2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与

1、132函数的极值与导数学习目标：1. 了解极大值、极小值的概念.(难点)2. 了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件.(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值.(重点)自主预习探新知1 极值点与极值(1) 极小值点与极小值若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a) =0，而且在点x=a附近的左侧f(x)v0，右侧f(x) 0,就把点a叫做函数y=f(x) 的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2) 极大值点与极大值若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b) =0,而且在

2、点x=b附近的左侧f(x) 0，右侧f(x)v0,就把点b叫做函数y=f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3) 极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值._思考：导数为 0 的点一定是极值点吗？提示不一定，如f(x) =x3,f (0) = 0,但x= 0 不是f(x) =x3的极值点.所以，当f(xo) =0 时，要判断x=X0是否为f(x)的极值点，还要看f(X)在X0两侧的符号是否相反.2.求可导函数y=f(x)的极值的方法解方程f(x) = 0.当f(xo) = 0 时：(1) 如果在X0附近的左侧f(X) 0,右侧f(x)v0,那么f(X0)

3、是极大值;(2) 如果在X0附近的左侧f(x)v0,右侧f(x) 0,那么f(X0)是极小值.基础自测1. 思考辨析(1) 函数f(x)在(a,b)内一定存在极值点.()(2) 函数的极大值一定大于极小值.()(3) 在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.()1函数f(x)=-有极值.()X答案X (2)X(3)V(4) X2.函数f(x)的定义域为 R,导函数f(x)的图象如图 1-3-8 所示，贝U函数f(x)()图 1-3-8A. 无极大值点，有四个极小值点B. 有三个极大值点，两个极小值点C. 有两个极大值点，两个极小值点D. 有四个极大值点，无极小值点C 设y=f (x)的图象

4、与x轴的交点从左到右横坐标依次为xi,X2,X3,X4,则f(x)在x=xi,x=X3处取得极大值，在x=X2,x=X4处取得极小值.43x x3. 函数f(x) = 3-的极值点为()【导学号：31062047】A. 0B. 1C. 0 或 1D. 1322D vf(x)=xx=x(x1)由f(x) = 0 得x= 0 或x= 1.又当x 1 时f(x) 0,OvxV1 时f(X)V0,1 是 f (X)的极小值点.又xv0 时f(x)v0,故X= 0 不是函数的极值点.4._ 若可导函数f(X)在(8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，则f (1)=, 1 是函数f(x)的_值.解

5、析由题意可知，当XV1 时，f(X) 0，当x 1 时，f(X)V0,f (1) = 0,1 是函数f(x)的极大值.答案0 极大合作探究攻重难侵星M .求函数的极值点和极值角度 1 不含参数的函数求极值例 求下列函数的极值(1)y=x3 3x2 9x+ 5;32y=x(x 5).2解(1)vy = 3x 6x 9,2令y= 0, 即卩 3x 6x 9= 0，解得X1= 1,X2= 3. 当x变化时，y,y的变化情况如下表：X(m,1)1(1,3)3(3,+1!y+0一0+y呷极大值极小值户3/ II丨1/当x= 1 时，函数y=f(x)有极大值，且f( 1) = 10;当x= 3 时，函数y

6、=f(x)有极小值，且f(3) = 22.223(2)y= 3x(x 5) + 2x(x 5)=5x(x 3)(x 5)，令y= 0,即 5x(x 3)(x 5) = 0,解得Xi= 0,X2= 3,X3= 5.当x变化时，y与y的变化情况如F表：x(m,0)0(0,3)3(3,5)5(5,+)fy+0+00+y/I无极值力极大值 108极小值 0 x= 0 不是y的极值点；x= 3 是y的极大值点，y极大值=f(3) = 108;x= 5 是y的极小值点，y极小值=f=0. 角度 2 含参数的函数求极值2x已知函数f(x) = (x+ax 2a+ 3a)e (x R)，当a R 且a*$时，

7、求函数的极 3【导学号：31062048】2 ?分和 u3,则一 2ava 2当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:x(g,2a)2a(一2a,a2)a2(a2,+g)f(x)+0一0+f(x)极大值极小值f(x)在(一g,2a),(a2,+s)内是增函数，在(一 2a,a2)内是减函数.函数f(x)在x= 2a处取得极大值f( 2a)，且f( 2a) = 3ae2a；卜讨论f x的单调性求极值由a*,2a*a 2._a 2函数f(X)在x=a 2 处取得极小值f(a 2)，且f(a 2) = (4 3a)e .若av|，则一 2aa 2,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下

8、表:X(g,a2)a2(a2，一2a)2a(2a,+g)f(X)+0一0+f(x)|/*|极大值极小值f(x)在(一g,a 2) , ( 2a,+s)内是增函数，在(a 2, 2a)内是减函数.函数f(x)在x=a 2 处取得极大值f(a 2)，且f(a 2) = (4 3a)ea2；函数f(x)在x= 2a处取得极小值f( 2a)， 且f( 2a) = 3ae2a.规律方法求可导函数f X的极值的步骤为:1求函数的导数f X；令fl X= 0,求出全部的根X0；求函数的定义域;列表：方程的根X。将整个定义域分成若干个区间，把X,f.1x，f x在每个区间内的变化情况列在一个表格内；5 判断得

9、结论：若导数在X。附近左正右负，则在X。处取得极大值;若左负右正，则取得极小值.跟踪训练1 .若函数f(x) =xalnx(a R)，求函数f(x)的极值.a x a解 函数f(x)的定义域为(0，+g),f(x) = 1 -=.X (1)当aw0时，f(x) 0，函数f(x)在(0 ,+)上单调递增，函数f(x)无极值.当a0 时，令f(x) = 0,解得x=a.当 0vxva时，f(x)v0 ；当xa时，f(x) 0.f(x)在x=a处取得极小值，且f(a) =a Ina,无极大值.综上可知，当a0 时，函数f(x)在x=a处取得极小值aalna，无极大值.I类型21由极值求参数的值或取值

10、范围(1)若函数f(x) =x3+ax2+bx+a2在x= 1 处取得极值 10，则a=1312已知函数f(x) = 3X 2(m+ 3)x+ (m 6)x(x R,m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围.【导学号：31062049】思路探究(1)由f (1) = 0 及f(1) = 10 求a,b,注意检验极值的存在条件；f(x)在(1 ,+)内有两个极值点，等价于f(x) = 0 在(1 ,+)内有两个不等实 根.解(1)f(x) = 3x2+ 2ax+b,解得n3.故实数m的取值范围是(3 , +).规律方法已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下

11、两点:1 根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2.若x= 2 是函数f(x) =x(x-n)2的极大值点，求函数f(x)的极大值.【导学号：31062050】解 f (x) = (x- n)(3x-m，且f=0/. (m-2)( m- 6) = 0,即卩 m= 2 或n= 6.(1)当 m= 2 时，f(x) = (x- 2)(3x- 2),依题意得f_10,f1= 0,即a+b=9,j2a+b= 3,解得a= 4,b=-11,但由于当a=-3,b= 3 时，f(x)

12、 = 3x2- 6x+ 3 = 3(x 1)2 0,故f(x)在 R 上单调递a=-增，不可能在x=1处取得极值，所以=3，不符合题意，应舍去.时，经检验知符合题意，故a,b的值分别为 4, 11.2f(x) =x- (m+ 3)x+6.因为函数f(x)在(1,+s)内有两个极值点，所以f(x) =x2- (m+ 3)x+m+ 6 在(1 , +)内与x轴有两个不同 的交点，如图所示.=1-m+ 3:心+60,m+ 32 1,所以 =m+f 2由f(x) 0 得XV3 或X2;由 f，(x) V 0 得|VxV2.x= 2 是f(x)的极小值点，不合题意，故mi= 2 舍去.(2)当m= 6

13、时，f(x) = (x 6)(3x- 6),由f(x) 0 得xv2 或x 6;由f(x)v0 得 2vxv6. x= 2 是f(x)的极大值，f(2) = 2X(2 6)2= 32.即函数f(x)的极大值为 32.极值问题的综合应用探究问题1.如何画出函数f(x) = 2x3 3x2 36x+ 16 的大致图象.由f(x) 0 得xv 2 或x 3,函数f(x)的递增区间是(a, 2)和(3 ,+).由f(x)v0 得一 2vxv3,函数f(x)的递减区间是(2,3).由已知得f( 2) = 60,f(3) = 65,f(0) = 16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图

14、所示(答案不唯一).2.当a变化时，方程 2x3 3x2 36x+16 =a有几解？提示：方程 2x3 3x2 36x+ 16 =a解的个数问题可转化为函数y=a与y= 2x3 3x2 36x+ 16 的图象有几个交点的问题，结合探究点1 可知:3|(1)当a60 或av65 时， 方程 2x 3x 36x+ 16=a有且只有一解;3|当a= 60 或a= 65 时，方程 2x 3x 36x+ 16=a有两解；当65vav60 时，方程 2x 3x 36x+ 16=a三解.卜已知函数f(x) =x3 3x+a(a为实数)，若方程f(x) = 0 有三个不同实根,求实数a的取值范围.思路探究 求

15、出函数的极值，要使f(x) = 0 有三个不同实根，则应有极大值大于0,极小值小于 0，由此可得a的取值范围.2解 令f(x) = 3x- 3= 3(x+ 1)(x 1) = 0, 解得Xl= 1 ,X2= 1.当x0 ;当一 1x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以当x= 1 时，f(x)有极大值f( 1) = 2 +a;当x= 1 时，f(x)有极小值f(1) = 2+a.因为方程f(x) = 0 有三个不同实根，所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.2+a0,由已知应有2+a0,解得一 2a 0，即av 2 或a 2.规律方法利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，

16、并能在此基本上 画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.当堂达标固双基1函数f(x)的定义域为 R,它的导函数y=f(x)的部分图象如图 1-3-9 所示，则下面结论错误的是()A.在(1,2)上函数f(x)为增函数图 1-3-9B. 在(3,4)上函数f(x)为减函数C. 在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x= 3 是函数f(x)在区间1,5上的极小值点D 由图可知，当 10,当 2x4 时，f(x) 0,当 4x0, x= 2 是函数f(x)的极大值点，x= 4 是函数f(x)的极小值点，故 A, B, C

17、正确，D 错 误. 2. 已知函数f(x) = 2x3+ax2+ 36x 24 在x= 2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )【导学号： 31062051 】A. (2,3)B. (3 ,+)C. (2 ,+)D.(汽 3)B Tf(x) = 6x2+ 2ax+ 36,且在x= 2 处有极值，2f (2) = 0,24 + 4a+ 36= 0,a= 15,二f (x) = 6x 30 x+ 36= 6(x 2)(x 3), 由f(x) 0得x3.3. 设函数f(x) =xex，则()A. x= 1 为f(x) 的极大值点B. x= 1 为f(x)的极小值点C. x= 1 为f(x)的极大值点D. x= 1 为f(x)的极小值点D 令y=ex+xex=(1+x)ex=0,得x=1.当x1 时，y1 时，y 0.故当x= 1 时，y取得极小值.4._已知函数f(x) =x3+ 3ax2+ 3(a+ 2)x+1 既有极大值又有极小值，贝 U 实数a的取值范围是 _ .2解析f(x) = 3x+ 6ax+ 3(a+ 2),函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x) = 0 有两个不相等的实根,2- = 36a 36(a+ 2) 0,即a2a 2 0,解得a 2 或a 1.答案(8,1)u(2,+)5. 求下列函数的