简易逻辑（课堂PPT）

1、第三节 简易逻辑三年三年1010考考 高考指数高考指数: :1.1.理解逻辑联结词理解逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”的含义的含义. .2.2.理解四种命题及其相互关系理解四种命题及其相互关系. .3.3.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. .1.1.四种命题及命题的真假四种命题及命题的真假, ,充要条件的判断是考查重点充要条件的判断是考查重点. .2.2.常以其他数学知识为载体考查常以其他数学知识为载体考查. .3.3.多以选择题、填空题的形式出现多以选择题、填空题的形式出现. .1.1.命题的有关概念命题的有关概念名称名称定义定义命题命题可

2、以判断真假的语句可以判断真假的语句 真命题真命题 判断为真的语句判断为真的语句 假命题假命题 判断为假的语句判断为假的语句 【即时应用】【即时应用】(1)(1)判断下列命题的真假判断下列命题的真假.(.(请在括号内填请在括号内填“真真”或或“假假”) )若若 则则x=y( )x=y( )若若x x2 2=1,=1,则则x=1( )x=1( )若若x=y,x=y,则则 ( )( )若若x xy,y,则则x x2 2y y2 2( )( )11,xyxy(2)(2)对于任意实数对于任意实数a,b,c,a,b,c,判断下列命题的真假判断下列命题的真假.(.(请在括号内填请在括号内填“真真”或或“假假

3、”) )若若a ab,c0,b,c0,则则acacbc( )bc( )若若a ab,b,则则acac2 2bcbc2 2( )( )若若acac2 2bcbc2 2, ,则则a ab( )b( )若若acac2 2bcbc2 2, ,则则ab( )ab( )若若ab,ab,则则acac2 2bcbc2 2( )( )【解析】【解析】(1)(1)由由 得得x=y,x=y,故命题故命题为真为真; ;由由x x2 2=1=1得得x=x=1,1,故故命题命题为假为假; ;由由x=yx=y， 不一定有意义，故命题不一定有意义，故命题为假为假;x;xy y0 0时，得不到时，得不到x x2 2y y2 2

4、, ,故命题故命题为假为假. .(2)(2)当当c c0 0时，时，不正确；不正确；当当c=0c=0时，时，不正确不正确; ;acac2 2bcbc2 2a ab,b,正确正确.ab,c.ab,c2 200acac2 2bcbc2 2, ,正确正确. .答案：答案：(1)(1)真真 假假 假假 假假(2)(2)假假 假假 真真 假假 真真11xyx,y2.2.逻辑联结词逻辑联结词(1)(1)常用的逻辑联结词有常用的逻辑联结词有_、_、_；(2)(2)简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由_与与_构成的命题构成的命题. .复合命题分为三类：复合命

5、题分为三类：_，_，_._.“或或”“且且”“非非”简单命题简单命题逻辑联结词逻辑联结词p p或或q qp p且且q q非非p p(1)(1)思考：如何判断复合命题的真假呢？思考：如何判断复合命题的真假呢？提示提示: :复合命题的真假可通过真值表来加以判断复合命题的真假可通过真值表来加以判断p pq q非非p pp p或或q qp p且且q q真真真真假假真真真真真真假假假假真真假假假假真真真真真真假假假假假假真真假假假假(2)(2)对于命题对于命题p p和和q,q,若若p p且且q q为真命题为真命题, ,则下列四个命题则下列四个命题: :p p或或 q q是真命题是真命题; ;p p且且

6、q q是真命题是真命题; ; p p且且 q q是假命题是假命题; ; p p或或q q是假命题是假命题, ,其中真命题是其中真命题是_(_(填上序号即可填上序号即可) )【解析】【解析】pp且且q q为真命题为真命题,p,p、q q都是真命题都是真命题, p, p和和 q q都是假都是假命题命题.命题命题、均为真命题均为真命题, ,而命题而命题、均为假命题均为假命题. .答案：答案：3.3.四种命题及关系四种命题及关系(1)(1)四种命题四种命题原命题：若原命题：若p p则则q q； 逆命题：逆命题：_；否命题：否命题：_； 逆否命题：逆否命题：_._.(2)(2)四种命题之间的相互关系四种

7、命题之间的相互关系若若q q则则p p若若 p p则则 q q若若 q q则则 p p原命题原命题若若p p则则q q互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否否命题否命题若若p p则则q q逆否命题逆否命题若若q q则则p p逆命题逆命题若若q q则则p p【即时应用】【即时应用】(1)(1)已知命题已知命题“对任意对任意a,bR,a,bR,如果如果abab0,0,则则a a0”,0”,则它的否则它的否命题是命题是_._.(2)(2)命题命题“若若x,yx,y都是偶数都是偶数, ,则则x+yx+y也是偶数也是偶数”的逆否命题是的逆否命题是_._.(3)(3)有下列命

8、题有下列命题: :“若若xy=1,xy=1,则则x,yx,y互为倒数互为倒数”的逆命题的逆命题“相似三角形的周长相等相似三角形的周长相等”的否命题的否命题“若若b-1,b-1,则则x x2 2-2bx+b-2bx+b2 2+b=0+b=0有实根有实根”的逆否命题的逆否命题“若若AB=B,AB=B,则则A AB”B”的逆否命题的逆否命题其中真命题的序号是其中真命题的序号是_._.【解析】【解析】(1)(1)任意任意a,bRa,bR是大前提是大前提, ,在否命题中也不变在否命题中也不变, ,又因为又因为abab0,a0,a0 0的否定分别为的否定分别为ab0,a0,ab0,a0,故原命题的否命题故

9、原命题的否命题是是:“:“对任意对任意a,bR,a,bR,如果如果ab0,ab0,则则a0”.a0”.(2)“(2)“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”, ,故其逆否命题是故其逆否命题是:“:“若若x+yx+y不不是偶数是偶数, ,则则x x与与y y不都是偶数不都是偶数”. .(3)(3)，逆命题为，逆命题为: :若若x,yx,y互为倒数互为倒数, ,则则xy=1,xy=1,是真命题是真命题; ;，否命题，否命题: :不相似的三角形的周长不相等不相似的三角形的周长不相等, ,是假命题是假命题; ;对对, ,若方程若方程x x2 2-2bx+b-2bx+b2 2+b=0+b=0有实根有

10、实根, ,则则=4b=4b2 2-4(b-4(b2 2+b)0,b0,+b)0,b0,故命题故命题“若若b-1,b-1,则则x x2 2-2bx+b-2bx+b2 2+b=0+b=0有实根有实根”是真命题是真命题, ,其逆否命其逆否命题也为真命题题也为真命题. .对对,若若AB=B,AB=B,则则A AB,B,命题命题“若若AB=B,AB=B,则则A AB”B”是假命题是假命题, ,其逆否命题也是假命题其逆否命题也是假命题. .答案：答案：(1)(1)对任意对任意a,bR,a,bR,如果如果ab0,ab0,则则a0a0(2)(2)若若x+yx+y不是偶数不是偶数, ,则则x x与与y y不都是

11、偶数不都是偶数 (3)(3)4.4.充要条件充要条件定义定义 从集合角度从集合角度 若若p pq,q,则则p p是是q q的的_若若p p是是q q的充分条件的充分条件, ,则则_若若q qp,p,则则p p是是q q的的_若若p p是是q q的必要条件的必要条件, ,则则_若若p pq q且且q qp,p,则则p p是是q q的的_若若p p是是q q的充分必要条件的充分必要条件, ,则则_充分条件充分条件pq必要条件必要条件qp充分必要条件充分必要条件pq【即时应用】【即时应用】(1)“|x-1|(1)“|x-1|2”2”成立是成立是“x(x-3)x(x-3)0”0”成立的成立的_条件条件

12、. .(2)(2)若集合若集合A=x|2A=x|2x x3,B=x|(x+2)(x-a)3,B=x|(x+2)(x-a)0,0,则则“a=1”a=1”是是“AB=AB=”的的_条件条件. .(3)(3)已知已知p p是是r r的充分条件而不是必要条件的充分条件而不是必要条件,q,q是是r r的充分条件的充分条件, ,s s是是r r的必要条件的必要条件,q,q是是s s的必要条件的必要条件, ,现有下列命题现有下列命题: :s s是是q q的充要条件的充要条件; ;p p是是q q的充分条件而不是必要条件的充分条件而不是必要条件; ;r r是是q q的必要条件而不是充分条件的必要条件而不是充分

13、条件; ; p p是是 s s的必要条件而不是充分条件的必要条件而不是充分条件; ;r r是是s s的充分条件而不是必要条件的充分条件而不是必要条件. .则正确命题的序号是则正确命题的序号是_._.(4)(4)设设nNnN+ +, ,一元二次方程一元二次方程x x2 2-4x+n=0-4x+n=0有正数根的充要条件是有正数根的充要条件是n n= =_. .【解析】【解析】(1)(1)由由|x-1|x-1|2 2得得-1-1x x3 3，由，由x(x-3)x(x-3)0 0得得0 0 x x3,3,所所以以“|x-1|x-1|2”2”成立是成立是“x(x-3)x(x-3)0”0”成立的必要不充分

14、条件成立的必要不充分条件. .(2)(2)当当a=1a=1时时,B=x|-2,B=x|-2x x1,1,满足满足AB=AB=; ;反之反之, ,若若AB=AB=, ,只只需需a2a2即可即可, ,故故“a=1”a=1”是是“AB=AB=”的充分不必要条件的充分不必要条件. .(3)(3)由题意知由题意知, ,ssq,q,正确正确; ;p pr rs sq,q,ppq,q,但但q p,q p,正确正确; ;同理判断同理判断不正确不正确, ,正确正确. .(4)(4)由于由于x x2 2-4x+n=(x-2)-4x+n=(x-2)2 2+n-4,+n-4,对称轴对称轴x=2,x=2,所以，只要判别

15、式所以，只要判别式00，方程，方程x x2 2-4x+n=0-4x+n=0就有正根就有正根. .因此，所求的充要条件是因此，所求的充要条件是16-16-4n0,4n0,即即n4.n4.又由于又由于nNnN+ +, ,所以所以n=1,2,3,4n=1,2,3,4答案：答案：(1)(1)必要不充分必要不充分 (2)(2)充分不必要充分不必要(3)(3) (4)1,2,3,4 (4)1,2,3,45.5.反证法反证法从命题结论的反面出发从命题结论的反面出发( (假设假设) )，引出，引出( (与已知、公理、定理与已知、公理、定理)矛盾矛盾( (归谬归谬) )，从而否定假设，证明原命题，从而否定假设，

16、证明原命题( (结论结论) )成立，这样的成立，这样的证明方法叫做反证法证明方法叫做反证法. .【即时应用】【即时应用】(1)(1)用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角三角形的内角至多有一个钝角”时，时，判断下列假设是否正确判断下列假设是否正确( (请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”).”).假设至少有一个钝角假设至少有一个钝角( )( )假设一个钝角也没有假设一个钝角也没有( )( )假设至少有两个钝角假设至少有两个钝角( )( )假设一个钝角也没有或至少有两个钝角假设一个钝角也没有或至少有两个钝角( )( )(2)(2)设设a,ba,b是两个实数是两个实数,

17、,给出下列给出下列5 5个条件，判断下列说法是否能个条件，判断下列说法是否能推出：推出：“a,ba,b中至少有一个大于中至少有一个大于1”(1”(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”).).a+ba+b1( )1( )a+b=2( )a+b=2( )a+ba+b2( )2( )a a2 2+b+b2 22( )2( )abab1( )1( )【解析】【解析】(1)(1)三角形的内角分类有钝角三角形的内角分类有钝角0 0个、个、1 1个、个、2 2个、个、3 3个四个四种情况，种情况，“至多一个钝角至多一个钝角”包含了包含了0 0个和个和1 1个两种，故反设应恰个两种，故反设应恰好包含好

18、包含2 2个和个和3 3个两种个两种. .中中“至少有一个钝角至少有一个钝角”包含了包含了1 1个、个、2 2个、个、3 3个，个，中中“一个也没有一个也没有”包含了包含了0 0个，个，中中“一个也没有一个也没有或者至少有两个或者至少有两个”包含了包含了0 0个、个、2 2个、个、3 3个，均不符合题意个，均不符合题意. .中中“至少有两个至少有两个”恰好包含了恰好包含了2 2个和个和3 3个，故正确个，故正确. .(2)(2)若若a= b= a= b= 则则a+ba+b1,1,但但a a1,b1,b1,1,故故推不出；推不出；1,22,3若若a=b=1,a=b=1,则则a+b=2,a+b=2

19、,故故推不出；推不出；若若a=-2,b=-3a=-2,b=-3，则，则a a2 2+b+b2 22,2,故故推不出推不出; ;若若a=-2,b=-3a=-2,b=-3，则，则abab1,1,故故推不出推不出; ;对于对于, ,即即a+ba+b2 2，则，则a,ba,b中至少有一个大于中至少有一个大于1 1，反证法：假设反证法：假设a1a1且且b1,b1,则则a+b2a+b2与与a+ba+b2 2矛盾矛盾, ,因此假设不成立，即因此假设不成立，即a,ba,b中至少有一个大于中至少有一个大于1.1.答案：答案：(1)(1) (2)(2)否否 否否 是是 否否 否否 含有逻辑联结词命题的真假判断含有

20、逻辑联结词命题的真假判断【方法点睛】【方法点睛】1.1.判断复合命题判断复合命题“p p或或q”q”、“p p且且q”q”、“ p”p”真假的步骤真假的步骤(1)(1)确定复合命题的构成形式确定复合命题的构成形式; ;(2)(2)判断其中简单命题判断其中简单命题p p、q q的真假的真假; ;(3)(3)根据真值表确定根据真值表确定“p p或或q”q”、“p p且且q”q”、“ p”p”形式的复合形式的复合命题的真假命题的真假. .2.2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假判断含有逻辑联结词的复合命题的真假, ,可利用真值表转化可利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断为一些简单命题的真假进

21、行判断. .已知命题已知命题p p、q,q,只要有一个命只要有一个命题为假题为假,p,p且且q q就为假就为假; ;只要有一个为真只要有一个为真,p,p或或q q就为真就为真; p; p与与p p真假真假相反相反. . 【例【例1 1】(2012(2012金华模拟金华模拟) )指出下列命题的真假指出下列命题的真假: :(1)(1)命题命题“不等式不等式|x+2|0|x+2|0没有实数解没有实数解”; ;(2)(2)命题命题“-1-1是偶数或奇数是偶数或奇数”; ;(3)(3)命题命题“ 属于集合属于集合Q,Q,也属于集合也属于集合R”;R”;(4)(4)命题命题“A A AB”.AB”.【解题

22、指南】【解题指南】先判断命题的形式先判断命题的形式, ,再由真值表判断真假再由真值表判断真假. .2【规范解答】【规范解答】(1)(1)此命题是此命题是“ p”p”的形式的形式, ,其中其中p:“p:“不等式不等式|x+2|0|x+2|0有实数解有实数解”, ,因为因为x=-2x=-2是该不等式的一个解是该不等式的一个解, ,所以所以p p是真命题是真命题, ,即即 p p是假命题是假命题, ,所以此命题是假命题所以此命题是假命题. .(2)(2)此命题是此命题是“p p或或q”q”的形式的形式, ,其中其中p:“-1p:“-1是偶数是偶数”,q:“-1,q:“-1是奇数是奇数”, ,因为因为

23、p p为假命题为假命题,q,q为真命题为真命题, ,所以所以p p或或q q是真命题是真命题, ,故故此命题是真命题此命题是真命题. .(3)(3)此命题是此命题是“p p且且q”q”的形式的形式, ,其中其中p:“ p:“ 属于集合属于集合Q”,Q”,q:“ q:“ 属于集合属于集合R”,R”,因为因为p p为假命题为假命题,q,q为真命题为真命题, ,所以所以p p且且q q是假命题是假命题, ,故此命题是假命题故此命题是假命题. .(4)(4)此命题是此命题是“ p”p”的形式的形式, ,其中其中p:“Ap:“AAB”,AB”,因为因为p p为真命题为真命题, ,所以所以 p p为假命题

24、为假命题, ,故此命题是假命题故此命题是假命题. .22【反思【反思感悟】感悟】1.1.判断一个命题是简单命题还是复合命题的方判断一个命题是简单命题还是复合命题的方法：判断一个命题是简单命题还是复合命题时法：判断一个命题是简单命题还是复合命题时, ,不能只从字面不能只从字面上看有没有上看有没有“或或”、“且且”、“非非”, ,如如“等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”, ,此命题字面此命题字面上无上无“且且”, ,但可改成但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线

25、的中线又是底边上的高线”, ,所以它是复合命题所以它是复合命题. .又例如又例如“5 5的的倍数的末位数字不是倍数的末位数字不是0 0就是就是5”,5”,此命题字面上无此命题字面上无“或或”, ,但它也但它也是复合命题是复合命题. .2.2.判断命题的真假判断命题的真假, ,即是看能否从命题中的已知条件得出命题即是看能否从命题中的已知条件得出命题中的结论中的结论. .有时需要将命题分解为简单命题来帮助思考有时需要将命题分解为简单命题来帮助思考, ,也可以也可以利用举反例的方法进行判断利用举反例的方法进行判断. .【变式训练】【变式训练】1.1.命题命题p:p:对任意对任意xx0,+),(log

26、0,+),(log3 32)2)x x11成立成立, ,则则( )( )(A)p(A)p是假命题是假命题, p:, p:存在存在x x0 00,+),0,+),满足满足 11(B)p(B)p是假命题是假命题, p:, p:对任意对任意xx0,+),(log0,+),(log3 32)2)x x11成立成立(C)p(C)p是真命题是真命题, p:, p:存在存在x x0 00,+),0,+),满足满足 1 1(D)p(D)p是真命题是真命题, p:, p:对任意对任意xx0,+),(log0,+),(log3 32)2)x x11成立成立0 x3(log 2)0 x3(log 2)【解析】【解析

27、】选选C.0C.0loglog3 32 21,1,当当x0 x0时时,(log,(log3 32)2)x x1,1,命题命题p:p:对任意对任意xx0,+),0,+),(log(log3 32)2)x x11成立是真命题成立是真命题, , p: p:存在存在x x0 00,+),0,+),满足满足 1.1.0 x3log 22.2.已知命题已知命题p:p:方程方程x x2 2-mx+1=0-mx+1=0有两个不等的正实根有两个不等的正实根; ;命题命题q:q:方程方程4x4x2 2+4(m-2)x+m+4(m-2)x+m2 2=0=0无实根无实根. .若若“p p或或q”q”为真为真,“p,“

28、p且且q”q”为假为假, ,则下则下列结论列结论: :p p、q q都为真都为真; ;p p、q q都为假都为假; ;p p、q q一真一假一真一假; ;p p、q q中至少有一个为真中至少有一个为真; ;p p、q q中至少有一个为假中至少有一个为假. .其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_,m_,m的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】命题命题p p中方程中方程x x2 2-mx+1=0-mx+1=0有两个不等的正实根有两个不等的正实根, ,当且仅当且仅 =m=m2 2-4-40 0当当 x x1 1+x+x2 2=m=m0,0,即即m m2 ;2 ;命题命题q q中方程中

29、方程4x4x2 2+4(m-2)x+m+4(m-2)x+m2 2=0=0 x x1 1x x2 2=1=10 0无实根无实根, ,当且仅当当且仅当=16=16(m-2)(m-2)2 2-m-m2 20,0,即即m m1.“p1.“p或或q”q”为为真当且仅当真当且仅当p p、q q中至少一个为真中至少一个为真,“p,“p且且q”q”为假当且仅当为假当且仅当p p、q q中至少一个为假中至少一个为假, ,故结论故结论都错误，只有结论都错误，只有结论正确正确, ,若若 m m2 m22 m2 m1 m m1 m1 1解得解得1 1m2,m2,即即m m的取值范围为的取值范围为(1,2(1,2. .

30、答案：答案： (1,2 (1,2p p真真q q假，则假，则 , ,此时无解；若此时无解；若p p假假q q真，则真，则 , ,【变式备选】【变式备选】1.1.给出命题给出命题p:33,q:p:33,q:函数函数f(x)= f(x)= 在在R R上图象是连续的上图象是连续的, ,则在下列三个复合命题则在下列三个复合命题:“p:“p且且q”,“pq”,“p或或q”,“q”,“非非p”p”中中, ,真命题的个数为真命题的个数为( )( )(A)0(A)0个个(B)1(B)1个个(C)2(C)2个个(D)3(D)3个个【解析】【解析】选选B.B.要判断三个复合命题的真假要判断三个复合命题的真假, ,

31、先必须判断先必须判断p p与与q q的的真假真假, ,再结合复合命题的真值表作出判断再结合复合命题的真值表作出判断. .p:33p:33为真命题为真命题, ,而而q:f(x)= q:f(x)= 在在R R上图象是连续的，上图象是连续的，是假命题是假命题, ,则则p p或或q q为真为真,p,p且且q q为假为假, p, p为假命题为假命题. .1 x0 1 x01 x0 1 x02.2.已知命题已知命题p p1 1: :函数函数y=2y=2x x-2-2-x-x在在R R上为增函数上为增函数,p,p2 2: :函数函数y=2y=2x x+2+2-x-x在在R R上为减函数上为减函数, ,则在命

32、题则在命题q q1 1:p:p1 1或或p p2 2,q,q2 2:p:p1 1且且p p2 2,q,q3 3:( p:( p1 1) )或或p p2 2和和q q4 4:p:p1 1且且( p( p2 2) )中中, ,真命题是真命题是( )( )(A)q(A)q1 1,q,q3 3(B)q(B)q2 2,q,q3 3(C)q(C)q1 1,q,q4 4(D)q(D)q2 2,q,q4 4【解析解析】选选C.C.因为因为y=2y=2x x为增函数为增函数,y=2,y=2-x-x为减函数为减函数, ,易知易知p p1 1: :函数函数y=2y=2x x-2-2-x-x在在R R上为增函数是真命

33、题上为增函数是真命题,p,p2 2: :函数函数y=2y=2x x+2+2-x-x在在R R上为减函上为减函数为假命题数为假命题. .故故q q1 1,q,q4 4为真命题为真命题. . 四种命题以及它们之间的关系四种命题以及它们之间的关系【方法点睛】【方法点睛】1.1.判断四种命题之间的关系判断四种命题之间的关系在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的系的相对性

34、，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题逆命题”、“否命题否命题”、“逆否命题逆否命题”；要判定命题为假命；要判定命题为假命题时只需举反例题时只需举反例. .2.2.正确区别正确区别“命题的否定命题的否定”与与“否命题否命题”“命题的否定命题的否定”与与“否命题否命题”是两个完全不同的概念是两个完全不同的概念.“.“否命否命题题”是对原命题是对原命题“若若p,p,则则q”q”的条件和结论分别加以否定而得的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定命题的否定”只只是否定命题是否定命题p p的结论的结论. .具体地

35、说，如果原命题是具体地说，如果原命题是“若若p p，则，则q”,q”,那么原命题的否定是那么原命题的否定是“若若p p，则，则 q”q”，原命题的否命题是，原命题的否命题是“若若 p,p,则则 q”.q”.【提醒】【提醒】命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系. . 【例【例2 2】(1)(1)命题命题“若若C=90C=90，则，则是直角三角形是直角三角形”与与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数它的逆命题、否命题、逆否命题这四

36、个命题中，假命题的个数是是( )( )(A)0(A)0(B)1(B)1(C)2(C)2(D)3(D)3(2)(2)判断命题判断命题“已知已知a,xa,x为实数，如果关于为实数，如果关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集非空，则的解集非空，则a1”a1”的逆否命题的真假的逆否命题的真假. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)先判断原命题的真假，再根据命题之间的关先判断原命题的真假，再根据命题之间的关系判断逆否命题的真假系判断逆否命题的真假. .然后写出逆命题并判断真假，最后判然后写出逆命题并判断真假，最后判断否命题的真假断否命题的

37、真假. .(2)(2)解决本题应先写出逆否命题，要判断其真假，可根据定义解决本题应先写出逆否命题，要判断其真假，可根据定义直接判断；也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解直接判断；也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.原命题为真命题，则逆否命题也为真命原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题题，逆命题“若若ABCABC是直角三角形，则是直角三角形，则C=90C=90”，是假命，是假命题，也可能是题，也可能是B=90B=90或或A=90A=90，则否命题也是假命题，则否命题也是假命题. .(2)(2)方法一：直接由原命题写出其逆否命题

38、，然后判断逆否命方法一：直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假题的真假. .原命题：已知原命题：已知a,xa,x为实数，如果关于为实数，如果关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集非空，则的解集非空，则a1.a1.逆否命题：已知逆否命题：已知a,xa,x为实数，如果为实数，如果a a1 1，则关于，则关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为空集的解集为空集. .判断如下：判断如下：抛物线抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+

39、2+2开口向上，开口向上，判别式判别式=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)=4a-7.+2)=4a-7.aa1,4a-71,4a-70,0,即抛物线即抛物线y=xy=x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+2+2与与x x轴无交点轴无交点. .关于关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为空集的解集为空集. .故逆否命故逆否命题为真题为真. .方法二：根据命题之间的关系，原命题与其逆否命题同真同假，方法二：根据命题之间的关系，原命题与其逆否命题同真同假，只需判断原命题的真假即可只需判断原命题

40、的真假即可. .a,xa,x为实数，且关于为实数，且关于x x的不等式的不等式x x2 2+(2a+1)x+a+(2a+1)x+a2 2+20+20的解集为的解集为非空，非空，=(2a+1)=(2a+1)2 2-4(a-4(a2 2+2)0,+2)0,即即4a-70,4a-70,解得解得aaa 1,a 1,原命题为真命题原命题为真命题. .又因为原命题与其逆否命题同真同假，所以逆否命题为真又因为原命题与其逆否命题同真同假，所以逆否命题为真. .7.474【反思【反思感悟】感悟】1.1.对四种命题的结构不明确是导致判断错误的对四种命题的结构不明确是导致判断错误的主要原因之一主要原因之一. .可以

41、根据可以根据“逆命题逆命题”、“否命题否命题”、“逆否命逆否命题题”和和“命题的否定命题的否定”的概念逐一得出命题后，再进行真假判的概念逐一得出命题后，再进行真假判断断. .也可以利用逆否命题来判断原命题的真假，确定一个命题也可以利用逆否命题来判断原命题的真假，确定一个命题是假命题时可以灵活运用特殊值方法是假命题时可以灵活运用特殊值方法. .2.2.一个命题的真假与其他三个命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假关系: :(1)(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的逆命题不一定为真. .(2)(2)原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真. .(

42、3)(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真. .(4)(4)逆命题与否命题同真同假逆命题与否命题同真同假. .【变式训练】【变式训练】(2012(2012宿州模拟宿州模拟) )下列命题：下列命题：“若若a a2 2b b2 2，则，则a ab”b”的否命题；的否命题；“全等三角形面积相全等三角形面积相等等”的逆命题；的逆命题；“若若a a1 1，则，则axax2 2-2ax+a+3-2ax+a+30 0的解集为的解集为R”R”的逆否命题；的逆否命题；“若若 x(x0)x(x0)为有理数，则为有理数，则x x为无理数为无理数”的的逆否命题逆否命题. .其中正确的命

43、题是其中正确的命题是( )( )(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)3【解析】【解析】选选A.A.对于对于，否命题为，否命题为“若若a a2 2bb2 2，则，则ab”ab”，为假，为假命题；对于命题；对于，逆命题为，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于是假命题；对于，当，当a a1 1时，时，=-12a=-12a0,0,原命题正确，从而其逆否命题正确，故原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确；对于正确；对于，原命，原命题正确，从而其逆否命题正确，故题正确，从而其逆否命题正确，故正确，故选正确，故选A.A.【变式备选】【变式备选】1.

44、(20121.(2012威海模拟威海模拟) )下列命题：下列命题：“若若ab=0,ab=0,则则a=0”a=0”的否命题；的否命题；“正三角形的三个角均为正三角形的三个角均为6060”的逆否命题的逆否命题. .其中真命题的序号是其中真命题的序号是_(_(把所有真命题的序号填在横线上把所有真命题的序号填在横线上).).【解析】【解析】“若若ab=0,ab=0,则则a=0”a=0”的否命题为的否命题为“若若ab0,ab0,则则a0”,a0”,而由而由ab0ab0可得可得a,ba,b都不为零，故都不为零，故a0a0，所以该命题是真命题，所以该命题是真命题; ;由于原命题由于原命题“正三角形的三个角均

45、为正三角形的三个角均为6060”是一个真命题，是一个真命题，故其逆否命题也是真命题故其逆否命题也是真命题. .故填故填. .答案：答案：2.2.若若a a、b b、cR,cR,写出命题写出命题“若若acac0,0,则则axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不有两个不相等的实数根相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假命题的真假. .【解析】【解析】逆命题逆命题“若若axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a、b b、cR)cR)有两个不相等的有两个不相等的实数根，则实数根，则acac0”.0”.是假命题，如当是假

46、命题，如当a=1,b=-3,c=2a=1,b=-3,c=2时，方程时，方程x x2 2-3x+2=0-3x+2=0有两个不等实根有两个不等实根x x1 1=1,x=1,x2 2=2,=2,但但ac=2ac=20.0.否命题否命题“若若ac0,ac0,则方程则方程axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a、b b、cR)cR)没有两个不没有两个不相等的实数根相等的实数根”是假命题是假命题. .这是因为它和逆命题互为逆否命题，这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题而逆命题是假命题. .逆否命题逆否命题“若若axax2 2+bx+c=0(a+bx+c=0(a、b b、cR)cR)没

47、有两个不相等的实数没有两个不相等的实数根，则根，则ac0”ac0”是真命题是真命题. .因为原命题是真命题，它与原命题等因为原命题是真命题，它与原命题等价价. . 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定【方法点睛】【方法点睛】 判断命题的充分、必要条件的方法判断命题的充分、必要条件的方法(1)(1)定义法：判断定义法：判断p p是是q q的什么条件，实际上就是判断的什么条件，实际上就是判断p pq q或或q qp p是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可意图，再利用定义判断即可. .(2)(2)等价

48、法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，可对等价法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，可对命题进行等价转化，即利用命题进行等价转化，即利用A AB B与与 B B A A，B BA A与与 A A B B，A AB B与与 B B A A的等价关系进行判断的等价关系进行判断. .对于条件或结论对于条件或结论是否定式的命题是否定式的命题, ,一般运用等价法一般运用等价法. .(3)(3)集合法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，有时集合法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，有时可从集合的角度来考虑可从集合的角度来考虑. .记条件记条件p p、q q对应的集合分别为对应的集合分别为A

49、 A、B B，则有以下结论则有以下结论: :若若A AB B，则，则p p是是q q的充分条件；若的充分条件；若A AB B，则，则p p是是q q的充分不必要条的充分不必要条件；若件；若A AB B，则，则p p是是q q的必要条件；若的必要条件；若A AB B，则，则p p是是q q的必要不充的必要不充分条件；若分条件；若A=BA=B，则，则p p是是q q的充要条件的充要条件. .【提醒】【提醒】判断命题的充要条件时需注意：一要分清命题的条件判断命题的充要条件时需注意：一要分清命题的条件与结论；二要注意转化与化归思想的运用，通常把一个正面较与结论；二要注意转化与化归思想的运用，通常把一个

50、正面较难判断的命题转化为它的等价命题进行判断；三要注意判断多难判断的命题转化为它的等价命题进行判断；三要注意判断多个命题之间的关系时，常用图示法个命题之间的关系时，常用图示法. .【例【例3 3】(1)(2012(1)(2012绍兴模拟绍兴模拟) )已知集合已知集合A=x|x|4,xR,A=x|x|4,xR,B=x|xB=x|xa,a,则则“A AB”B”是是“a a5”5”的的( )( )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充要条件充要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2)对于下面说法：对于下面说法：若若A

51、 A是是B B的必要不充分条件，则的必要不充分条件，则( B)( B)也是也是( A)( A)的必要不充分条件；的必要不充分条件；“ ”“ ”是是“一元二次不等式一元二次不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解的解集为集为R”R”的充要条件；的充要条件；“x1”“x1”是是“x x2 21”1”的充分不必要条件；的充分不必要条件；“x0”“x0”是是“x+|x|x+|x|0”0”的必要不充分条件的必要不充分条件. .其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是_._.2a0b4ac0 (3)(2012(3)(2012衡水模拟衡水模拟) )指出下列说法中指出下列说法中,p,p是是q q的什么

52、条件的什么条件( (在在“充分不必要条件充分不必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条件充要条件”、“既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件”中选出一种作答中选出一种作答).).在在ABCABC中中,p:A=B,q:sinA=sinB;,p:A=B,q:sinA=sinB;对于实数对于实数x x、y,p:x+y8,q:x2y,p:x+y8,q:x2或或y6;y6;非空集合非空集合A A、B B中中,p:xAB,q:xB;,p:xAB,q:xB;已知已知x x、yR,p:(x-1)yR,p:(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=0,q:(x-1)(y-2)=0=0,q:

53、(x-1)(y-2)=0【解题指南】【解题指南】要判断要判断p p是是q q的什么条件一般要从两个方面考虑，的什么条件一般要从两个方面考虑，一是若一是若p p成立是否成立是否q q成立，二是若成立，二是若q q成立是否成立是否p p成立成立. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.A=x|-4x4,B.A=x|-4x4,若若A AB,B,则则a a4,a4,a4 4 a a5,5,但但a a5 5a a4.4.故故“A AB”B”是是“a a5”5”的必要不充分条件的必要不充分条件. .(2)A(2)A B, AB, A B B，故，故正确正确; ;“一元二次不等式一元二次不等式axa

54、x2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为R”R”的充要条件是的充要条件是“ ”“ ”，故，故正确；正确；“x1”x1”不能得出不能得出“x x2 21”1”，例如，例如x=-1x=-1，故，故错误；错误；“x+|x|“x+|x|0 0 x0”,x0”,但但x0 x0不能推出不能推出x+|x|x+|x|0 0，故，故正确正确. .答案：答案：2a0b4ac0 (3)(3)在在ABCABC中中,A=B,A=BsinA=sinB,sinA=sinB,反之反之, ,若若sinA=sinB,sinA=sinB,因因为为A A与与B B不可能互补不可能互补( (三角形三个内角和为三角形三个内角和为

55、180180),),所以只有所以只有A=B,A=B,故故p p是是q q的充要条件的充要条件. .易知易知, p:x+y=8, q:x=2, p:x+y=8, q:x=2且且y=6,y=6,显然显然 q q p, p,但但 p p q, q,即即 q q是是 p p的充分不必要条件的充分不必要条件, ,根据原命题和逆否命题的根据原命题和逆否命题的等价性知等价性知,p,p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件. .显然显然xABxAB不一定有不一定有xB,xB,但但xBxB一定有一定有xAB,xAB,所以所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件. .p:x=1p:x=1且且y=2

56、,q:x=1y=2,q:x=1或或y=2,y=2,所以所以p pq q但但q p,q p,故故p p是是q q的充分不的充分不必要条件必要条件. .【互动探究】【互动探究】本例本例(3)(3)已知条件不变已知条件不变, ,那么那么q q是是p p的什么条件的什么条件? ?【解析】【解析】由由(3)(3)的解析知的解析知q q是是p p的充要条件的充要条件; ;q q是是p p的必要不充的必要不充分条件分条件; ;q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件; ;q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件. .【反思【反思感悟】感悟】1.1.充分、必要条件颠倒是常见的导致错误的原充分、

57、必要条件颠倒是常见的导致错误的原因之一因之一. .当判断当判断p p与与q q之间的关系时之间的关系时, ,要注意方向性要注意方向性, ,充分条件与充分条件与必要条件方向正好相反必要条件方向正好相反; ;要理清推理顺序要理清推理顺序, ,然后根据要求作答然后根据要求作答, ,不要混淆不要混淆. .2.2.充分、必要条件的判断或探求充分、必要条件的判断或探求(1)(1)要弄清先后顺序：要弄清先后顺序：“A A的充分不必要条件是的充分不必要条件是B”B”是指是指B B能推出能推出A A，且，且A A不能推出不能推出B B；而；而“A A是是B B的充分不必要条件的充分不必要条件”则是指则是指A A

58、能推能推出出B B，且，且B B不能推出不能推出A A；(2)(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；(3)(3)以下说法所表达的意义相同：以下说法所表达的意义相同：命题命题“若若p p则则q”q”为真为真; ;p pq;q;p p是是q q的充分条件的充分条件; ;q q是是p p的的必要条件必要条件. .(4)(4)要证明命题的条件是充要的，既要证明原命题成立、又要要证明命题的条件是充要的，既要证明原命题成立、又要证明它的逆命题成立，证明原命

59、题即证明条件的充分性，证明证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性逆命题即证明条件的必要性. .【变式备选】【变式备选】1.1.设设0 0 x x 则则“xsinxsin2 2x x1”1”是是“xsinxxsinx1”1”的的( )( )(A)(A)充分而不必要条件充分而不必要条件(B)(B)必要而不充分条件必要而不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件,2【解析】【解析】选选B.B.因为因为0 0 x x 所以所以0 0sinxsinx1,1,不等式不等式xsinxxsinx1 1两边同乘两边同

60、乘sinxsinx可得可得:xsin:xsin2 2x xsinx,sinx,所以有所以有xsinxsin2 2x xsinxsinx1,1,即即xsinxxsinx1 1xsinxsin2 2x x1;1;不等式不等式xsinxsin2 2x x1 1两边同除以两边同除以sinxsinx可得可得:xsinx:xsinx 而由而由0 0sinxsinx1 1知知 1,1,故故xsinxxsinx1 1不一定成立不一定成立, ,即即xsinxsin2 2x x1 1 xsinx xsinx1.1.由以上可知由以上可知,“xsin,“xsin2 2x x1”1”是是“xsinxxsinx1”1”的