不等式的证明(比较法)-先猜后证教学案例

1、§6.3-1不等式的证明（比较法）国际学校 何 韬Teaching aims:knowledge: （1）以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一比较法，要求学生能教熟练地运用作差比较法证明不等式。（2）了解作商比较法证明不等式；abilities: 能应用比较法解决一些不等式的证明问题，提高学生解题时应变能力moralty: 培养学生的发散思维及分析能力，逻辑推理能力；借用哥德巴赫猜想，鼓励学生大胆猜想，培养学生“先猜后证”的研究意识和方法。Important points: 比较法的应用Difficult points: 常见解题技巧Teaching aids: 启

2、发引导式Teaching procedure: 一、 复习：1且有例：x>0,求5x(5-x)的最大值. (强调成立条件)2不等式的一个等价命题，a>b等价于a-b>0二、新课：1、证明不等式批证明所缎带不等式在给条件下恒成立，而前面所学的：不等式性质，5个定理3个推论，均值不等式，均可用来证明不等式2、作差比较法的步骤：作差变形判断结论例1：求证：x2 + 3 > 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 > 3x例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a<b，b + m > 0 ,

3、b - a > 0 即： 变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？-(鼓励学生大胆进行猜想)例2 可得结论：真分数分子分母增大，分数值增大假分数分子分母增大，分数值减小l 插入介绍哥德巴赫猜想：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。-见教案后材料。当科学家们专心地进行某些研究时，往往会有一些奇异的想法出现，这些想法，也就是科学家们的猜想，正是这些奇怪的有趣的猜想，吸引着科学家们浓厚的兴趣，去探索科学，数学，宇宙和大自然的无数奥秘。许多的猜想在接下来得到了证明和证实，成为一个个的定理，成

4、为一个个继续研究和继续探索科学的工具。而有的，却至今未能得到证明，成为科学家们想攻克的目标。由此可见，1)猜想，往往比去证明它更重要。没有猜想，就没有探索的目标和攻克的方向；2)科学家们探索世界的方法，往往也就是“先猜后证”，那为什么大家就不能先大胆进行猜想呢？只要这个猜想是不能被否认的，是有价值的，他就会得到重视，并吸引着众多科学家的目光。那时，说不准我们之间的很多同学，都会首先因此而有了著名的猜想。所以，大家再学习和研究数学的过程中，在掌握现有知识的基础上，可以大胆地进行联系和猜想，即便不对也没关系，因为，是猜想，就允许错误，只要接下来去证明就好了。例3：已知a, b都是正数，并且a &#

5、185; b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 > 0又a ¹ b，(a - b)2 > 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a

6、3b2l 受上题启发，同学们能不能猜想出下面的不等式：条件结论填空，以下为答案a¹b>0a2 + b2 >ab + aba3 + b3 > ab2 + a2b a4 + b4 > ab3 + a3b 继续猜想得ab3 + a3b> a2b2 + a2b2a2b2 + a2b2a5 + b5 >ab4 + a4b继续猜想得ab4 + a4b> a2b3 + a3b2a2b3 + a3b2a6 + b6 > ab5 + a5b继续猜想得ab5 + a5b> a2b4 + a4b2> a3b3 + a3b3a2b4 + a4b2a

7、3b3 + a3b33、作商法例：设a, b Î R+，求证： 证：作商：当a = b时， 当a > b > 0时， 当b > a > 0时， （其余部分布置作业）作商法步骤与作差法同，不过前提是正数之间比较，且最后是与1比较。三、1、书P14练习1-5 2、小结：作差比较中变形是关键，为利于判断符号，一般将变形为“含平方和，含平方式，分式，或积的形式。3、作业：P16 习题1-3 四、板书设计(略)五、教学后记：因进行规律提示及扩展，对大家进行数学思想“先猜后证”的方法意识培养，故本节课所余练习时间短，应注意考虑。自我建议：必要时将作商法移至下一节课。附：哥

8、德巴赫猜想我们容易得出：4=2+2， 63+3,85+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3,那么，是不是所有的大于2的偶数，都可以表示为两个素数的呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫（CGoldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难

9、题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（MB,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了迂回战术，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"ab"，那么哥氏猜想就是要证明"11"成立。从20世纪20年代起，外国和中国的一些数学家先后证明了"9+9""2十3""15""l4"等命题。1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地证明了"12"，也就是