岩石力学第四讲、岩石强度理论

1、主要内容：岩石的强度理论主要内容：岩石的强度理论主讲教师：汪家林主讲教师：汪家林 （3学时）学时）岩石的强度理论岩石的强度理论一、概述：强度理论、破坏类型与力学原因一、概述：强度理论、破坏类型与力学原因二、最大正变形理论（最大拉伸线应变理论）二、最大正变形理论（最大拉伸线应变理论）三、莫尔三、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论四、剪应变能强度理论与八面体应力理论四、剪应变能强度理论与八面体应力理论五、联合强度理论五、联合强度理论六、格里菲斯（六、格里菲斯（Griffith）强度理论）强度理论七、七、Hoek-Brown岩石破坏经验判据岩石破坏经验判据第一节、概述：第

2、一节、概述：强度理论、破坏类型与力学原因强度理论、破坏类型与力学原因1、强度理论：、强度理论： 岩石的应力、应变达到一定程度后，就会破岩石的应力、应变达到一定程度后，就会破坏，单轴应力下的岩石破坏容易理解，但复杂应坏，单轴应力下的岩石破坏容易理解，但复杂应力、应变条件下，岩石是怎么破坏的？应研究。力、应变条件下，岩石是怎么破坏的？应研究。 用以表征岩石的破坏条件的函数（应力、应用以表征岩石的破坏条件的函数（应力、应变函数），称为破坏判据或变函数），称为破坏判据或强度准则强度准则，强度准则，强度准则的建立，应反映岩石的破坏机理，所有研究岩石的建立，应反映岩石的破坏机理，所有研究岩石破坏原因、过程

3、和条件的理论，称为破坏原因、过程和条件的理论，称为强度理论强度理论。2、岩石按破坏特征可分为：、岩石按破坏特征可分为： 脆性破坏（脆性破坏（3%）、延性破坏（）、延性破坏（5%）和）和弱面剪切破坏；弱面剪切破坏； 按力学机理可分为张性破坏（拉伸破坏）和剪按力学机理可分为张性破坏（拉伸破坏）和剪性破坏（剪切破坏，包括塑性流动）。每种破坏性破坏（剪切破坏，包括塑性流动）。每种破坏都是在应力应变满足一定条件后发生的。表征岩都是在应力应变满足一定条件后发生的。表征岩石的破坏条件的函数称为石的破坏条件的函数称为强度准则。强度准则。 本构方程：本构方程：描述物质质点的力学状态（应力、应变状描述物质质点的力

4、学状态（应力、应变状态）、过程（应力、应变路径）之间的关系及其与时间关态）、过程（应力、应变路径）之间的关系及其与时间关系的数学表达式。系的数学表达式。强度理论、破坏类型与力学原因强度理论、破坏类型与力学原因岩岩石石的的破破坏坏型型式式与与机机制制强度理论、破坏类型与力学原因强度理论、破坏类型与力学原因3、张性破坏：、张性破坏： 由于岩石受到拉由于岩石受到拉伸或其它承载状伸或其它承载状态衍生的拉伸作态衍生的拉伸作用而引起的破坏用而引起的破坏,称为张性破坏，称为张性破坏， 其其特点特点为断裂面为断裂面发生拉开，出现发生拉开，出现张开的裂缝。张开的裂缝。 脆性材料内部有微细裂纹；应力作用下裂纹端部

5、应脆性材料内部有微细裂纹；应力作用下裂纹端部应力集中衍生拉应力；拉应力达到抗拉强度后微细裂纹扩力集中衍生拉应力；拉应力达到抗拉强度后微细裂纹扩展；微细裂纹扩展连通形成宏观裂缝导致岩石破坏。展；微细裂纹扩展连通形成宏观裂缝导致岩石破坏。 拉应变达到极限值：拉应变达到极限值： Griffis：微细裂纹端部拉应力集中，到：微细裂纹端部拉应力集中，到极限值裂纹扩展极限值裂纹扩展张性破坏的解释：张性破坏的解释：强度理论、破坏类型与力学原因强度理论、破坏类型与力学原因4、剪切破坏剪切破坏： 由剪切作用或压缩衍生的剪由剪切作用或压缩衍生的剪应力引起的破坏。应力引起的破坏。特点特点为沿断裂为沿断裂面发生相互错

6、动，出现闭合的裂面发生相互错动，出现闭合的裂缝，断裂面上可观察到擦痕。缝，断裂面上可观察到擦痕。 直接剪切沿剪应力方向错动，直接剪切沿剪应力方向错动，压缩时试件内的剪应力具有对称压缩时试件内的剪应力具有对称性，故破坏时出现交叉裂缝，呈性，故破坏时出现交叉裂缝，呈X形，破坏角大于形，破坏角大于45度。度。压缩引起的剪切破坏压缩引起的剪切破坏第二节、最大正应变理论第二节、最大正应变理论1、最大拉伸线应变理论：其理论根据为压缩时试件沿应力方向产生、最大拉伸线应变理论：其理论根据为压缩时试件沿应力方向产生裂缝并破坏，推广到复杂应力状态。又称最大正应变理论、第二裂缝并破坏，推广到复杂应力状态。又称最大正

7、应变理论、第二强度理论。适用于脆性材料，对塑性材料不适用。强度理论。适用于脆性材料，对塑性材料不适用。2、表述为：不管物体处入怎样的应力状态，最大伸长线应变、表述为：不管物体处入怎样的应力状态，最大伸长线应变3是引是引起材料断裂破坏的主因，当它达到简单拉伸时破坏的线应变起材料断裂破坏的主因，当它达到简单拉伸时破坏的线应变t，材料就发生断裂破坏。材料就发生断裂破坏。3、破坏判据：、破坏判据： 3 t4、推广应用：、推广应用： 由虎克定律：由虎克定律： t = t/E 由广义虎克定律：由广义虎克定律： 3 =3-（ 2+ 1 ）/E 故复杂应力条件下的故复杂应力条件下的最大拉伸线应变理论的应力判据

8、为：最大拉伸线应变理论的应力判据为： 3-（ 2+ 1 ） t1、18世纪末，世纪末，Coulomb提出材料破坏是由剪应力引起的，当材料内提出材料破坏是由剪应力引起的，当材料内部某斜截面的剪应力达到材料的抗剪强度时，就会沿该斜截面产部某斜截面的剪应力达到材料的抗剪强度时，就会沿该斜截面产生破裂。材料的抗剪强度条件可由下式表示生破裂。材料的抗剪强度条件可由下式表示(称为库仑准则）：称为库仑准则）： Sc =tg+C -斜截面上的剪应力；斜截面上的剪应力； Sc -材料的抗剪强度材料的抗剪强度 -斜截面上的正应力（斜截面上的正应力（0） -材料的内摩擦角，材料的内摩擦角， C-材料的内聚力（凝聚力

9、）材料的内聚力（凝聚力）第三节、莫尔第三节、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论斜截面上的应力分解与莫尔圆斜截面上的应力分解与莫尔圆1、二向应力状态下斜截面的应力：、二向应力状态下斜截面的应力：设斜截面与设斜截面与x轴的夹角为轴的夹角为，其上的，其上的正应力为正应力为a，剪应力为，剪应力为a，取三角，取三角体，根据力的平衡原理，可得到体，根据力的平衡原理，可得到a 、a 的表达式。的表达式。2、斜截面上的正应力和剪应力随斜、斜截面上的正应力和剪应力随斜截面的方位改变。截面的方位改变。3、两个互相垂直的截面上的正应力、两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数，其上的剪应力

10、等值反之和为常数，其上的剪应力等值反号（剪力互等原理）号（剪力互等原理）公式公式： a =（ x + y ）/2+（ x - y ）/2*cos2a-xysin2aa = （ x - y）/2sin2a+xycos2a4、应力圆（莫尔圆）：、应力圆（莫尔圆）： 实际上是斜截面上应力的实际上是斜截面上应力的图解法图解法。 建立建立-坐标系，确定坐标系，确定 D1点（点（x，x y），再确定），再确定 D2点的位置（点的位置（y，y x），），注意注意x y = - x y（剪力互等），连接（剪力互等），连接D1、D2两点，与两点，与轴交于点轴交于点C，以以C点为圆心，点为圆心，CD1为半径划圆，

11、为半径划圆，即应力圆（莫尔圆）即应力圆（莫尔圆）5、欲求斜截面（与、欲求斜截面（与x轴的夹角为轴的夹角为）上的正应力和剪应力，可自上的正应力和剪应力，可自 D1点沿圆周旋转点沿圆周旋转2a度，度，E点的坐标点的坐标代表此斜截面的正应力、剪应力。代表此斜截面的正应力、剪应力。6、应力圆与、应力圆与轴的交点为主应力。轴的交点为主应力。 其值分别为圆心坐标其值分别为圆心坐标半径半径应力圆的圆心坐标为：应力圆的圆心坐标为：（ （ x + y ）/2，0）应力圆的半径为：应力圆的半径为： （ x + y ）/2）2+xy2斜截面上的应力分解与莫尔圆斜截面上的应力分解与莫尔圆2三轴应力状态下的应力圆三轴应

12、力状态下的应力圆1、A平行于平行于2轴的应力状态轴的应力状态2、B平行于平行于3轴的应力状态轴的应力状态3、C平行于平行于1轴的应力状态轴的应力状态以以A圆为最大圆为最大一点的应力状态一点的应力状态在平面条件下的应力圆在平面条件下的应力圆主应力条件下的莫尔圆主应力条件下的莫尔圆圆心圆心半径半径三、莫尔三、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论22、1900年年Mohr认为：剪应力达到某一极限值时，就沿该斜截面破裂，认为：剪应力达到某一极限值时，就沿该斜截面破裂，但破坏与剪切面上的正应力有关（滑面上摩擦力作用），此极限值但破坏与剪切面上的正应力有关（滑面上摩擦力作用），此

13、极限值为正应力的函数，既：为正应力的函数，既： Sc =f（），为一条曲线。称为莫尔准则，），为一条曲线。称为莫尔准则，库仑准则为直线，为莫尔准则的特例，统称莫尔库仑准则为直线，为莫尔准则的特例，统称莫尔-库仑准则库仑准则3、莫尔强度曲线：由破坏时的极限应力状态绘制的应力圆称为、莫尔强度曲线：由破坏时的极限应力状态绘制的应力圆称为极限莫极限莫尔圆尔圆，此应力圆必定与，此应力圆必定与Sc =f（）曲线相切（即满足破坏准则），）曲线相切（即满足破坏准则），对同种岩石改变不同的正应力做强度实验，可绘出一系列对同种岩石改变不同的正应力做强度实验，可绘出一系列 极限莫尔极限莫尔圆，其包络线既为莫尔强度曲

14、线。由于剪力互等，曲线上下对称。圆，其包络线既为莫尔强度曲线。由于剪力互等，曲线上下对称。 强度曲线的应用：应力圆在强强度曲线的应用：应力圆在强 度曲度曲线以内，表明这点的应力状态是安全的，线以内，表明这点的应力状态是安全的，若与曲线相切，表明岩石将沿该点所代若与曲线相切，表明岩石将沿该点所代表的斜截面破坏。切点所代表的面就是表的斜截面破坏。切点所代表的面就是破坏面，此面与中间主应力破坏面，此面与中间主应力2平行。平行。 莫尔准则认为：在三向应力条件下，莫尔准则认为：在三向应力条件下，岩石的破坏与中间主应力无关。岩石的破坏与中间主应力无关。岩石的强度条件岩石的强度条件强度线强度线应力圆应力圆极

15、限应力圆极限应力圆极限莫尔圆极限莫尔圆强度曲线强度曲线强度包络线强度包络线三、莫尔三、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论34、破坏面法向与最大主应力方向的夹角：、破坏面法向与最大主应力方向的夹角：N点代表破坏面，破坏面点代表破坏面，破坏面法线与主应力夹角法线与主应力夹角a，2a = 90+，故，故a = 45+/2。 破坏圆上凡是破坏圆上凡是a = 45+/2的面，其应力状态是一样的满足强度的面，其应力状态是一样的满足强度准则的，故破坏面是一组平行的斜面。准则的，故破坏面是一组平行的斜面。 根据剪力互等原理，根据剪力互等原理，N点与点与N1同时满足强度准则，故破坏面

16、是成同时满足强度准则，故破坏面是成对的，呈对的，呈X状，但两组破坏面是斜交的（状，但两组破坏面是斜交的（90-） 破坏面上的应力与主应力的关系：破坏面上的应力与主应力的关系：a =（1 +3）/2+（1 3）/2*cos2aa = （13）/2*sin2a三、莫尔三、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论45、莫尔强度曲线的绘制：、莫尔强度曲线的绘制： 变角剪切法获得的强度数据变角剪切法获得的强度数据 单向抗压、抗拉强度试验数据单向抗压、抗拉强度试验数据 三向压缩实验求强度曲线三向压缩实验求强度曲线6、用主应力表达的莫尔、用主应力表达的莫尔-库仑准则：库仑准则： 如岩石

17、的如岩石的C、值是常数，则强度准值是常数，则强度准则可由直线表示，如右图：则可由直线表示，如右图：（13）/2=（C cos +（1 +3）/2）sin变形后，并考虑单轴情况适用，得到：变形后，并考虑单轴情况适用，得到：1 =（1+sin）/（1-sin） *3 +2Ccos/（ 1-sin） = *3 + Sc塑性系数塑性系数=（1+sin）/（1-sin） Sc单轴抗压强度单轴抗压强度=2Ccos/（ 1-sin）St-单轴抗拉强度单轴抗拉强度= 2C cos/（ 1+sin）强度准则的数学表达式强度准则的数学表达式直线型强度线：直线型强度线： =tg+c1 =（1+sin）/（1-sin

18、） *3 +2Ccos/（ 1-sin）Sc=2Ccos/（ 1-sin）St= 2Ccos/（ 1+sin）抛物线强度曲线抛物线强度曲线双曲线强度曲线双曲线强度曲线双曲线要求：双曲线要求：c/t3三、莫尔三、莫尔-库仑（库仑（Mohr-Coulomb）强度理论）强度理论57、对莫尔理论的评价：、对莫尔理论的评价： 优点优点： 综合性好，能表述抗压、抗拉、抗剪。综合性好，能表述抗压、抗拉、抗剪。 真实地反映了岩石抗剪强度与正应力有关的事实。真实地反映了岩石抗剪强度与正应力有关的事实。 受拉区闭合，范围小，反映了岩石抗拉强度低的事实，受拉区闭合，范围小，反映了岩石抗拉强度低的事实，三向等拉时可交

19、与曲线与三向等拉时可交与曲线与轴的交点，三向等拉是会破坏的。轴的交点，三向等拉是会破坏的。 受压区是开放的，三向等压时，莫尔圆缩为一点，不能受压区是开放的，三向等压时，莫尔圆缩为一点，不能与强度曲线相切，故认为三轴等压时，岩石不会破坏与强度曲线相切，故认为三轴等压时，岩石不会破坏 莫尔理论简单、实用、方便。莫尔理论简单、实用、方便。不足之处：不足之处：忽略了忽略了2影响，与试验有出入；影响，与试验有出入； 没能反映结构面的影响；没能反映结构面的影响； 对受拉研究不够，不适应蠕变、膨对受拉研究不够，不适应蠕变、膨胀等情况。胀等情况。第四节、剪应变能强度理论和八面体应力理论第四节、剪应变能强度理论

20、和八面体应力理论 剪应变能强度理论从能量观点出发，八面体应力剪应变能强度理论从能量观点出发，八面体应力理论从应力观点出发。理论从应力观点出发。 一一)、剪应变能强度理论剪应变能强度理论：当材料剪应变能达到一定：当材料剪应变能达到一定值时就会引起材料屈服（或破裂），或：在三向应力值时就会引起材料屈服（或破裂），或：在三向应力状态下，单位体积的形变能状态下，单位体积的形变能V与材料受拉（压）达到与材料受拉（压）达到破坏的形变能相等时，材料就屈服了。破坏的形变能相等时，材料就屈服了。 受力后物体将改变大小和形状受力后物体将改变大小和形状,并将能量储藏在物体内并将能量储藏在物体内. 形变能形变能V(形

21、状改变所需能力形状改变所需能力)、体变能、体变能UV(体积改变所体积改变所需能量需能量)、全应变能、全应变能U(形变能和体变能之和形变能和体变能之和) U=V+ UV 或或: V=U- UV一一)、剪应变能强度理论、剪应变能强度理论1、全应变能、全应变能U U = （11+ 22+ 33）/2将广义虎克定律代入：得将广义虎克定律代入：得 U = (12 + 22 + 32 2(12+ 23+ 31 )/(2E)2、体变能、体变能UV 体变能体变能=平均应力平均应力*体积应变体积应变/2 UV = (1-2)（1 + 2+ 3）2 /(6E)3、形变能、形变能V V=U- UV4、单向受压至屈服

22、时的形变能、单向受压至屈服时的形变能： VY=（1+）y/（3E）5、强度条件：、强度条件： V= VY 或或 (1- 2)2 + (2- 3)2 + (3- 1)2 = 2y2二）、八面体应力理论二）、八面体应力理论 八面体应力理论为剪应力强八面体应力理论为剪应力强度理论，它认为材料的破坏是度理论，它认为材料的破坏是八面体剪应力值达到临界值引八面体剪应力值达到临界值引起的。起的。 1、八面体上的应力、八面体上的应力 正应力：正应力：oct = (1 + 2+ 3) / 3剪应力剪应力: oct = Sqrt(1- 2)2 + (2- 3)2 + (3- 1)2 )2、强度条件：、强度条件：M

23、ises准则：当八面体上的剪应力值等于单向受力至屈服时八准则：当八面体上的剪应力值等于单向受力至屈服时八面体上的极限剪应力值时，材料屈服。面体上的极限剪应力值时，材料屈服。圆柱体，半径圆柱体，半径R=Sqrt（2/3） y3、强度条件的几何意义、强度条件的几何意义在主应力坐标系中，屈服条件表示为圆柱面，轴线为在主应力坐标系中，屈服条件表示为圆柱面，轴线为1=2=3， 半径为半径为R=Sqrt（2/3） y，当应力状态在当应力状态在圆柱体内时，材料不屈服，当在圆柱面上时屈服。圆柱体内时，材料不屈服，当在圆柱面上时屈服。考虑了考虑了2，但不能模拟岩石材料抗拉强度明显小于抗，但不能模拟岩石材料抗拉强

24、度明显小于抗压强度的情况。对延性岩体的破坏有一定意义。压强度的情况。对延性岩体的破坏有一定意义。4、Nadai强度准则：强度准则：材料的破坏是由于八面体上的剪应材料的破坏是由于八面体上的剪应力达到临界值所致，但这一临界值又是八面体法向应力力达到临界值所致，但这一临界值又是八面体法向应力的函数：即的函数：即 oct = f（oct）强度曲面不再是圆柱面强度曲面不再是圆柱面第五节、联合强度理论第五节、联合强度理论 每种强度理论都有与试验结果符合最好的应每种强度理论都有与试验结果符合最好的应力状态区域。对同一种材料，由于应力状态的不力状态区域。对同一种材料，由于应力状态的不同，不能用同一个准则来描述

25、其极限状态，在不同，不能用同一个准则来描述其极限状态，在不同带，有不同的破坏机理，应用不同的强度准则。同带，有不同的破坏机理，应用不同的强度准则。如图分区：如图分区：带为张性破裂；带为张性破裂；带为剪破裂；带为剪破裂；带为塑性流动，带为塑性流动，各类准则联合应用。各类准则联合应用。第六节、格里菲斯（第六节、格里菲斯（Griffith）强度理论）强度理论1、Griffith 认为：材料中有许多认为：材料中有许多随机分布的微细裂隙，在复随机分布的微细裂隙，在复杂应力状态下，裂隙端部会杂应力状态下，裂隙端部会出现很大的拉应力集中，当出现很大的拉应力集中，当某点的拉应力超过材料的抗某点的拉应力超过材料

26、的抗拉强度时，裂隙端部会产生拉强度时，裂隙端部会产生新的裂隙，或沿原有裂隙进新的裂隙，或沿原有裂隙进一步扩展，裂隙发展的方向一步扩展，裂隙发展的方向最后与最大主应力方向平行，最后与最大主应力方向平行，并导致材料的脆性破坏。并导致材料的脆性破坏。 裂纹的扩展可从能量方面裂纹的扩展可从能量方面和应力方面进行研究。和应力方面进行研究。2、裂纹尖端应力集中的基本假定：裂纹尖端应力集中的基本假定： 裂隙的形状近似一扁平的椭圆孔；裂隙的形状近似一扁平的椭圆孔； 将扁平椭圆孔作为无限介质中的单孔处理，将扁平椭圆孔作为无限介质中的单孔处理，并认为相邻裂隙之间互不影响。并认为相邻裂隙之间互不影响。 按平面应力问

27、题进行分析。按平面应力问题进行分析。 a 偏心角偏心角 m 轴比轴比 极角极角裂纹扩展的能量准则裂纹扩展的能量准则当裂纹引起的应力集中积聚的弹性势能大于当裂纹引起的应力集中积聚的弹性势能大于使材料沿裂纹开裂扩展必须做的阻力功时，使材料沿裂纹开裂扩展必须做的阻力功时，材料开裂且释放弹性势能，一部分消耗在产材料开裂且释放弹性势能，一部分消耗在产生新表面的阻力功，一部分为动能（很小）。生新表面的阻力功，一部分为动能（很小）。G-裂纹扩展力裂纹扩展力 u- 弹性势能弹性势能a-裂纹扩展裂纹扩展R-表面能增表面能增加率或裂纹加率或裂纹扩展阻力扩展阻力-为单位面积表面能。为单位面积表面能。基本推导过程基本推导过程令令格里菲斯（格里菲斯（Griffith）强度理论）强度理论23、根据弹性力学的、根据弹性力学的Inglis公式，考虑到裂隙扁平，轴比很小，裂隙公式，考虑到裂隙扁平，轴比很小，裂隙端部的切向应力在取极限的情况下，可讨论如下：端部的切向应力在取极限的情况下，可讨论如下： 当当1+330； 当单向受拉时：当单向受拉时： max = 2 3/m， 在复杂应力下：在复杂应力下： max = （1-3）2/（4 m （1+3 ）， 单向受拉时：单向受拉时： 3=St ，故，故max = 2 3/m