信号与系统郑君里版第二章ppt课件

1、第二章第二章 延续系统的时域分析延续系统的时域分析微分方程的经典解法微分方程的经典解法0+和和0-初始值初始值零输入呼应与零形状呼应零输入呼应与零形状呼应冲激呼应和阶跃呼应冲激呼应和阶跃呼应卷积积分卷积积分2.1 LTI2.1 LTI延续系统的呼应延续系统的呼应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 微分方程的经典解：微分方程的经典解：y(t)(y(t)(完全解完全解) = yh(t)() = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)() + yp(t)(特解特解齐次解是齐次微分方程齐次解是齐次微分方程yh(t)yh(t)的函数方式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数方式的函数方式由上述

2、微分方程的特征根确定。特解的函数方式与鼓励函数的方式有关。与鼓励函数的方式有关。 齐次解的函数方式仅与系统本身的特性有关，而与鼓励f(t)数方式无关，称为系统的固有呼应或自在呼应； 特解的函数方式由鼓励确定，称为强迫呼应。 全呼应齐次解全呼应齐次解( (自在呼应自在呼应) )特解特解( (强迫呼应强迫呼应) )齐次解：写出特征方程，求出特征根自然频率或固有频率。根齐次解：写出特征方程，求出特征根自然频率或固有频率。根据特征根的特点，齐次解有不同的方式。普通方式无重根：据特征根的特点，齐次解有不同的方式。普通方式无重根：特解：根据输入信号的方式有对应特解的方式，用待定系数法确定。特解：根据输入信

3、号的方式有对应特解的方式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。普通情况下，用初始值确定积分常数。普通情况下，n n 阶方程有阶方程有n n 个常数，可用个常数，可用个个 n n 初始值确定。初始值确定。nitihieCtr1)(ite2te2ttheCeCty2221)(由表2-2可知，当f(t) = 2 时，其特解可设为ttttePePePe26)(5tpety)(tpPety)(tttpheeCeCtytyty3221)()()(tettteeety3223)(2齐次解同上。 当鼓励f(t)=

4、时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 =te2te2te2te2tttttttteeCePCePteeCeCty2322012023221)()(tttteeety2322)(二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0 形状和 0 形状0 形状称为零输入时的初始形状。即初始值是由系统的储能产生的；0 形状称为参与输入后的初始形状。即初始值不仅有系统的储能，还受鼓励的影响。 从 0 形状到 0 形状的跃变当系统曾经用微分方程表示时，系统的初始值从0 形状到 0 形状有没有跳变决议于微分方程右端自在项能否包含(t)及其各阶导数。

5、w 假设包含有(t)及其各阶导数，阐明相应的0形状到0形状发生了跳变。w 0 形状确实定w 知 0 形状求 0 形状的值，可用冲激函数匹配法。w 求 0 形状的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响运用初始值确定积分常数各种响运用初始值确定积分常数 在经典法求全呼应的积分常数时，用的是在经典法求全呼应的积分常数时，用的是 0 0 形状初始值。形状初始值。 在求系统零输入呼应时，用的是在求系统零输入呼应时，用的是 0 0 形状初始值。形状初始值。 在求系统零形状呼应时，用的是在求系统零形状呼应时，用的是 0 0 形状初始值，这时的零形形状初始值，这时的零形状是指状是指 0 0 形状为零。

6、形状为零。2、冲激函数匹配法、冲激函数匹配法 目的：目的： 用来求解初始值，求用来求解初始值，求0和和0时辰值时辰值 的关系。的关系。 运用条件：假设微分方程右边包含运用条件：假设微分方程右边包含t及其各阶导及其各阶导 数，那么数，那么0时辰的值不一定等于时辰的值不一定等于0 时辰的值。时辰的值。 原理：原理： 利用利用t0时辰方程两边的时辰方程两边的t及各阶导数及各阶导数 应该平衡的原理来求解应该平衡的原理来求解0)(.)()()(.)()()1(210)(10tbtbtbbtyatyatyammnnmn，那么设0)(.)()(.)(.)()()(.)()()1()(12)2()1(01)1

7、()(tytyCtyCtCtCtyCtCtCtymnmmnmmnmmnmn，那么设1)1(12)2()1(01)1()(.)()(.)(.)()()(.)()(nnmmmmnmmnCtCtyCtCtCtyCtCtCty将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0 ;对y(t)及各阶导数求0，0的积分. 例例2.1.2：描画某系统的微分方程为：描画某系统的微分方程为y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，知，知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。列式得： 0)()()()( tyatybtaty20)0()0(22

8、)0()0(yyyy0)0()0(2)0()0(yyyy从0-到0+积分得： 0)(2)(0)(2)( tytytty得： tnttxneCeCeCty.)(2121tnnttxnetCteCeCty121.)(21)0()0()()(ixixyy)0()(ify 几种典型自在项函数相应的特解几种典型自在项函数相应的特解 20)0()0(22)0()0(yyyy022ttheCeCty221)(Btyp)(3)(221tteCeCty0121CC3)(2 tety瞬态分量瞬态分量稳态分量稳态分量ttxeCeCty221)(4221CC0,42)(2teetyttx00)0()0(22)0()0

9、(ffffyyyy4121CCtftffheCeCty221)(3)(221tftffeCeCty034)(2teetyttf，自在呼应强迫呼应自在呼应强迫呼应(Natural+forced)(Natural+forced)零输入呼应零形状呼应零输入呼应零形状呼应(Zero-input+Zero-state)(Zero-input+Zero-state)暂态呼应暂态呼应+ +稳态呼应稳态呼应(Transient+Steady-state)(Transient+Steady-state)四系统呼应划分四系统呼应划分相互关系 零输入呼应是自在呼应的一部分，零形状呼应有自在呼应的一部分和强迫呼应构成

10、 。0)34()42()()(3)(222teeeetytyetyttttfxt，自在呼应自在呼应强迫呼应强迫呼应零输入呼应零输入呼应零形状呼应零形状呼应H t th一冲激呼应一冲激呼应 1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号(t) (t) 作用下产生的零形状呼作用下产生的零形状呼应，称为单位冲激呼应，简称冲激呼应，普通用应，称为单位冲激呼应，简称冲激呼应，普通用h(t)h(t)表表示。示。2.2 冲激呼应和阶跃呼应 例2.2.1 描画某系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激呼应h(t)。解：根据h(t)的定义有h(t) + 5h(t) + 6h(t)

11、 = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h(t) =a (t)+b h(t) =a h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1 微分方程的特征根为故系统的冲激呼应为代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以3221)()()(3221tueCeCthtt)()()(32tueethtt对t0时，h(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激呼应为齐次解。例2.2.2 描画某系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)= f(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其冲

12、激呼应h(t)。解：根据h(t)的定义有h(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t)+ 2(t)+3(t) (1)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0+)和h(0-)，根据冲激函数匹配法得： h(t) = a(t) +b (t) +c(t)+ d h(t) = a(t) +b(t) + c h(t) = a(t) + b带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42故 h(0+) = 3， h(0+) =12对t0时，有 h(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0微分方程的特征根为故系统的冲激呼应为3221)()()(3221tueCeCthtt所以

13、: h(t) = (t) + b h(t) = (t) - 3(t) + c h(t) = (t) - 3 (t) + 12(t)+ d代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得C1=3，C2= 6, 所以结合式h(t) = (t) + b得:)()63()(32tueethtt)()63()()(32tueetthtt 系统的输入 e(t)=u(t) ，其呼应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激呼应与阶跃呼应关系求阶跃呼应。 二阶跃呼应1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零形状

14、呼应，称为单位阶跃呼应，简称阶跃呼应，普通用g(t)表示。H tu tg tt0,对因果系统：对因果系统：积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的2阶跃呼应与冲激呼应的关系线性时不变系统满足微、积分特性 ttttud)()( ttthtgd)()(解：解：s s由由1 1转向转向2 2后，后，列写回路方程：列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t)R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L i vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2L(t)+iL(t)R2列写结点方程：列写结点方程： i(t)=Cv i(t)=Cvc(t)+iL(t)c

15、(t)+iL(t) 例例2.2.42.2.4电路如下图，求电流电路如下图，求电流i(t)i(t)对鼓励对鼓励e(t)=u(t)e(t)=u(t)的阶跃的阶跃呼应，呼应，t t0 0时，时，s s由由1 1转向转向2 2。整理得到：i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t)阶跃呼应满足： )(4)(6)()(10)(7)( tutttgtgtgg(0+)=g(0-)=0 ,得0,)(5221tBeAeAtgtt特解B代入得： 10B4，B2/5利用冲激函数匹配法求解初始值，所以： a=1,b=-1,c=1 得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=

16、-1得到：A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解得： A1=2/3, A2=-1/15得： )(5/2)15/1 ()3/2()(52tueetgtt2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解1、恣意信号的分解 dtfktkftftfnka)()()()()()(10) 1()()()()(10ktuktukftftfnka )()(dthftyf2、恣意信号作用下的零形状呼应3、卷积积分1定义：知定义在区间 ，上的两个函数f1(t)和f2(t)，那么定义积分 21)()(dtfftf tftftf21)( )(*)()()( thtfdthftyf记为 ：恣意信号的零形状

17、呼应即为：2卷积积分的求解例2.3.1求卷积：)()( tutuetdtuuetutuet)()()()( - )0( 10tet)( 11 tuet解：det 0 )(2 )( 16)()(*)()(dtueedthfthtftytf 例例2.3.22.3.2：解：解：)(),() 16()(),( ,)(2tytuethtetfftt求ttfdeety )(2 16)(ttttteeee322b卷积积分的图解：卷积过程可分解为四步：1换元： t换为得f1()， f2()2反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)3乘积： f1() f2(t-)4积分： 从到对乘积项积分。 例例

18、2.3.3 f (t) ,h(t) 2.3.3 f (t) ,h(t) 如下图，求如下图，求yf(t)= h(t) yf(t)= h(t) * * f f (t) (t) 。 解： 例例2.3.42.3.4：f1(t)f1(t)、f2(t)f2(t)如下图，知如下图，知f(t) = f2(t)f(t) = f2(t)* * f1(t)f1(t)，求，求f(2) . f(2) . 解： 1221 )2()()()()2(dfftftfy三、卷积积分的性质三、卷积积分的性质1 1、卷积的代数性质、卷积的代数性质交换律：交换律：1(t)1(t)2(t)=2(t)=2(t)2(t)1(t)1(t)分配

19、律：分配律：1(t)1(t) 2(t)+2(t)+3(t)=3(t)=1(t)1(t)2(t)+2(t)+1(t)1(t)3 3(t)(t)结合律：结合律： 1(t)1(t)2(t)2(t)3(t)=3(t)=1(t)1(t) 2(t)2(t)3(t) 3(t) 2 2、主要性质：、主要性质：w 微分性质：)()()()()(2121tftftftftf)()()()()(2) 1(1) 1(21) 1(tftftftftfw 积分性质：)()()()()()1(212)1(1tftftftftfw 微积分性质：注：运用(1),(3) 性质的条件是)()(11tfdft必需成立0)()(lim

20、11ftft即必需有； 否那么不能运用。)()()()()()()()()()()1(2121)(2)(1)(21tftftftftftftftftftfjiji特例：若dftutft)()()(f(t)f(t)与冲激函数的卷积：与冲激函数的卷积： (t)(t)(t)=f(t) (t)=f(t) (t)(t)(t-t0)= (t-t0)= (t-t0) (t-t0) (t-t1)(t-t1)(t-t2)= (t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1-t2) (t-t1)(t-t1)(t-t2)= (t-t2)= (t-t1- (t-t1-t2)t2)f(t)f(t)与冲激偶函数的卷积：与冲

21、激偶函数的卷积： (t)(t)(t)= f(t)(t)= f(t)(t)= (t)= (t) (t) (t)(t)(t)=(t)=(t)(t)dfdtfttutfttt)()()()(000时移性质时移性质假设假设1(t)1(t)2(t)=2(t)=(t)(t)，那么有那么有1(t-t1)1(t-t1)2(t-t2)=2(t-t2)=(t-t1-t2)(t-t1-t2) 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例阐明。 例例 2.3.6 2.3.6 计算以下卷积积分：计算以下卷积积分： )2( ) 1()2()2() 1() 1 (tttututu解解 ：(1)

22、 (1) 先计算先计算u(t)u(t)* *u(t)u(t)。由于。由于u(-)=0u(-)=0，故可运用卷积运算的，故可运用卷积运算的微积分性质求得微积分性质求得 根据时移特性得根据时移特性得)()()(ttututu) 1() 1()2() 1(tuttutu (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷积计算式表示为 )()( )*()()(ttttutttu)3()3( )2() 1(tttttu3)()()()()2() 1() 1()2() 1()2()1() 1() 1()2() 1(tttttuttuttutttuttuttutttu)( )( *)( )( )(tttuttu 例例2.3.72.3.7： 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 )(*)(),()(, 1)(2121tftftuetftft求1)()(*)(0012ededuetftf留意：套用显然是错误的。0)(*0