界界，即即由由共共鸣鸣定定理理，于于是是，必必有有）易易知知，此此外外，由由（上上的的有有界界线线性性泛泛函函，且且是是所所证证，由由令令中中所所证证，即即得得，然然后后由由下下证证，有有则则，上上的的有有界界线线性性泛泛函函，记记是是现现在在证证明明

9、本本题题结结论论，设设个个 . 7miiiiiyflxxfmylf )2)( )( )1)( . 8111 ，适适合合存存在在唯唯一一的的上上的的有有界界线线性性泛泛函函，则则是是设设).()(, 2 , 10 )( 0)( 2) 1)( )( )2 )1 )4()1()4( )(, |sup|sup| )(| )3( )( )( )2( )( )1( )()010 , 0( 11111110)1(iiiiiiiiiiimimiiiiiiiiiiiiinnnnnnnilxmmffxxf lxxflfm fef)f(eefe 故故，特特别别有有则则，、也也满满足足，若若显显然然是是唯唯一一的的，

10、事事实实上上的的、满满足足即即得得、结结合合所所以以，从从而而有有：上上的的有有界界线线性性泛泛函函，故故为为因因为为故故，则则，记记个个 | , )1()2()1( )( * )1(, . 911111iniiiniiniinnxtmtttmffnixfxfnxxxx 都都成成立立，数数的的充充要要条条件件是是：对对任任何何，中中的的对对使使存存在在是是一一组组数数，证证明明个个线线性性无无关关的的元元，中中是是是是赋赋范范线线性性空空间间，设设).1()( * )1( )( , )1(010110nixfxfffxfxftxfxxtxxxxxiiniiiniiin ，且，且，即，即满足要求

11、满足要求，则此，则此仍记为仍记为上的有界线性泛函，上的有界线性泛函，保范地延拓成保范地延拓成上的有界线性泛函，把上的有界线性泛函，把是是则则，令：，令：的子空间，对的子空间，对所张成的所张成的为由为由设设 . 9 niiiniiiniiiniiiniiixtmxtfxtftxtxmf11111)( )2( 有有，则对，则对设设. )()()1(*00111011mffmfxmxtmtxtfxfxxxfxtmtxxxniiiniiiniiiniiiniii ，从而，从而故故，有，有则则中所取，中所取，如如成立，成立，反之，设反之，设 的的共共轭轭空空间间是是什什么么？，成成为为赋赋范范线线性性空

12、空间间按按范范数数nmnmninrrxxr),( |max .101 .| )( ),( )3( | )2()1()2( | |)( 1 ),(,0 )1( | |max)( ),( )( )()( ), 2 , 1( 01111111011001011111nniinnmniiniiinnnmniiniiniiniiiniiniiniiininniiiniiinminrcrrcfcxfrccrcffcfxfccxfxxsigncfcfcxfxcxfrcefcrfnieir所所成成的的赋赋范范线线性性空空间间范范数数按按的的共共轭轭空空间间是是，故故且且使使，在在唯唯一一的的上上的的有有界界线

13、线性性泛泛函函，存存由由此此可可知知，对对每每个个得得、结结合合故故，且且，则则时时，记记又又当当故故，且且，则则，记记上上的的一一个个有有界界线线性性泛泛函函为为，设设的的点点记记为为，其其余余坐坐标标为为个个坐坐标标为为中中的的第第 . .11维维的的空空间间的的共共轭轭空空间间是是无无穷穷证证明明：无无穷穷维维赋赋范范线线性性.*,)1, 1( 0)( 0)( 0, )11( 10)( , 1,1*1111111111001101111维维的的矛矛盾盾是是此此与与线线性性无无关关，这这说说明明故故，但但，则则设设，记记为为上上的的连连续续线线性性泛泛函函，仍仍成成泛泛函函，把把它它们们保

14、保范范延延拓拓上上的的连连续续线线性性是是，则则当当当当泛泛函函满满足足上上的的线线性性是是，设设维维子子空空间间的的张张成成中中无无关关的的元元，是是个个线线性性无无关关元元，设设中中有有故故是是无无穷穷维维的的，因因为为个个线线性性无无关关的的元元，现现在在中中只只能能有有维维的的，则则是是是是有有限限维维的的，设设间间，如如果果是是无无穷穷维维的的赋赋范范线线性性空空设设neffnixfxffffeenifijijxfeffenexxexxneeneneeeniiiniiiiniiiniiinijinnn .0)(0)(,)(, .12是是连连续续的的，证证明明，都都有有，切切上上的的线

15、线性性泛泛函函，且且对对一一是是定定义义在在设设fxftxbactxbacf . , )1(| )(| )1()()1( 1)(11 ,)()()( 0)( )()(,)()(21212121连续连续的单位球上有界，故的单位球上有界，故在在所以所以，即，即所以所以，时，时，于是，当，于是，当所以所以，时时，由条件，当由条件，当fbacffxffxfftxxbactxxfxfxxftxtxbactxtx .*), 0(),()1( : .132121tplltpp，求，求定义为定义为设设 ),(),(:*),(),(* ),( )()(*)111( ),(32213221211121 xlltt

16、lxtxyxytqplyqqpiiiq由下式定义：由下式定义：即即可知可知，则由，则由设设).( )()( ,), 2 , 1( 0, .140 ntxtxbatnmxmbacxxbacnnn都都有有，且且对对，使使常常数数在在的的充充分分必必要要条条件件是是，存存弱弱收收敛敛于于中中点点列列证证明明空空间间).()( )()( , )()(,), 2 , 1( 0,000txtxxfxfbacfbacxtxxffbatnmxmbacxxxntnttttnnn ，即即：上上的的有有界界线线性性泛泛函函，故故是是则则易易知知：取取，此此外外，使使，中中有有界界点点列列，故故存存在在是是，则则必必

17、要要性性，设设弱弱.)()()()()()()()()()()()()()()(lebesgue)()()(,)()()()()()()(,),)(),)(., )()(,0020102121021212101xxtdgtxtdgtxtdgtxtdgtxtdgtxtgtgdtxtdgtxtxtxtxbatgtgtgtgtgtgtgbabatgbabatgbattxtxbacxnbabababanbanbanbannnnn 弱弱，所所以以有有界界收收敛敛定定理理：一一致致有有界界，利利用用，因因为为处处处处收收敛敛于于下下，的的一一个个测测度度，在在此此测测度度分分别别导导出出与与的的差差：、函

18、函数数上上单单调调上上升升的的有有界界变变差差右右连连续续，在在两两个个在在可可表表为为右右连连续续，则则在在上上的的有有界界变变差差函函数数，且且为为设设为为有有界界点点列列，且且充充分分性性，设设.lim 0)()()1(.150)(00)(ininnininpmxmxxpl ，且且，使使存存在在常常数数的的充充分分必必要要条条件件是是：弱弱收收敛敛于于中中点点列列证证明明：题题证证之之）必必要要性性（略略，可可仿仿 14.)( )( )1(4)(2)( 2)( )1(4|0)1( )(01)0(1)(001)0(1)(1)0()(1)0(1)(1)0()(0/11xxlnxmxxnnnn

19、nxmippqlnqiiiiiininiiiiiiiniiiiiniiiiiiniiiiiniqiiqiqi 弱弱即：即：所以所以时，时，那么当那么当时：时：，使当，使当，再取自然数，再取自然数使使，取自然数，取自然数，充分性：设充分性：设 . 1 , 0 )1( 1 , 0 .1600ffflfplfnnppn弱弱收收敛敛于于有有界界，证证明明且且依依测测度度收收敛敛于于设设 .)()()()()2()(| )(| )()(|)(| | )()(|)(| | )()(|)()()()( ), 2 , 1( | )()(| 1 , 0| )()(| 1 , 0 .| )(| 1 , 000 1

20、 , 0| )(| 1 , 0)( )()()()()1( 1 , 0)( 010010010/1/10 1 ,000100100000100100ffdttgtfdttgtfgmgffdttgdttgdttftfdttgtftfdttgtftfdttgtfdttgtfnnmfnmftftftetftftmnnnffdttgmeetgltgdttgtfdttgtfppqltgffnnnqqeppenenennnnnnnqeqqqnqnnnnn 弱弱弱弱，所以，所以上式表明：上式表明：则有则有时，时，当，当，并设，并设记记时，时，使当，使当知，存在知，存在现在由现在由时，时，使当，使当，的绝对连

21、续性，的绝对连续性，上的可积函数，由积分上的可积函数，由积分是是，则，则设设都有都有，只须证明，只须证明为证为证 ., .172依依测测度度收收敛敛中中弱弱收收敛敛的的函函数数列列未未必必举举例例说说明明， l .), 2 , 1( 10 0| )(|limlebesgue0)(0)(00)()()()().( 0)(,0)()()()( 0)(,*,), 2 , 1( 1sin1)(22200)(0222矛矛盾盾，此此与与即即有有界界收收敛敛定定理理，可可得得：，由由积积分分的的亦亦依依测测度度收收敛敛于于，从从而而依依测测度度收收敛敛于于所所以以，故故，但但已已知知有有有有界界，由由上上题

22、题结结果果，必必因因，依依测测度度收收敛敛于于函函数数，若若不不依依测测度度收收敛敛。事事实实上上但但中中稠稠密密，故故而而多多项项式式的的全全体体在在亦亦有有：故故对对任任一一多多项项式式，显显然然，对对任任一一非非负负整整数数，因因为为，则则令令弱弱 nxxdttxtxtxxxxxtxtxtxtxntxldttptxtpndtttxkllnxttxnnnnnnntnnnnnnknnn .banach)( |sup0 .1800空空间间空空间间，并并求求出出它它的的共共轭轭是是证证明明，范范数数定定义义为为：的的数数列列组组成成的的线线性性空空间间是是由由一一切切收收敛敛于于设设cxxcii

23、i .banach , ) ,2, 1( ,max),2, 1( 22 20 )( 2|lim2 4 40 )( 0)(limcauchy |)(00)(21)(22)(110)()()()()()()(00)()()()()(0空空间间是是，故故此此式式说说明明即即时时，于于是是当当时时，使使当当然然后后取取；时时，使使当当及及，由由上上面面所所证证，即即所所以以时时，从从而而当当时时，使使当当故故存存在在自自然然数数，因因为为时时，使使当当，取取自自然然数数且且有有，下下证证，令令设设数数列列，从从而而收收敛敛，是是，故故对对每每个个，对对每每个个中中基基本本列列，记记是是设设cxxnnx

24、xinnnniinnniinnincxiixxnniiiiicxxxnnnnxxcxxixxixcxnniniiniinininininnninininininnnniininnimnminininn .18.*)5()()()5()6( )(| )5( )( )()(*)4( | )3( )2()3( | )( | )(| )1()()2( | | | )(|)()( 1000 )1( )()()()()0 , 1 , 0 , 0(* 1001101101111111111111000)1(01lcclfcxxflcfffxxxflfnffxfxfefxfxexnfsignefxfcxefc

25、eecfiiliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniinnniiniiiniiinnniiiniiiiiiiiiinnnnn 故故上上的的有有界界线线性性泛泛函函，可可定定义义按按个个是是唯唯一一的的，此此外外，对对每每的的显显然然满满足足且且，满满足足，这这样样我我们们证证明明了了，得得、结结合合得得，再再由由上上式式表表明明即即得得令令，得得及及，由由，且且充充分分大大时时，于于是是当当必必不不能能全全为为时时，诸诸，那那么么当当再再记记时时，则则当当，令令，则则，记记现现在在设设个个 . .1900000exexxexeenn 证证明明：，的的闭闭子子空空间间，是是赋赋范范线线性

26、性空空间间设设弱弱.0)(lim)( 0)( )( 0)(1 banach-hahn0),(000000000000exxfxfdxxxfexdxfexxffefdexeeexnnnnn 此此矛矛盾盾说说明明，得得，再再由由，故故而而且且使使，定定理理的的系系，存存在在，由由的的闭闭子子空空间间，故故是是，因因为为如如果果 . .20中中弱弱收收敛敛与与强强收收敛敛等等价价维维欧欧氏氏空空间间证证明明在在nrn.)(0 )( 0, 1 )( )()( ),( , 1)(* ),(, 2 , 1 ),(.0012)0()()0()(01)0()0(10)()(1xxmxxmnimxfxfrxni

27、xfrfxxmxrmmniimiimiiminniininmmnmmn强强收收敛敛于于所所以以，即即从从而而得得由由，取取，设设列列中中弱弱收收敛敛列列必必是是强强收收敛敛只只须须证证明明弱弱 . .211中中强强收收敛敛与与弱弱收收敛敛等等价价证证明明 l)9( 3| )8)(2)(1()8( |)7( | )6( 3| )5)(4)(1( )5( | )4( | | )2()3( 34| )1( | )2( , 2 , 1 0lim 0)1( 5000 ), 2 , 1( )(322322212211211111111)(231)(31)(1)(1)(21)(11)(111)(1)(1)(

28、1)( iiiniiiniiinikkiiiniiiniiinikiiniiiniiinininnnnnnnninkkkkkkkkkkiiinninnnnniixxxxxxnlx得得），由由（此此时时必必有有，使使然然后后取取使使类类似似地地，可可取取得得由由，使使取取，则则取取，时时，使使当当必必有有由由，由由，使使取取，故故弱弱收收敛敛于于因因为为使使的的一一个个子子列列，及及，则则存存在在不不强强收收敛敛于于如如果果，设设强强收收敛敛列列。只只须须证证明明弱弱收收敛敛列列必必是是弱弱 .21.* 0* 0* *. 0 0)( |)( )()( 0 , 2 , 1 , 111)()(1)(

29、11)(1)()(111112111111中中弱弱收收敛敛与与强强收收敛敛等等价价，所所以以即即，从从而而时时，由由此此可可知知，当当矛矛盾盾，故故此此与与且且上上有有界界线线性性泛泛函函，是是，易易知知如如下下：中中线线性性泛泛函函定定义义令令强强弱弱弱弱强强lxxxxxxxxxxfxflflxxffljiiisignnnnnnniiiininiiiiniiiiiniiiiiniiniiiniiniiiiijjniijjjkjkjjjkjjjkjjjkjkjkjkjjk )12( | )11( 3|)10( | 1)(1)(1)(11 jjkjjjkjjkjiiniiiiniiinijkin

30、满满足足，格格递递增增的的自自然然数数列列依依此此方方法法，可可得得两两个个严严.)1( 1 , 0 .22收收敛敛的的序序列列中中造造一一个个弱弱收收敛敛但但不不强强试试在在 plp .0*001 , 0), 2 , 1( 11 , 0)11( 1 , 00)()(lim 2)()(21)()()( )()(21)()()()()()()()()()()()(21)()(| 1 , 0001 , 0)( . 1 1 , 0)()1()(2 , 3 , 2 , 1 2,2121 , 01021122102112221212110211)(1212121)()(111)(2)(121)(12)(

31、2)(），从从而而，则则必必弱弱收收敛敛于于强强收收敛敛于于（因因为为若若不不是是强强收收敛敛序序列列，从从而而不不强强收收敛敛于于，显显然然中中弱弱收收敛敛于于在在故故，中中稠稠密密，而而范范数数在在因因为为连连续续函函数数的的全全体体按按）即即：（所所以以中中值值定定理理，其其中中时时，于于是是当当从从而而，必必有有时时，对对，则则当当使使，取取时时，使使当当，必必存存在在上上的的连连续续函函数数，则则为为设设，则则，当当令令等等分分，所所得得小小区区间间记记为为，把把区区间间对对每每个个自自然然数数 xxxxxxlxnxlpqldttytxnnyydttytxiyydttydttydtt

32、ytxdttytxdttytxdttytxnnyyinnntytytttttyxltxittxiiiinnnnpnnpqnniiinniiiiiniiiiiinniinniiniinlnpnniinnnnninnnnnininnininnip . .23性性空空间间都都是是自自反反的的证证明明任任何何有有限限维维赋赋范范线线 .*,*,*, *,1 01)(, ,212111121是是自自反反的的，即即的的一一个个基基，故故也也是是上上的的线线性性泛泛函函列列，看看成成的的一一个个基基，现现在在，把把是是易易知知，且且线线性性无无关关，那那么么，当当当当满满足足上上的的线线性性泛泛函函的的一一个个基基，取取为为维维赋赋范范线线性性空空间间，为为设设eeeeeeeeeeeeffeffnjijijiefffeeeeenennnnjinn . .241不不是是自自反反空空间间证证明明 l.2111111111不不是是自自反反空空间间维维的的，故故得得