数据结构严蔚敏第6章ppt课件

1、第六章第六章树和二叉树树和二叉树教学目的和要求教学目的和要求 1、熟练掌握二叉树的构造特点，了解相应的证明。、熟练掌握二叉树的构造特点，了解相应的证明。 2、熟习二叉树的各种存储构造的特点及适用范围。、熟习二叉树的各种存储构造的特点及适用范围。 3、掌握二叉树遍历的递归与非递归算法。、掌握二叉树遍历的递归与非递归算法。 4、掌握二叉线索树的相关算法。、掌握二叉线索树的相关算法。 5、熟习树的各种存储构造及特点，掌握树和森林、熟习树的各种存储构造及特点，掌握树和森林与二叉树的方法。与二叉树的方法。 6、了解最优树的特性，掌握最优树和哈夫曼编码、了解最优树的特性，掌握最优树和哈夫曼编码的方法。的方

2、法。 1数据的逻辑构造 2、数据的存储构造 3、数据的运算：检索、排序、插入、删除、修正等。 A线性构造 B非线性构造A 顺序存储 B 链式存储 线性表栈队树形构造图形构造数据构造的三个主要问题 树形构造树形构造全校学生档案管理的组织方式全校学生档案管理的组织方式ABCDEFGH树形构造树形构造 结点间具有分层次的衔接关系结点间具有分层次的衔接关系HBCDEFGA6.1 树的类型定义树的类型定义6.2 6.2 二叉树的类型定义二叉树的类型定义6.3 二叉树的存储构造二叉树的存储构造6.4 二叉树的遍历二叉树的遍历6.5 线索二叉树线索二叉树6.6 树和森林的表示方法树和森林的表示方法6.7 树

3、和森林的遍历树和森林的遍历6.8 哈夫曼树与哈夫曼编码哈夫曼树与哈夫曼编码6.1 树的类型定义树的类型定义数据对象数据对象 D：D是具有一样特性的数据元素的集合。是具有一样特性的数据元素的集合。 假设D为空集，那么称为空树 。 否那么: (1) 在D中存在独一的称为根的数据元素root； (2) 当n1时，其他结点可分为m (m0)个互 不相交的有限集T1, T2, , Tm，其中每一 棵子集本身又是一棵符合本定义的树， 称为根root的子树。 数据关系 R：ABCDEFGHIJMKLA( B(E, F(K, L), C(G), D(H, I, J(M) )T1T3T2树根例如例如: : 根本

4、操作：查查 找找 类类 插插 入入 类类删删 除除 类类 Root(T) / 求树的根结点 查找类：查找类：Value(T, cur_e) / 求当前结点的元素值求当前结点的元素值 Parent(T, cur_e) / 求当前结点的双亲结点求当前结点的双亲结点LeftChild(T, cur_e) / 求当前结点的最左孩子求当前结点的最左孩子 RightSibling(T, cur_e) / 求当前结点的右兄弟求当前结点的右兄弟TreeEmpty(T) / 断定树能否为空树断定树能否为空树 TreeDepth(T) / 求树的深度求树的深度TraverseTree( T, Visit() )

5、/ 遍历遍历InitTree(&T) / 初始化置空树初始化置空树 插入类：插入类：CreateTree(&T, definition) / 按定义构造树按定义构造树Assign(T, cur_e, value) / 给当前结点赋值给当前结点赋值InsertChild(&T, &p, i, c) / 将以将以c为根的树插入为结点为根的树插入为结点p的第的第i棵棵子树子树 ClearTree(&T) / 将树清空 删除类：删除类：DestroyTree(&T) / 销毁树的构造销毁树的构造DeleteChild(&T, &p, i) / 删除结点删除结点p的第的第i棵子树棵子树对比树型构造和线性

6、构造对比树型构造和线性构造的构造特点的构造特点线性构造线性构造树型构造树型构造第一个数据元素第一个数据元素 ( (无前驱无前驱) ) 根结点 (无前驱)最后一个数据元素最后一个数据元素 (无后继无后继)多个叶子结点多个叶子结点 ( (无后继无后继) )其它数据元素其它数据元素( (一个前驱、一个前驱、 一个后继一个后继) )其它数据元素其它数据元素( (一个前驱、一个前驱、 多个后继多个后继) )基基 本本 术术 语语结点结点: :结点的度结点的度: :树的度树的度: :叶子结点叶子结点: :分支结点分支结点: :数据元素+假设干指向子树的分支分支的个数树中一切结点的度的最大值度为零的结点度大

7、于零的结点DHIJM(从根到结点的)途径：孩子结点、双亲结点孩子结点、双亲结点兄弟结点、堂兄弟兄弟结点、堂兄弟祖先结点、子孙结点祖先结点、子孙结点结点的层次结点的层次: :树的深度：树的深度： 由从根到该结点所经分支和结点构成ABCDEFGHIJMKL假设根结点的层次为1，第l 层的结点的子树根结点的层次为l+1树中叶子结点所在的最大层次任何一棵非空树是一个二元组 Tree = root，F其中：root 被称为根结点 F 被称为子树森林森林：森林：是mm0棵互不相交的树的集合ArootBCDEFGHIJMKLF6.2 二叉树的类型定义二叉树的类型定义 二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵

8、分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。ABCDEFGHK根结点左子树右子树二叉树的五种根本形状：二叉树的五种根本形状：N空树空树只含根结点只含根结点NNNLRR右子树为空树右子树为空树L左子树为空树左子树为空树左右子左右子树均不树均不为空树为空树 二叉树的主要根本操作：二叉树的主要根本操作：查查 找找 类类插插 入入 类类删删 除除 类类 Root(T); Value(T, e); Parent(T, e); LeftChild(T, e); RightChild(T, e); LeftSibling(T, e); RightSibling(T, e); BiTreeEmpty(T);

9、 BiTreeDepth(T); PreOrderTraverse(T, Visit(); InOrderTraverse(T, Visit(); PostOrderTraverse(T, Visit(); LevelOrderTraverse(T, Visit(); InitBiTree(&T); Assign(T, &e, value); CreateBiTree(&T, definition); InsertChild(T, p, LR, c);ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T, p, LR);二叉树二叉树的重要特性的重要特

10、性 性质性质 1 ： 在二叉树的第在二叉树的第 i 层上至多有层上至多有2i-1 个个结点。结点。 (i1)用归纳法证明：用归纳法证明： 归纳基：归纳基： 归纳假设：归纳假设： 归纳证明：归纳证明：i = 1 层时，只需一个根结点：层时，只需一个根结点： 2i-1 = 20 = 1；假设对一切的 j，1 j i，命题成立；二叉树上每个结点至多有两棵子树，那么第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。性质性质 2 ： 深度为深度为 k 的二叉树上至多含的二叉树上至多含 2k-1 个结点个结点k1。证明：证明： 基于上一条性质，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为 20+21+ +2k

11、-1 = 2k-1 。 性质性质 3 ： 对任何一棵二叉树，假设它含有对任何一棵二叉树，假设它含有n0 个叶子个叶子结点、结点、n2 个度为个度为 2 的结点，那么必存在关的结点，那么必存在关系式：系式：n0 = n2+1。证明：证明：设设 二叉树上结点总数二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2又又 二叉树上分支总数二叉树上分支总数 b = n1+2n2 而而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1由此，由此， n0 = n2 + 1 。两类特殊的二叉树：两类特殊的二叉树：满二叉树：指的是满二叉树：指的是深度为深度为k且含有且含有2k-1个结点的二叉树。个结点的二叉树

12、。完全二叉树：树完全二叉树：树中所含的中所含的 n 个结个结点和满二叉树中点和满二叉树中编号为编号为 1 至至 n 的的结点一一对应。结点一一对应。123456789 10 11 12 13 14 15abcdefghij 性质性质 4 ： 具有具有 n 个结点的完全二叉树的个结点的完全二叉树的深度为深度为 log2n +1 。证明：证明：设完全二叉树的深度为设完全二叉树的深度为 k 那么根据第二条性质得那么根据第二条性质得 2k-1 n 2k 即即 k-1 log2 n n，那么该结点无左孩子， 否那么，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；(3) 假设 2i+1n，那么该结点无右孩子结点，

13、否那么，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。6.3 二叉树的存储构造二叉树的存储构造二、二叉树的链式二、二叉树的链式 存储表示存储表示一、一、 二叉树的顺序二叉树的顺序 存储表示存储表示#define MAX_TREE_SIZE 100 / 二叉树的最大结点数二叉树的最大结点数typedef TElemType SqBiTreeMAX_ TREE_SIZE; / 0号单元存储根结点号单元存储根结点SqBiTree bt;一、一、 二叉树的顺序存储表示二叉树的顺序存储表示例如例如:ABCDEF A B D C E F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131401326

14、顺序存储构造仅适用于完全二叉树！顺序存储构造仅适用于完全二叉树！二、二叉树的链式存储表示二、二叉树的链式存储表示1. 1. 二叉链表二叉链表2三叉链表三叉链表3 3双亲链表双亲链表4线索链表线索链表ADEBCF rootlchild data rchild结点构造结点构造:1. 1. 二叉链表二叉链表typedef struct BiTNode / 结点构造结点构造 TElemType data; struct BiTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指针左右孩子指针 BiTNode, *BiTree;lchild data rchild结点构造结点构造:C 言语的类型

15、描画如下:ADEBCF root 2三叉链表三叉链表parent lchild data rchild结点构造结点构造: typedef struct TriTNode / 结点构造 TElemType data; struct TriTNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指针 struct TriTNode *parent; /双亲指针 TriTNode, *TriTree;parent lchild data rchild结点构造结点构造:C 言语的类型描画如下:0123456B2C0A -1D2E3F4 data parent结点构造结点构造:3 3双亲链表双亲链表

16、LRTagLRRRL typedef struct BPTNode / 结点构造 TElemType data; int *parent; / 指向双亲的指针 char LRTag; / 左、右孩子标志域 BPTNode typedef struct BPTree / 树构造 BPTNode nodesMAX_TREE_SIZE; int num_node; / 结点数目 int root; / 根结点的位置 BPTree6.4二叉树的遍历二叉树的遍历一、问题的提出一、问题的提出二、先左后右的遍历算法二、先左后右的遍历算法三、算法的递归描画三、算法的递归描画四、中序遍历算法的非递归描画四、中序

17、遍历算法的非递归描画五、遍历算法的运用举例五、遍历算法的运用举例 顺着某一条搜索途径巡访二叉树中的结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。一、问题的提出一、问题的提出“访问的含义可以很广，如：输出结点的信息等。 “遍历是任何类型均有的操作，对线性构造而言，只需一条搜索路径(由于每个结点均只需一个后继)，故不需求另加讨论。而二叉树是非线性构造， 每个结点有两个后继，每个结点有两个后继，那么存在如何遍历即按什么样的搜索那么存在如何遍历即按什么样的搜索途径遍历的问题。途径遍历的问题。 对对“二叉树而言，可以有二叉树而言，可以有三条搜索途径：三条搜索途径： 1先上后下的按层次遍历； 2先左子

18、树后右子树的遍历； 3先右子树后左子树的遍历。二、先左后右的遍历算法二、先左后右的遍历算法先序根的遍历算法先序根的遍历算法中序根的遍历算法中序根的遍历算法后序根的遍历算法后序根的遍历算法 假设二叉树为空树，那么空操作；否那么，1访问根结点；2先序遍历左子树；3先序遍历右子树。先序根的遍历算法：先序根的遍历算法： 假设二叉树为空树，那么空操作；否那么，1中序遍历左子树；2访问根结点；3中序遍历右子树。中序根的遍历算法：中序根的遍历算法： 假设二叉树为空树，那么空操作；否那么，1后序遍历左子树；2后序遍历右子树；3访问根结点。后序根的遍历算法：后序根的遍历算法：课堂提问： 有以下构造的二叉树有以下

19、构造的二叉树 写出其先序、中序和后序遍历的序列写出其先序、中序和后序遍历的序列ABCDE三、算法的递归描画三、算法的递归描画void Preorder (BiTree T, void( *visit)(TElemType& e) / 先序遍历二叉树先序遍历二叉树 if (T) visit(T-data); / 访问结点访问结点 Preorder(T-lchild, visit); / 遍历左子树遍历左子树 Preorder(T-rchild, visit);/ 遍历右子树遍历右子树 四、中序遍历算法的非递归描画四、中序遍历算法的非递归描画BiTNode *GoFarLeft(BiTree T,

20、 Stack *S) if (!T ) return NULL; while (T-lchild ) Push(S, T); T = T-lchild; return T;void Inorder_I(BiTree T, void (*visit) (TelemType& e) Stack *S; t = GoFarLeft(T, S); / 找到最左下的结点找到最左下的结点 while(t) visit(t-data); if (t-rchild) t = GoFarLeft(t-rchild, S); else if ( !StackEmpty(S ) / 栈不空时退栈栈不空时退栈 t =

21、 Pop(S); else t = NULL; / 栈空阐明遍历终了栈空阐明遍历终了 / while/ Inorder_I 五、遍历算法的运用举例五、遍历算法的运用举例1、统计二叉树中叶子结点的个数、统计二叉树中叶子结点的个数 (先序遍历先序遍历)2、求二叉树的深度、求二叉树的深度(后序遍历后序遍历)3、复制二叉树、复制二叉树(后序遍历后序遍历)4 4、建立二叉树的存储构造、建立二叉树的存储构造1、统计二叉树中叶子结点的个数、统计二叉树中叶子结点的个数算法根本思想算法根本思想: : 先序(或中序或后序)遍历二叉树，在遍历过程中查找叶子结点，并计数。由此，需在遍历算法中增添一个“计数的参数，并将

22、算法中“访问结点的操作改为：假设是叶子，那么计数器增1。void CountLeaf (BiTree T, int& count) if ( T ) if (!T-lchild)& (!T-rchild) count+; / 对叶子结点计数对叶子结点计数 CountLeaf( T-lchild, count); CountLeaf( T-rchild, count); / if / CountLeaf2、求二叉树的深度、求二叉树的深度(后序遍历后序遍历)算法根本思想算法根本思想: : 从二叉树深度的定义可知，二叉树的深度应为其左、右子树深度的最大值加1。由此，需先分别求得左、右子树的深度，算法

23、中“访问结点的操作为：求得左、右子树深度的最大值，然后加 1 。 首先分析二叉树的深度和它的左、右子树深度之间的关系。int Depth (BiTree T ) / 前往二叉树的深度前往二叉树的深度 if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild ); depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + (depthLeft depthRight ? depthLeft : depthRight); return depthval;3、复制二叉树、复制二叉树其根本操作为：生成一个结点。其根

24、本操作为：生成一个结点。根元素根元素T左子树左子树右子树右子树根元素根元素NEWT左子树左子树右子树右子树左子树左子树右子树右子树(后序遍历后序遍历)BiTNode *GetTreeNode(TElemType item, BiTNode *lptr , BiTNode *rptr ) if (!(T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T- data = item; T- lchild = lptr; T- rchild = rptr; return T; 生成一个二叉树的结点生成一个二叉树的结点(其数据域为其数据域为item

25、,左指针域为左指针域为lptr,右指针域为右指针域为rptr)BiTNode *CopyTree(BiTNode *T) if (!T ) return NULL; if (T-lchild ) newlptr = CopyTree(T-lchild);/复制左子树 else newlptr = NULL; if (T-rchild ) newrptr = CopyTree(T-rchild);/复制右子树 else newrptr = NULL; newT = GetTreeNode(T-data, newlptr, newrptr); return newT; / CopyTreeABCD

26、EFGHK D C B H K G F E A例如：以下二叉树例如：以下二叉树的复制过程如下：的复制过程如下：newT4 4、建立二叉树的存储、建立二叉树的存储构造构造不同的定义方法相应有不同的不同的定义方法相应有不同的存储构造的建立算法存储构造的建立算法以字符串“A!表示 以字符串的方式以字符串的方式 根根 左子树左子树 右子树右子树定义一棵二叉树定义一棵二叉树例如:ABCD以字符“!表示A(B(! ,C(! , ! ),D(! , ! )空树空树只含一个根结点只含一个根结点的二叉树的二叉树A以以下字符串表示Status CreateBiTree(BiTree &T) scanf(&ch);

27、 if (ch=!) T = NULL; else if (!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode) exit(OVERFLOW); T-data = ch; / 生成根结点生成根结点 CreateBiTree(T-lchild); / 构造左子树构造左子树 CreateBiTree(T-rchild); / 构造右子树构造右子树 return OK; / CreateBiTree 仅知二叉树的先序序列“abcdefg 不能独一确定一棵二叉树，由二叉树的先序和中序序列建树由二叉树的先序和中序序列建树 假好像时知二叉树的中序序列“cbdaegf，那么会如何？

28、 二叉树的先序序列二叉树的中序序列左子树左子树左子树左子树 右子树右子树右子树右子树根根根根a b c d e f gc b d a e g f例如例如: :aab bccddeeffggabcdefg先序序列中序序列void CrtBT(BiTree& T, char pre, char ino, int ps, int is, int n ) / 知知preps.ps+n-1为二叉树的先序序列，为二叉树的先序序列， / insis.is+n-1为二叉树的中序序列，本算为二叉树的中序序列，本算 / 法由此两个序列构造二叉链表法由此两个序列构造二叉链表 if (n=0) T=NULL; els

29、e k=Search(ino, preps); / 在中序序列中在中序序列中查询查询 if (k= -1) T=NULL; else / / CrtBT T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode);T-data = preps;if (k=is) T-Lchild = NULL;else CrtBT(T-Lchild, pre, ino, ps+1, is, k-is );if (k=is+n-1) T-Rchild = NULL;else CrtBT(T-Rchild, pre, ino, ps+(k-is)+1, k+1, n-(k-is)-1 );练习题：练习题

30、： 1、编写递归算法，将二叉树中一切结点、编写递归算法，将二叉树中一切结点的左、右子树交换。的左、右子树交换。 2、编写递归算法：对于二叉树中每一个、编写递归算法：对于二叉树中每一个元素值为元素值为x的结点，删除以它为根的子树，的结点，删除以它为根的子树，并释放相应的空间。并释放相应的空间。 3、编写按层次顺序同一层自左至右、编写按层次顺序同一层自左至右遍历二叉树的算法。遍历二叉树的算法。6.5线索二叉树线索二叉树 何谓线索二叉树？ 线索链表的遍历算法 如何建立线索链表？一、何谓线索二叉树？一、何谓线索二叉树？遍历二叉树的结果是， 求得结点的一个线性序列。ABCDEFGHK例如:先序序列先序序

31、列: : A B C D E F G H K A B C D E F G H K中序序列中序序列: : B D C A H G K F E B D C A H G K F E后序序列后序序列: : D C B H K G F E A D C B H K G F E A指向该线性序列中的“前驱和 “后继 的指针，称作“线索与其相应的二叉树，称作 “线索二叉树包含 “线索 的存储构造，称作 “线索链表A B C D E F G H K D C B E 对线索链表中结点的商定：对线索链表中结点的商定： 在二叉链表的结点中添加两个标志域，并作如下规定：假设该结点的左子树不空，假设该结点的左子树不空，那

32、么那么Lchild域的指针指向其左子树，域的指针指向其左子树， 且左标志域的值为且左标志域的值为“指针指针 Link； 否那么，否那么，Lchild域的指针指向其域的指针指向其“前驱，前驱， 且左标志的值为且左标志的值为“线索线索 Thread 。假设该结点的右子树不空，假设该结点的右子树不空，那么那么rchild域的指针指向其右子树，域的指针指向其右子树， 且右标志域的值为且右标志域的值为 “指针指针 Link；否那么，否那么，rchild域的指针指向其域的指针指向其“后继，后继， 且右标志的值为且右标志的值为“线索线索 Thread。 如此定义的二叉树的存储构造称作如此定义的二叉树的存储构

33、造称作“线索链表。线索链表。typedef struct BiThrNod TElemType data; struct BiThrNode *lchild, *rchild; / 左右指针左右指针 PointerThr LTag, RTag; / 左右标志左右标志 BiThrNode, *BiThrTree;线索链表的类型描画： typedef enum Link, Thread PointerThr; / Link=0:指针，指针，Thread=1:线索线索二、线索链表的遍历算法二、线索链表的遍历算法: for ( p = firstNode(T); p; p = Succ(p) ) Vi

34、sit (p);由于在线索链表中添加了遍历中得到的“前驱和“后继的信息，从而简化了遍历的算法。例如例如: 对中序线索化链表的遍历算法对中序线索化链表的遍历算法 中序遍历的第一个结点中序遍历的第一个结点 ？ 在中序线索化链表中结点的后继在中序线索化链表中结点的后继 ？左子树上处于“最左下没有左子树的结点。假设无右子树，那么为后继线索所指结假设无右子树，那么为后继线索所指结点；点；否那么为对其右子树进展中序遍历否那么为对其右子树进展中序遍历时访问的第一个结点。时访问的第一个结点。void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T, void (*Visit)(TElemTyp

35、e e) p = T-lchild; / p指向根结点指向根结点 while (p != T) / 空树或遍历终了时，空树或遍历终了时，p=T while (p-LTag=Link) p = p-lchild; / 第一个结点第一个结点 if ( !Visit( p-data ) ) return ERROR; while (p-RTag=Thread & p-rchild!=T) p = p-rchild; Visit(p-data); / 访问后继结点访问后继结点 p = p-rchild; / p进至其右子树根进至其右子树根 / InOrderTraverse_Thr 在中序遍历过程中修

36、正结点的在中序遍历过程中修正结点的左、右指针域，以保管当前访问结左、右指针域，以保管当前访问结点的点的“前驱和前驱和“后继信息。遍历过后继信息。遍历过程中，附设指针程中，附设指针pre, 并一直坚持指并一直坚持指针针pre指向当前访问的、指针指向当前访问的、指针p所指所指结点的前驱。结点的前驱。三、如何建立线索链表？三、如何建立线索链表？void InThreading(BiThrTree p) if (p) / 对以对以p为根的非空二叉树进展线为根的非空二叉树进展线索化索化 InThreading(p-lchild); / 左子树线索左子树线索化化 if (!p-lchild) / 建前驱线

37、索建前驱线索 p-LTag = Thread; p-lchild = pre; if (!pre-rchild) / 建后继线索建后继线索 pre-RTag = Thread; pre-rchild = p; pre = p; / 坚持坚持 pre 指向指向 p 的前驱的前驱 InThreading(p-rchild); / 右子树线索右子树线索化化 / if / InThreadingStatus InOrderThreading(BiThrTree &Thrt, BiThrTree T) / 构建中序线索链构建中序线索链表表 if (!(Thrt = (BiThrTree)malloc(

38、sizeof( BiThrNode) exit (OVERFLOW); Thrt-LTag = Link; Thrt-RTag =Thread; Thrt-rchild = Thrt; / 添加头结点添加头结点 return OK; / InOrderThreading if (!T) Thrt-lchild = Thrt; else Thrt-lchild = T; pre = Thrt; InThreading(T); pre-rchild = Thrt; / 处置最后一个结点处置最后一个结点 pre-RTag = Thread; Thrt-rchild = pre; 6.6 树和森林树和

39、森林 的表示方法的表示方法6.6.1 树的三种存储构造树的三种存储构造一、双亲表示法一、双亲表示法二、孩子链表表示法二、孩子链表表示法三、树的二叉链表三、树的二叉链表(孩子孩子-兄弟兄弟 存储表示法存储表示法ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 2 5 F 26 G 5r=0n=6data parent一、双亲表示法一、双亲表示法: typedef struct PTNode Elem data; int parent; / 双亲位置域 PTNode; data parent#define MAX_TREE_SIZE 100结点构造结点构造:C言语的类型描画言语的类型

40、描画:typedef struct PTNode nodes MAX_TREE_SIZE; int r, n; / 根结点的位置和结点个数根结点的位置和结点个数 PTree;树构造树构造:ABCDEFG0 A -11 B 02 C 03 D 04 E 25 F 26 G 4r=0n=6 data firstchild 1 2 34 56二、孩子链表表示法二、孩子链表表示法:typedef struct CTNode int child; struct CTNode *next; *ChildPtr;孩子结点构造孩子结点构造: child nextC言语的类型描画言语的类型描画: typedef

41、 struct Elem data; ChildPtr firstchild; / 孩子链的头指针 CTBox;双亲结点构造双亲结点构造 data firstchildtypedef struct CTBox nodesMAX_TREE_SIZE; int n, r; / 结点数和根结点的位置结点数和根结点的位置 CTree;树构造树构造:ABCDEFG AB C E D F Groot AB C E D F G 三、树的二叉链表三、树的二叉链表 (孩子孩子-兄弟存储表示法兄弟存储表示法typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstc

42、hild, *nextsibling; CSNode, *CSTree;C言语的类型描画言语的类型描画:结点构造结点构造: firstchild data nextsibling 6.6.2 森林和二叉树的转换森林和二叉树的转换设森林设森林 F = ( T1, T2, , Tn ); T1 = (root，t11, t12, , t1m);二叉树二叉树 B =( LBT, Node(root), RBT ); 由于二叉树可以用二叉链表表示，为了使普通树由于二叉树可以用二叉链表表示，为了使普通树也能用二叉链表表示，必需找出树与二叉树之间的关也能用二叉链表表示，必需找出树与二叉树之间的关系。系。

43、这样，给定一棵树，可以找到独一的一棵二叉这样，给定一棵树，可以找到独一的一棵二叉树与之对应。树与之对应。方法：方法： 对每个孩子进展从左到右的排序；对每个孩子进展从左到右的排序； 在兄弟之间加一条连线；在兄弟之间加一条连线； 对每个结点，除了左孩子外，去除其与其他孩对每个结点，除了左孩子外，去除其与其他孩子之间的联络；子之间的联络； 以根结点为轴心，将整个树顺时针转以根结点为轴心，将整个树顺时针转45度。度。1、将树转换成二叉树的转换规那么为、将树转换成二叉树的转换规那么为: I A B C DE F G H(b) A B CD E G H FI(a)树转换为二叉树树转换为二叉树ABEFCDG

44、HI(d)ABCDEFGHI(c)2、由森林转换成二叉树的转换规那么为、由森林转换成二叉树的转换规那么为:假设 F = ，那么 B = ；否那么， 由 ROOT( T1 ) 对应得到 Node(root)； 由 (t11, t12, , t1m ) 对应得到 LBT； 由 (T2, T3, Tn ) 对应得到 RBT。森林转换为二叉树森林转换为二叉树ADCBEFHIGJEFADCBHIGJADCBEFHIGJADCBEFHIGJ3、由二叉树转换为森林的转换规那么为：、由二叉树转换为森林的转换规那么为：假设 B = ， 那么 F = ；否那么，由 Node(root) 对应得到 ROOT( T1

45、 )；由LBT 对应得到 ( t11, t12, ，t1m)；由RBT 对应得到 (T2, T3, , Tn)。将二叉树转换成树或森林的方法如下：将二叉树转换成树或森林的方法如下：1.假设某结点是其双亲的左孩子假设某结点是其双亲的左孩子,那么把该结点的右孩那么把该结点的右孩子、右孩子的右孩子子、右孩子的右孩子都与该结点的双亲结点用线都与该结点的双亲结点用线连起来连起来;2.删除原二叉树中一切的双亲结点与右孩子结点的连删除原二叉树中一切的双亲结点与右孩子结点的连线线.3.整理步骤整理步骤1、2所得到的树或森林所得到的树或森林,使构造层次清楚使构造层次清楚.将二叉树转换为树或森林的另一种描画：将二

46、叉树转换为树或森林的另一种描画：ABEFCDGHI(a)ABEFCDGHI(b)将二叉树转换为树或森林将二叉树转换为树或森林ABEFCDGHI(c) 假设某结点是其双假设某结点是其双亲的左孩子亲的左孩子,那么那么把该结点的右孩子把该结点的右孩子、右孩子的右孩子、右孩子的右孩子都与该结点的双都与该结点的双亲结点用线连起来亲结点用线连起来;删除原二叉树中一删除原二叉树中一切的双亲结点与右切的双亲结点与右孩子结点的连线孩子结点的连线. 由此，树的各种操作均可对应二叉树的操作来完成。 该当留意的是，和树对应的二叉树，其左、右子树的概念已改动为： 左是孩子，右是兄弟。6.7树和森林的遍历树和森林的遍历一

47、、树的遍历一、树的遍历二、森林的遍历二、森林的遍历三、树的遍历的运用三、树的遍历的运用树的遍历可有三条搜索途径树的遍历可有三条搜索途径:按层次遍历按层次遍历:先根先根(次序次序)遍历遍历:后根后根(次序次序)遍历遍历: 假设树不空，那么先访问根结点，假设树不空，那么先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。然后依次先根遍历各棵子树。 假设树不空，那么先依次后根遍历假设树不空，那么先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。各棵子树，然后访问根结点。 假设树不空，那么自上而下自左假设树不空，那么自上而下自左至右访问树中每个结点。至右访问树中每个结点。 A B C DE F G H I J K 先根遍历

48、时顶点先根遍历时顶点的访问次序：的访问次序：A B E F C D G H I J K 后根遍历时顶点后根遍历时顶点的访问次序：的访问次序：E F B C I J K H G D A 层次遍历时顶点层次遍历时顶点的访问次序：的访问次序：A B C D E F G H I J K B C DE F G H I J K1森林中第一棵树的根结点；2森林中第一棵树的子树森林；3森林中其它树构成的森林。森林由三部分构成： 假设森林不空，那么访问森林中第一棵树的根结点；先序遍历森林中第一棵树的子树森林；先序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。1. 先序遍历先序遍历森林的遍历森林的遍历即：依次从

49、左至右对森林中的每一棵树进展先根遍历。中序遍历中序遍历 假设森林不空，那么中序遍历森林中第一棵树的子树森林；访问森林中第一棵树的根结点；中序遍历森林中(除第一棵树之外)其 余树构成的森林。即：依次从左至右对森林中的每一棵树进展后根遍历。 树的遍历和二叉树遍历的对应关系树的遍历和二叉树遍历的对应关系 ？先根遍历先根遍历后根遍历后根遍历树树二叉树二叉树森林森林先序遍历先序遍历先序遍历先序遍历中序遍历中序遍历中序遍历中序遍历设树的存储构造为孩子兄弟链表设树的存储构造为孩子兄弟链表typedef struct CSNode Elem data; struct CSNode *firstchild, *

50、nextsibling; CSNode, *CSTree;一、求树的深度一、求树的深度二、输出树中一切从根到叶子的途径二、输出树中一切从根到叶子的途径三、建树的存储构造三、建树的存储构造int TreeDepth(CSTree T) if(!T) return 0; else h1 = TreeDepth( T-firstchild ); h2 = TreeDepth( T-nextsibling); / TreeDepthreturn(max(h1+1, h2);一、求树的深度的算法：一、求树的深度的算法：二、输出树中一切从根到叶子的途径的算法二、输出树中一切从根到叶子的途径的算法: A B

51、 C DE F G H I J K例如：对左图所示的树，其输出结果应为：A B EA B FA CA D G H IA D G H JA D G H Kvoid AllPath( Bitree T, Stack& S ) if (T) Push( S, T-data ); if (!T-Lchild & !T-Rchild ) PrintStack(S); else AllPath( T-Lchild, S ); AllPath( T-Rchild, S ); Pop(S); / if(T) / AllPath/ 输出二叉树上从根到一切叶子结点的途径输出二叉树上从根到一切叶子结点的途径void

52、 OutPath( Bitree T, Stack& S ) while ( !T ) Push(S, T-data ); if ( !T-firstchild ) Printstack(s); else OutPath( T-firstchild, s ); Pop(S); T = T-nextsibling; / while / OutPath/ 输出森林中一切从根到叶的途径三、建树的存储构造的算法三、建树的存储构造的算法: 和二叉树类似，不同的定义相应有不同的算法。 假设以二元组(F，C)的方式自上而下、自左而右依次输入树的各边，建立树的孩子-兄弟链表。ABCDEFG例如例如:对以下所示

53、树的输入序列应为:(#, A)(A, B)(A, C)(A, D)(C, E)(C, F)(E, G)ABCD(#, A)(A, B)(A, C)(A, D)(C, E)可见，算法中需求一个队列保管已建好的结点的指针。void CreatTree( CSTree &T ) T = NULL; for( scanf(&fa, &ch); ch!= ; scanf(&fa, &ch);) p = GetTreeNode(ch); / 创建结点创建结点EnQueue(Q, p); / 指针入队列指针入队列if (fa = ) T = p; / 所建为根所建为根结点结点 else / 非根结点的情况非

54、根结点的情况 / for / CreateTree GetHead(Q,s); / 取队列头元素(指针值)while (s-data != fa ) / 查询双亲结点 DeQueue(Q,s); GetHead(Q,s); if (!(s-firstchild) s-firstchild = p; r = p; / 链接第一个孩子结点else r-nextsibling = p; r = p; / 链接其它孩子结点 6.8 哈哈 夫夫 曼曼 树树 与与 哈哈 夫夫 曼曼 编编 码码 最优树的定义最优树的定义 如何构造最优树如何构造最优树 前缀编码前缀编码 一、最优树的定义一、最优树的定义树的途

55、径长度定义为：树的途径长度定义为： 树中每个结点的途径长度之和。树中每个结点的途径长度之和。 结点的途径长度定义为：结点的途径长度定义为： 从根结点到该结点的途径上从根结点到该结点的途径上 分支的数目。分支的数目。1 12 2453 367PL=0+1+1+2+2+2+2=10树的途径长度用树的途径长度用PLPL表示。表示。1 12 245C67PL=0+1+1+2+2+3+3=12 树的带权途径长度定义为：树的带权途径长度定义为： 树中一切叶子结点的带权途径长度树中一切叶子结点的带权途径长度之和之和 WPL(T) = wklk (对一切叶子结点对一切叶子结点)。其中：其中：Wk为树中每个叶子

56、结点的权；为树中每个叶子结点的权； Lk为每个叶子结点到根的途径为每个叶子结点到根的途径长度。长度。例如：例如：27 9 75492WPL(T)= 72+52+23+43+92 =60WPL(T)= 74+94+53+42+21 =89 54最优树最优树 在一切含 n 个叶子结点、并带一样权值的 m 叉树中，必存在一棵其带权途径长度取最小值的树，称为“最优树。 由原始数据生成森林 根据给定的n个权值 w1, w2, , wn， 构造 n 棵二叉树的集合 F = T1, T2, , Tn， 其中每棵二叉树中均只含一个带权值 为 wi 的根结点,其左、右子树为空树；二、如何构造最优树二、如何构造最优树(1)(赫夫曼算法) 以二叉树为例： 在 F 中选取其根结点的权值为最 小的两棵二