确定性存储问题数学模型

1、第三节 确定性存储问题数学模型对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。这是摆在工厂管理者面前的现实问题。我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。一、仓库只库存产品的简单情况记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率kr增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期

2、。Q与tc为每开动一次生产线的成本，s为单位时间 Q每件产品的存储费，W为单 P位时间总费用。则问题可做如下描述：确定周期T，使单位时间的总费用W最小。 O t T 图库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即 又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 记 则 为求最小总费用点，令 = 0, 得c/T 2 +B = 0从而有Tmin = min = 计算出来的这个最优 f ( 周期T往往不易在实际生产过程中操作实施，这就需要作一点微调（或者说做一点摄动），那么会对W产生多大的影响呢？我 O

3、1 1 们简单分析一下这种敏感性。 图摄动函数( 的图象设T被T代替，这里 = 1, 或者 = 1 （ 0）,考虑哪一种变动较好一点。从而 = 从图中可见，摄动 = 1 比摄动 = 1对最优值min的影响要小一些。故应该对Tmin作(1 Tmin的调整。二、仓库既存放产品，也存放原料的情况设将一个周期生产所需要的原料一次备足，即t = 0时仓库要存放能生产kt 件产品的 Q kt 原料 商品 位时间每件原料存储费为S ,单位时间原料存储费就 A应为S A/T， 其中，A = kt·t / 2 = k t 2 / 2 , O t T t 从而，单位时间总费用应为 图库存量Q与时间t关系

4、图（情况2） W = 令 B =则 W = 与前类似，通过求导数并令其为零，得T min = 三、一次备足P个周期生产所需原料的情况此种情况下，在t = 0时，仓库应存入N = pkt = prTPA。A是以NQNA tO t T Tt 2T (p1T (p1TtQ与时间t关系图（情况3）为高，以（p1）Tt为底的矩形面积的一半。从而有（注：N=prT kt=rt ）则单位时间原料存放费为此时，单位时间总费用为当S > S 时，记 B1 = ，则最优周期有与情况2 相类似的结果当S S 时，最好的策略是使T尽可能大，即p = 1 。也就是说，当单位时间每件原料存放费大于商品存放费时，最好

5、只存一个周期的原料。四、成批到货，不允许缺货的模型所谓成批到货，不许缺货，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取（假设需求是确定的）投入使用，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足，不允许缺货。这是因为，对某些工厂的实际来说，一旦缺货，造成停产，其损失是不可估量的。这种情况下，库存量QQO T tQ示意图（情况4）假设周期初始时，原料库存应为Q = RT，一个周期内原料存储费用应该是cQOT的面积的乘积，即, 则周期总费用为c1c2· 从而，周期内平均单位时间费用为 为求使W达到最小的T，令 dW/dt = 0，并注意到Q = RT,得Tmin =Q =五、只存储原料，允许缺货在实际的存储问题中，有时因缺货造成的损失是有限的，这就可以根据实际情况建立允许缺货的存储问题数学模型，建立这个模型只需对上一个模型做如下修改。在前面已设条件基础上，在设每天每单位原料缺货费为c3, 每次所订原料Q吨在 t = T1时用完，有一段时间缺货，在t = T时得到补充。于是存储量QQ = RT1，QT1 T t DQ示意图（情况5）一个订货周期T内的缺货费是