同济版高等数学第六版第八章第九节二次曲面ppt课件

1、二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面相应地平面被称为一次曲面一、基本内容讨论二次曲面性状的截痕法：讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌即截痕的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面（一椭球面（一椭球面1222222 czbyax 椭球面与三个坐标面的交椭球面与三个坐标面的交线：线：,012222 zbyax,0122

2、22 yczax.012222 xczbyozyx椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. .椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. .1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z122222 czayx方程可写为方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：与

3、平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )| (1cz .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为（二抛物面（二抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1 1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点. .与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆. .1zz 1121212

4、2zzqzypzx当当 变动时，这种椭圆变动时，这种椭圆的中心都在的中心都在 轴上轴上. .1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交. .1zz )0(1 z（2 2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线. .1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3 3用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线. .同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论. .0,0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下

5、：椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qp0, 0 qpzqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）绕它的轴旋转而成的）xozpzx22 与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆的中变动时，这种圆的中心都在心都在 轴上轴上. .1zz 11222zzpzyxzqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面马鞍面）双曲抛物面马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论： 设设0, 0 qp图形如下：图形如

6、下：xyzo（三双曲面（三双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1 1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆. .)0 , 0 , 0(O 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆. .1zz 当当 变动时，这种椭圆变动时，这种椭圆的中心都在的中心都在 轴上轴上. .1zz 122122221zzczbyax（2 2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. . 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.

7、 .xz 122122221yybyczax双曲线的中心都在双曲线的中心都在 轴上轴上. .y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线. .1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行, ,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行. .,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行, ,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行. .,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线. .)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线. .)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3 3用坐

8、标面用坐标面 , ,与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线. .单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线. .ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo椭球面、抛物面、双曲面、截痕法椭球面、抛物面、双曲面、截痕法. .（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）二、小结思考题思考题方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题解答思考题解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线. .一、一、 求曲线求曲线 30222zxzy，在，在xoy面上的投影曲线面上的投影曲线 的方程，并指出原曲线是什么曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线 . .二、画出方程所表示的曲面：二、画出方程所表示的曲面：1 1、94322yxz ；2 2、64416222 zyx . .练练 习习 题题四四、 试试用用截截痕痕法法讨讨论论双双曲曲抛抛物物面面zqypx 2222 （同同号号与与qp）. .三三、 画画出出下下列列各各曲曲面面所所围围成成的的立立体体的的图图形形：1 1、4,2,1,0,0yzyxzx ；2 2