留数在定积分计算中的应用

1、1第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 5.3 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosr二、形如二、形如 的积分的积分 xxrd)(三、形如三、形如 的积分的积分)0(d)(e axxriax2第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosr2cosee ii ize 方法方法 (1) 令令 ddeiiz 则则 要求要求 是是 u, v 的有理函数，的有理函数， ),(vur即即 是以是以 u, v 为变量为变量 ),(vur的二元多项式函数或者

2、分式函数。的二元多项式函数或者分式函数。 ,sincos i ,d z i ,ddz iz ,212zz 21 zziii2sinee ,212z iz izz21 3第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 方法方法 即即 是以是以 u, v 为变量为变量 要求要求 是是 u, v 的有理函数，的有理函数， 一、形如一、形如 的积分的积分 20d)sin,(cosr),(vur),(vur的二元多项式函数或者分式函数。的二元多项式函数或者分式函数。 zzfzd)(1| . , )(res2 kkzzfi其中，其中， 是是 在在 内内的孤立奇点。的孤立奇点。 kz)(zf1| z

3、(2) 20d)sin,(cosrzz irzd11| z izzz21,2122 )(zf4第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 可知被积函数的分母可知被积函数的分母不为零，不为零， 因而积分是有意义的。因而积分是有意义的。 解解 2cos21pp )cos1(2)1(2 pp由由 及及 ,10 p,e iz (1) 令令 22cos22ee ii ,222 zz,ddz iz ,2cos1 zz 则则 p120 例例5.24 5第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 解解 (2) 1|2122d22112zzizpzzpzzi 1|24d)( )1(21z

4、zpzpzz iz.d)(1| zzzf函数函数 有两个孤立奇点：有两个孤立奇点： 在在 内，内， )(zf1| z二阶极点二阶极点 一阶极点一阶极点 ,01 z.2pz ( ( 注意：一阶极点注意：一阶极点 不在不在 内内 ) ) pz/13 1| z6第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 解解 ,2122pip 222243220)(2)21( )1(4)(limzppzpzipzpzzzppzpzz (3) zzfzddlim0, )(res0)( )1(21242pzpzz izz 事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的

5、留数。 利用洛朗展开利用洛朗展开求该点的留数求该点的留数7第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 解解 ,)1(21224ppip (3) pzpzflim, )(res)( )1(21)(24pzpzz izpz )(, )(res, )(res2pzfpzfii )1(212122422ppippip i2.1222pp 8第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 ,e iz (1) 令令 ,ddz iz ,2cos1 zz 则则 解解 由于由于 为偶函数，为偶函数， cos45cos .dcos45cos21 ii 记记 1|111d24512zzizzzz

6、zi 1|2d)2( )2/1(41zzzzz iz.d)(1| zzzf9第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 解解 有两个一阶极点：有两个一阶极点： 在在 内，内， (2) )(zf1| z,01 z.212 z)(lim0, )(res0zfzzfz 02)2( )2/1(41 zzziz;41i )(lim21, )(res21zfzzfz 212)2(41 zzz iz.125i ii12541 iii221211.6 ( (实数实数) ) 10第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 其中，其中，p (x) , q(x) 为多项式；为多项式； (2)

7、 分母分母 q(x) 的次数比分子的次数比分子 p (x) 的次数至少的次数至少高二次高二次； (3) 分母分母 q(x) 无实零点。无实零点。 推导推导 ( (略略) ) xxrd)(. , )(res2 kkzzri其中，其中， 是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。 kz)(zr要求要求 ,)()()(xqxpxr (1) 方法方法 二、形如二、形如 的积分的积分 xxrd)( (进入推导进入推导?)?)11第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 (1) 令令 解解 9102)(242 zzzzzr)9( )1(2222 zzzzizizzzzizr322

8、)3( )1(23, )(res ,161i .4873i .125 izzizzzizr )9( )(2, )(res22(2) 48731612iiii(3) 在上半平面内，在上半平面内，i 与与 3i 为为 一阶极点一阶极点 。 )(zrp122 例例5.25 12第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 在上半平面内，在上半平面内，a i 与与 bi 为一阶极点为一阶极点。 (1) 令令 解解 ,)( )()(22222bzazzzr (2) )()(lim, )(reszriaziazriaz .)(222abib )()(lim, )(reszribzibzriaz

9、)(2)(22212222abibbaiai(3) xzrid)(21,)(222baia .)(2ba 13第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 (1) 记记解解 ,d12421 xxxii在上半平面内，在上半平面内， 为两个为两个一阶极点一阶极点。 ,41eiz iz432e ,1)(42 zzzr令令(2) )1(, )(res421 zzzzr1zz z41 1zz ,414ei zzzr41, )(res2 2zz i43e41 .414ei (3) )ee(44141412iiii ,22 .42i 14第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 三、

10、形如三、形如 的积分的积分 )0(d)(e axxriax(2) 分母分母 q(x) 的次数比分子的次数比分子 p (x) 的次数至少的次数至少高一次高一次； (3) 分母分母 q(x) 无实零点。无实零点。 其中，其中， 是是 在上半平面内在上半平面内的孤立奇点。的孤立奇点。 kz)(zr其中，其中，p (x) , q(x) 为多项式；为多项式； ,)()()(xqxpxr 要求要求 (1) . ,)(res2 kkzzri方法方法 xxriaxd)(ezaie15第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 三、形如三、形如 的积分的积分 )0(d)(e axxriax其中，其中

11、，p (x) , q(x) 为多项式；为多项式； (2) 分母分母 q(x) 的次数比分子的次数比分子 p (x) 的次数至少的次数至少高一次高一次； (3) 分母分母 q(x) 无实零点。无实零点。 ,)()()(xqxpxr . ,)(res2 kkzzri要求要求 (1) 方法方法 xxriaxd)(ezaie推导推导 ( (略略) ) .bia 记为记为 .dsin)(bxaxxr ;dcos)(axaxxr 特别特别 ( (进入推导进入推导?)?)16第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 在上半平面内，在上半平面内，1+3 i 为一阶极点为一阶极点。 (1) 令令

12、解解 102)(2e zzzzfz iizz izzizf312231, )(rese ,)31( )31(eizizzz i .6313eiii (2) xxxxxid1022e. )1sin1(cos)31(33eii iiii 3e631217第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 xxxxxd102cos2(3) ; )1sin31(cos33e xxxxxd102sin2. )1sin1cos3(33e (2) xxxxxid1022e. )1sin1(cos)31(33eii 18第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 在上半平面内，在上半平面内，

13、i 为一阶极点为一阶极点， (1) 令令 解解 ,1)(2e zzfzaiizzaizizf 2, )(rese.2eia (2) xxxaid12eiia22e ,ea 02d1cosxxxa;2ea .2eb 02d1cosxxxb同理同理 .2)e(ebai (3) 19第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 附：附：关于第二、三型积分中关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况有实孤立奇点的情况 )(zr若若 在上半平面在上半平面有孤立奇点有孤立奇点 结论结论 )(zr,21mzzz xxfd)( mkkzzfi1, )(res2在实轴上在实轴上有有 ,21nxxx孤立奇

14、点孤立奇点 则则 . , )(res1 mkkxzfi)(xf其中，其中， 为第二、三型积分中的被积函数。为第二、三型积分中的被积函数。 p12620第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 (1) 令令 解解 ,)(ezzfz i 0e0, )(res zz izf.1 (2) xxxide0, )(reszfi 在实轴上，在实轴上， 为一阶极点为一阶极点， 0 z, i 0dsinxxxi im21 xxxide.2 p127 例例5.27 附：附：关于第二、三型积分中关于第二、三型积分中 有实孤立奇点的情况有实孤立奇点的情况 )(zr21第五章 留数及其应用 5.3 留数在

15、定积分计算中的应用 休息一下22第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 .210, )(res22pipzf 附：附：求函数求函数 在在 点的留数。点的留数。 )( )1(21)(24pzpzz izzf 0 zpzzpzzpizf/1111121)()(22 )1()1(12122222)( pzpzzpzpzzpi zpppi1121)( (返回返回) )23第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxrd)(. , )(res2 kkzzri(1) 如图，如图， 取积分路径为取积分路径为 ,0 ccc (

16、 (思路思路) ) 推导推导 其中其中 的半径为的半径为 c. |maxkkz (2) 根据留数定理有根据留数定理有 czzrd)( c0c kz czzrd)( 0d)(czzr xxrd)( czzrd)(p122 24第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxrd)( (思路思路) ) 推导推导 (3) | )(|zr|22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz 不妨设不妨设 |1 |1 |111112mmnnzbzbzazaz |1|1|111112mmnnzbzbzazaz 5 . 015 . 01|

17、12 z.|32z ( (当当 足够大足够大) ) |z25第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 xxrd)( (思路思路) ) 推导推导 (4) |d)( czzr c0c kz czzr|d| | )(| czz|d|32 23 3 ,0. )( , , )(res2 kkzzri xxrd)( czzrd)(5) 由由 . , )(res2 kkzzri xxrd)( (返回返回) )26第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 )0(d)(e axxr

18、iax. ,)(res2e kkzaizzri(1) 如图，如图， 取积分路径为取积分路径为 ,0 ccc ( (思路思路) ) 推导推导 其中其中 的半径为的半径为 c. |maxkkz (2) 根据留数定理有根据留数定理有 czaizzrd)(e c0c kz czaizzrd)(e 0d)(eczaizzr xxrxaid)(e czaizzrd)(ep123 27第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 (3) | )(|zr|22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz 不妨设不妨设 |1 |1 |11111mmnnzbzbzazaz |1|1|11111mmnnzbzbzazaz 5 . 015 . 01|1 z.|3z ( (当当 足够大足够大) ) |z( (思路思路) ) 推导推导 附：附：关于关于 型积分的公式推导型积分的公式推导 )0(d)(e axxriax28第五章 留数及其应用 5.3 留数在定积分计算中的应用 (4) |e|d)( czaizzr czaizzr|d| | | )(|e cyasd3e)1(3e aa ,0. )( ( (思路思路) ) 推导推导 附