一元二次方程的解法3

1、元二次方程的解法3.解答题（共25小题）1.解方程：(1) 5工-4 _§上+10 - 1X-2 31-6(2) 4x (X-3) =X2 - 92.解下列方程:(1)(2X+3) 2-81=0;(2)x2+2x- 399=0;(配方法)(3)3x (X- 1) =2x- 2;X2 - 2x- 1=0.3三角形的两边长分别是6和8,第三边长是方程X2-7x+10=0的一个实数根.求该三角形的周长.4.用适当的方法解方程(1)x2+5=W(2)2x2+5x - 3=0 (配方法)(3)2 (y- 3) 2=y2 - 9(m-2) (3m - 5) =15.解方程:(1) x2+2x=2

2、(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+36.解方程:(1) 2x2- 4x- 1=0 (配方法)(2) (x+1) 2=6x+67.小明在解方程X2- 2x- 1=0时出现了错误，其解答过程如下:（第一步）X2 - 2x+1 = - 1+1（第二步）(X- 1) 2=0（第三步）X1=X2=1（第四步）（1）小明解答过程是从第_步开始出错的，其错误原因是第1页（共25页）（2）请写出此题正确的解答过程.8.用适当的方法解下列方程:(1) X2 - 5x+1=0(2) 3 (X-2) 2=x (X-2)(3) (y+2) 2= (3y- 1) 2 .9.阅读：将代数式x2+2x+3转化

3、为(x+m) 2+k的形式，(期中m，k为常数)，则 x2+2x+3=x2+2x+1 - 1+3= (X+1) 2+2,其中 m=1, k=2.（1） 仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m） 2+k的形式，并指出m, k的值.（2）若代数式X2- 6x+a可化为（X- b） 2 - 1的形式，求b- a的值.10.用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题.例如：因为a2>0,所以a2+1就有最小值1,即a2+1> 1,只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为-吐0，所以-a2+1有最大值1,即-a2+1 < 1,只有在a=0时，才能得到这个式

4、子的最大值1.(1)当 x=时，代数式（x+2）2 - 3有最（填写大或小）值为(2)当 x=（填写大或小）值为时，代数式-2x2+4x+3有最（3）矩形花园的一面靠墙，围成花园的栅栏总长度是16m，当花园与墙平行的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（提示：可设与墙垂直的边长为X，用含X的代数式表示花园的面积）11.设代数式2x2+4x- 3=M，用配方法说明无论X取何值，M总不小于一定值, 并求出该定值.12.按要求解方程.(1)（3x+2） 2=24 （直接开方法）3x2- 1=4x(公式法)(2X+1) 2=3 (2X+1)(因式分解法)X2 - 2x- 399=0(配方法)

5、13.试说明不论X, y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.14. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 第2页（共25页）求代数式y2+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y2+4y+4+4= (y+2) 2+4v( y+2) 2>0,( y+2) 2+4>4y2+4y+8的最小值是4.(1)求代数式m2+m+1的最小值;(2)求代数式4 - x2+2x的最大值.15. 按要求解一元二次方程:(1)4x2- 8x+1=0 (配方法)(2)(X+1) (x+2) =2x+4(3)2x2 - 10x=3第7页(共25页)(4) 3y2+4y+1=0.16

6、.已知 la-1 |+7b+2=0,求一元二次方程 bx2- x+a=0 的解.17.对于实数a, b,我们定义一种运算 ”为：b=a2- ab,例如丨3=12 - 1X 3=- 2.(1) 计算(-2)探4;(2) 若x4=0,求X的值.18.配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.例如：因为3a2>0,所以3a2- 1 >- 1,即：3a2- 1就有最小值-1.只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1.同样,即：-3a2+1就有最大值1,只有当a=0时,时，代数式-2 (X+1) 2 - 1因为-3a2< 0.所以-3a2+1 < 1,才能得到

7、这个式子的最大值1.(1)当 x=有最值(填大”或小”值(2)当 x=时，代数式 2x2+4x+1有最值(填大”或小”值(3)矩形自行车场地ABCD边靠墙(墙长10m),在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板)，现有14m长的木板围成此矩形场地，当 AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少?19 .用因式分解法解下列关于X的方程(1)-5xX224 (X+3) 2-(X- 2) 2=0.2X2 - ax" - b2=04(4)abX2 -(a2+b2) x+ab=0. (ab 0) 20.用适当的方法解下列方程：(1) 4x2- 3x- 1=0 (用配方法);(2)

8、 5X2- 2血女+3=0.21.已知a b、c是 ABC的三条边长，若x=- 1为关于x的一元二次方程(c-b) X2- 2 (b- a) x+ (a- b) =0 的根.(1) ABC是等腰三角形吗？ ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；(2) 若代数式子氐有意义，且b为方程y2-8y+15=0的根，求 ABC的周长.22.在实数范围内定义运算 ”，其法则为：b=4ab,例如：2探6=4X2X6=48.(1) 求3探7的值；(2)求xx+8X+2探8=0中x的值.23. 用适当方法解下列方程(1)(2x 5) 2-(x+4) 2=0(2)3m2 - 7m - 4=0(3)(X-3)

9、 2+2x (X- 3) =024. 探究题：阅读下面的内容，按要求完成题目: 已知方程X2 - 1=0的两根是X1 = 1 , X2 = - 1 ； 方程X2+X- 2=0的两根是X1=1, X2= - 2;方程x2+2x - 3=0的两根是X1=1, X2= - 3;方程X2+3x- 4=0的两根是xi=1, X2= - 4;(1) 请你用适当的方法求出方程x2+4x- 5=0的两根;是xi =(2)观察上面几个方程的根的特点，请直接写出方程x2+2008x-2009=0的两根,X2=，并用适当的方法验证你的结果；(3)请直接写出关于 x的方程x2+ (n - 1) x - n=0的两根是

10、xi =X2=25. 阅读下列范例，按要求解答问题.例：已知实数a, b, c满足：3+b+2口二1,色二a，求a, b, c的值.解： a+b+2c=1,. a+b=1 - 2c,l-2c 1 丄1 J -2c二 0 将代入得：(丄夸(罟t严+氏斗二Q整理得：t2+ (c2+2c+1) =0, 即卩 t2+ (c+1) 2=0,二 t=0, c=- 1a=y二匸寻 c=-l .将t, c的值同时代入得:3_ ,以上解法是采用 均值换元”解决问题.一般地，若实数 x, y满足x+y=m，则可设直昜匚 尸号-戈，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题.现请你 根据上述方法试解决下面问题：已知实

11、数 a, b, c满足：a+b+c=6, a2+b2+c2=12,求 a, b, c 的值.(2)x2+2x- 399=0;(配方法)(3)3x (x- 1) =2x- 2;元二次方程的解法3参考答案与试题解析.解答题（共25小题）1.解方程：(1) 5x-4 _姿+10 - 1X-2 31-6(2) 4x (x-3) =x4x (x-3) =x2-9, 4x (x- 3)-( x+3) (x-3) =0,(X- 3) 4x-( x+3) =0, x- 3=0, 4x-(x+3) =0, xi=3, x2=1.【点评】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能不是分式方程转化成整式方程是解（1）

12、的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（2 ）的关键.2.解下列方程:(2x+3) 2-81=0; - 9【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可;（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：（1）方程两边都乘以3（X-2）得:3 (5x- 4) =4x+10- 3 (X-2), 解得：x=2, 检验：当 x=2 时，3 (X- 2) =0,所以x=2不是原方程的解, 即原方程无解;第#页（共25页）(4) x2 - 2x- 1=0.【分析】(1)直接开平方法求解可得;(2) 配方法求解可得;(3) 因式分解法求解可得;(

13、4) 配方法求解可得.【解答】解：(1) (2x+3) 2-81=0,(2X+3) 2=81, 2x+3=9 或 2x+3= - 9,解得：X1=3X2=- 6;(2) x2+2x- 399=0, x2+2x=399.x2+2x+1=399+1，即(x+1) 2=4OO, x+1=20 或 x+1 = - 20,解得：X1=19x2=- 21;(3) 3x (x- 1) =2x- 2;整理，得：3x (x- 1)- 2 (X- 1) =0,因式分解，得(x- 1) (3x- 2) =0, X- 1=0 或 3x- 2=0, 解得：X1 = 1 , 送; x2 - 2x- 1=0.x2-2x=1

14、,X2- 2x+1=1+1,即(X,- 1) 2=2, X- 1必或X-仁-佗解得：利二1伍，H2=1 TN【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的第7页(共25页)方法.3三角形的两边长分别是6和8,第三边长是方程X2-7x+10=0的一个实数根.求 该三角形的周长.【分析】先解一元二次方程，求出方程的解，再求出三角形的周长即可.【解答】解：解方程X2- 7x+10=0得：x=2和5,当x=2时，三角形的三边为6, 8, 2, 2+6=8,不符合三角形的三边关系定理,此时不能组成三角形;当x=5时

15、，三角形的三边为三角形，三角形的周长为6, 8, 5,符合三角形的三边关系定理，此时能组成6+8+5=19,所以该三角形的周长为19.【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键.4.用适当的方法解方程«+5=4弘(1)(2)(3)(4)(m - 2) (3m - 5) =12x2+5x - 3=0 (配方法)2 (y- 3) 2=y2 - 9第13页（共25页）【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程;誉，然后利用直接开平方法解方程;（2）利用配方法得到（ X晋）（3）利用因式分解法解方程；（4）先把方程化为一般式，然

16、后利用求根公式法解方程.【解答】解：（1） X2 - W+5=0, = （W2） 2 - 4X 5=12,x=贬;屁=也±75, 所以 X1=2W5； X2=2- Vs；违X+（B （X诗）（2）诲吗，点)2旦=16 '2铮骨x+5=±F,4所以X1令；X2= 3;(3) 2 (y-3) 2-(y+3) (y - 3) =0,(y-3) (2y-6-y-3) =0, y- 3=0或 2y- 6- y- 3=0,所以 y1=3； y2=9；(4) 3m2- 11m+9=0, =112-4X 3X 9=13,11 ±Vl3m=,2X3所以m1仝匡,m2土匡.6

17、 6【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法和配方法解一元二次方程.5.解方程:(1) x2+2x=2(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+3【分析】（1）根据配方法解方程即可求解;（2）先移项，再因式分解法解方程即可求解.【解答】解：（1） x2+2x=2, x2+2x+1=2+1,(x+1) 2=3,x+1 = ±,解得X1=- 1-V艮 X2= -1+Vj ；(2) 4 (3x- 2) (x+1) =3x+3, 4 (3x- 2) (x+1) - 3 (x

18、+1) =0,(x+1) (12x- 8- 3) =0,(x+1) (12x- 11) =0,解得 X1=- 1 , X2.【点评】考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1; （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.同时考查了因式分解法解方程.6.解方程:(1) 2x2-4x- 1=0 (配方法)(2) (x+1) 2=6x+6【分析】（1）利用配方法得到2 （x- 1） 2=3,然后利用直接开平方法解方程;（2）先移项得到（x+1） 2-6

19、（x+1） =0,然后利用因式分解法解方程.【解答】解：(1) 2x2- 4x- 1=0,2 (x- 1) 2=3,(x- 1)兮,m，x- 1=±解得xi=1 -2(2) (x+1) 2=6x+6, (x+1) 2 - 6 (x+1) =0,(x+1) (x+1- 6) =0,x+1=0 或 x- 5=0,解得 X1=- 1 , X2=5.【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就 都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方

20、程的问题了 （数学转化思想）.也 考查了配方法解一元二次方程.7.小明在解方程x2- 2x- 1=0时出现了错误，其解答过程如下:（第一步）x2 - 2x+1 = - 1+1（第二步）(X- 1) 2=0（第三步）第15页(共25页)X1=X2=1(1)小明解答过程是从第(第四步)步开始出错的，其错误原因是不符合等式的性质1(2)请写出此题正确的解答过程.【分析】(1)先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上 9,然后把方程左边写成完全平方的形式即可;(2)先把方程两边加上1,再把方程两边加上1,利用完全平方公式得到(X- 1)2=2，然后利用直接开平方法解方程.【解答】解：(1)小明解答过程

21、是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1.故答案为一；不符合等式性质1;(1) X - 2x=1,X2 - 2x+1=2,(x- 1) 2=2,x- 1=± 逅，所以X1 = 1+逅,x2= 1 -血【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.8用适当的方法解下列方程:(1) X - 5x+1=0(2) 3 (X-2) 2=x (X-2)(3) (y+2) 2= (3y- 1) 2.【分析】(1)整理后求出b2- 4ac的值，再代入公式求出即可移项，开方，即可得出两

22、个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;(3) 开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【解答】解：(1) X2 - 5x+1=0/ a=1 b= - 5 c=1, =b2- 4ac= (- 5) 2 -4X 1X 1=21>0#±负2X1'X1邑国,X2旦匹；2 2(2) 3 (X 2) 2=x (X 2)3 (X 2) 2 X (X 2) =0(X 2) (3x 6-X)=0,X 2=0 或 2x- 6=0, xi= 2, X2=3;(3) (y+2) 2= (3y 1) 2 .开方得：y+2=3

23、y- 1 或 y+2=( 3y 1),y1冷,y2=-T【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.9.阅读：将代数式x2+2x+3转化为(x+m) 2+k的形式，(期中m, k为常数), 则 x2+2x+3=x2+2x+1 1+3= (X+1) 2+2,其中 m=1, k=2.(1)仿照此法将代数式x2+6x+15化为(x+m) 2+k的形式，并指出m, k的值.(2)若代数式X2 6x+a可化为(X b) 2 1的形式，求b a的值.【分析】(1)根据完全平方公式的结构，按照要求 x2+6x+15=x2+6x+32+6= (x+3)2+6,可知m=

24、3. k=6,从而得出答案.(2)根据完全平方公式的结构，按照要求 X2 6x+a=x2 6x+9 9+a= (x 3) 2+a9= (X b) 2 1,即可知b=3, a 9= 1，然后将求得的a、b的值代入ba,并求值即可.【解答】解：(1) x2+6x+15 =X2+6x+32+6 =(X+3) 2+6,可知 m=3. k=6;(2) v X2 6x+a=x2 6x+9 9+a= (x 3) 2+a 9= (x b) 2 1,b=3, a 9= 1,即卩 a=8, b=3,故 b a= 5.【点评】本题主要考查配方法的应用，完全平方公式的变形，熟记公式结构是解 题的关键.完全平方公式：（

25、a± b） 2=a2± 2ab+b2,难度适中.10用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为a2>0,所以a2+1就有最小值1,即a2+1> 1,只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1同样，因为-吐0，所以-a2+1有最大值1,即-a2+1 < 1,只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1.（1）当x= - 2时，代数式（X+2） 2 - 3有最 小（填写大或小）值为（填写大或小）值为 5（2）当x= 1时，代数式-2x2+4x+3有最 大（3）矩形花园的一面靠墙，围成花园的栅栏总长度是边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多

26、少?16m，当花园与墙平行的（提示：可设与墙垂直第19页（共25页）的边长为X,用含X的代数式表示花园的面积）【分析】（1）根据已知可以得出代数（X+2） 2 - 3最小值;（2）根据已知将代数式变形得出，-2x2+4x+3=-2 （X- 1） 2+5,进而得出答案;（3）根据题意列出等式，进而求出函数的最值.【解答】解：（1）- 2;小；-3;(2)v- 2x2+4x+3= - 2 (X- 1) 2+5,当X=1时，代数式-2x2+4x+3有最大值为5, 故答案为：1,大，5;（3）根据题意可得：当花园与墙相邻的宽为 X时,S=x( 16-2x) =- 2x2+16x, 当X=咅耶治=4时,

27、S 最大4a 4X (-2)长为8时，面积最大是32.故答案为：（1）- 2;小；-3(2) 1;大；5【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，求函数最值是中考中重点题型，同学们应熟练地掌握.11.设代数式2x2+4x- 3=M，用配方法说明无论X取何值，M总不小于一定值, 并求出该定值.【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性证明.【解答】解：M=2x2+4x- 3 =2 (x2+2x+1)- 2 - 3 =2(X+1) 2-5,(X+1) 2>0, 2 (X+1) 2- 5>- 5,则M总不小于-5.【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式

28、、灵活运用配方法是解 题的关键.12.按要求解方程.(1) (3X+2) 2=24 (直接开方法)(2) 3x2- 1=4x(公式法)(2X+1) 2=3 (2X+1)(因式分解法)X2 - 2x- 399=0(配方法)巴石竺代入【分析】(1)把3X+2看作整体，直接开平方得：3x+2=± 丽，可求得X；(2)先移项化为一般形式，求 =b2- 4ac,利用求根公式x=求X；(3) 移项后提公因式2x+1,即可；(4) 移常数项-399,两边同时加1,配方得：(X- 1) 2=400,再直接开平方.【解答】解：(1) (3X+2) 2=24,3x+2=±,3x=- 2

29、77; 21,x=-5 ±3X1 , x2=；3 3(2) 3x2 - 1=4x, 3x2 - 4x- 1=0, = (- 4) 2-4X 3X( - 1) =16+12=28, x=4土倾=4土277 = 2±衙入"'TT 、663x1 厂,x2 厂；(3) (2x+1) 2=3 (2x+1),(2x+1) (2x+1 - 3) =0,(2x+1) (2x- 2) =0, 2x+1=0 或 2x- 2=0,xw-寺，x2=1； x - 2x- 399=0, x2- 2x+1=400,(X- 1) 2=4OO, x- 1 = ± 20, x=1&

30、#177; 20, xi=21, x2=- 19.【点评】本题考查了一元二次方程的解法， 熟练掌握各种解法的步骤是关键， 注 意熟记求根公式和结果要化简.13 .试说明不论x, y取何值，代数式x2+y2+6x - 4y+15的值总是正数.【分析】可化为2个完全平方式与一个常数的和的形式.【解答】解：将原式配方得,(x+3) 2+ (y-2) 2+2,它的值总不小于2;代数式x2+y2+6x- 4y+15的值总是正数.【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是认真审题，准确配方.14.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 求代数式y2+4y+8的最小值.解：y2+4y+8=y2+4y

31、+4+4= (y+2) 2+4v( y+2) 2>0,( y+2) 2+4>4- y2+4y+8的最小值是4.(1) 求代数式m2+m+1的最小值；(2) 求代数式4 - x2+2x的最大值.【分析】(1)利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答;(2)利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可.【解答】解：(1) m2+m+仁+如片诗=(甘)2碍>|-，所以m2+m+1的最小值是色4(2) 4 - x2+2x= - x2+2x- 1+5=-(x- 1) 2+5< 5所以4- x2+2x的最大值是5.【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关

32、键.15.按要求解一元二次方程:4x2- 8x+1=0 (配方法)(X+1) (x+2) =2x+42x2 - 10x=3(4)3y2+4y+1=0.【分析】(1)方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；进一步通过直接开平方法来求出它的解；(2)右边因式分解后移至左边，再提取公因式，令每个因式分别为零，得到两元一次方程；解这两个一元一次方程可得答案;(3) 公式法求解可得;(4) 因式分解法求解即可得.【解答】解：(1) 4x2- 8x+1=0，4X2 - 8x=1,X2- 2xJ,4

33、X2- 2x+1丄+1,即(X- 1) 2勻,4 4,即 x=±两边开方，得：X- 1 = ±亚2 X1仝屋,；2 2(2)原方程可化为：(X+1) (X+2) =2 (X+2),(X+1) (X+2) 2 (X+2) =0,(X+2) (X- 1) =0, X+2=0或 X- 1=0,解得：X=- 2或X=1;(3)原方程可化为：2X2- 10X- 3=0,a=2, b=- 10, c=- 3, b2-4ac= (- 10) 2- 4X 2X( -3) =124>0, X=io±vrji=5士顶42即X1兰邑,X2李； X=,(4)方程左边因式分解，得：(

34、y+1) (3y+1) =0, y+1=0或 3y+1=0,解得：y=- 1或y=-J【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键.16.已知|la-l l+7tS2=C*,求一元二次方程 bX2-X+a=0的解.【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，代入方程计算即可求出解.【解答】解：Tla- 1|+晶il=0, - a- 1=0, b+2=0,第21页(共25页)解得：a=1, b=- 2,代入方程得：-2X2 - x+1=0,即 2x2+x - 1=0,分解因式得：(2x- 1) (X+1) =0, 解得：x=- 1或xd.2【点评】此题考查

35、了解一元二次方程-因式分解法，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.17.对于实数a, b,我们定义一种运算 ”为：b=a2- ab,例如丨3=12- 1X 3= 2.(1)计算(-2)探4;(2)若x4=0,求X的值.【分析】(1)直接根据新定义得到答案;(2)根据题中的新定义b=a2 - 2ab,把x 4=0转化为x2- 4x=0,然后解这个方程即可.【解答】解：(1)根据新定义可知：(-2)4= (- 2) 2-( -2)X 4=12;(2)由新定义b=a2 - 2ab可知，x4=0转化为X2 - 4x=0,解方程X2 - 4x=0得到xi=0或x2=4.【点评】此题考查了解

36、一元二次方程-公式法， 把新定义运算化为普通运算，得 出一元二次方程是解本题的关键.18.配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.例如：因为3a2>0,所以3a2- 1>- 1,即：3a2- 1就有最小值-1.只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1.同样，因为-3a2< 0.所以-3a2+1 < 1, 即：-3a2+1就有最大值1,只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1.代数式-2 (X+1) 2- 1有最大值(填大”或小”值为(1)当 x= -1 时,(2)当 x= -1 时,代数式2x2+4x+1有最 小 值(填 大”或小”值为.(3)矩

37、形自行车场地ABCD边靠墙(墙长 10m),在 AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有14m长的木板围成此矩形场地，当 AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）类比例子得出答案即可;（2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可;（3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1） （2）的方法解决问题.【解答】解：（1）因为（x+1） 2>0,所以-2 （x+1） 2< 0,即-2 （x+1） 2 - 1就有最大值-1.只有当x=- 1时，才能得到这个式子的最大值-1.故答案是：-1,大，-1;(2) 2x2+4x+1=2 (

38、X+1) 2+1,所以当x=- 1时，代数式2X2+4X+1有最小值为-1.故答案是：-1,小，-1;(3)设 AD=x,S=x( 16-2x) =- 2 (x-4) 2+32,当AD=4m时，面积最大值为32m2.【点评】此题考查配方法的运用，理解题意，类比给出的方法得出答案即可，渗透二次函数的最值.19 用因式分解法解下列关于X的方程-5xx24 (x+3) 2-(x-2) 2=0.(3)(4)x2 - ax- - b2=0abx-( a2+b2) x+ab=0. (ab 0)第25页（共25页）【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程;(2)利用平方差公式把方程左边分解，原方程可化

39、为2 （x+3）-（x-2） =0或（X+3） +X-2=0,然后解两个一次方程即可；先把方程变形为（X-1 a） 2-b2=0,然后利用因式分解法解方程; 利用因式分解法解方程.Lx2+5x=0,2【解答】解：（1）x 寺+5) =0， 所以 X1=0, x2=- 10;(2) 2 (x+3)-( X-2) 2 (x+3) +x- 2 =0,3 ;所以 X1= 8，X2=-(3) (X-寺a) 2 - b2=0，(x-2a+b) (X-丄a- b) =0,23所以X1時a- b，X2斗a+b;（4） （ax- b） （bx- a） =0， 所以X1上，X2嘈.【点评】本题考查了解一元二次方程

40、-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）20.用适当的方法解下列方程:(1) 4x2-3x- 1=0 (用配方法);(2) 5x2- 2/nd+3=0.【分析】（1）方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解;（2）方程左边利用完全平方公式分解后，开方即可求出解.【解答】解:（"方程变形得：号寻，64配方得：X2 -务+舊=豈，即(X-鲁)21

41、圧 开方得：x-务土袞，8 8解得：X1 = 1 , X2=-1.4；(2)分解因式得：2=0, 解得：X1=x2医5.5【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法， 以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键.21.已知a、b、c是 ABC的三条边长，若x=- 1为关于x的一元二次方程(c-b) x2- 2 (b- a) x+ (a-b) =0 的根.(1) ABC是等腰三角形吗？ ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；(2) 若代数式子+/14有意义，且b为方程y2-8y+15=0的根，求 ABC的周长.【分析】(1)根据方程的解的定义把 x=- 1代入方程(C-b) X2-2 (b-

42、a) x+(a- b) =0,可得c=a,根据一元二次方程的定义可知 CM b,所以 ABC不是等边三角形是等腰三角形;(2)根据二次根式的意义可知，严，所以a=2,所以c=a=2,解方程y2-l2-a>08y+15=0，结合b<a+c可求得b=3,所以 ABC的周长为7.【解答】解：(1) ABC是等腰三角形， ABC不是等边三角形;理由如下:x=- 1 为方程(c- b) X2- 2 (b- a) x+ (a- b) =0 的根, ( C- b) +2 (b- a) + (a- b) =0,c=a, a、b、c是 ABC的三条边长 ABC为等腰三角形, c- b工0,-cM b

43、,第29页(共25页):. ABC不是等边三角形;(2)依题意，得2-a>0 'a=2,-c=a=2,解方程 y2- 8y+15=0得 yi=3, y2=5;V b 为方程 y2- 8y+15=0 的根，且 bv a+c,二b的值为3, ABC的周长为7【点评】主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的判定和二次根式的意义；要会利用方程的解和几何图形结合起来，利用数形结合的思想进行解题.22.在实数范围内定义运算 ”，其法则为：b=4ab,例如：2探6=4X2X6=48.(1)求3探7的值；(2)求xx+8X+2探8=0中x的值.【分析】(1)直接利用题目提供的运算代入求值即可

44、；(2)根据题目提供的运算列出有关X的方程求解即可.【解答】解：(1) 3探7=4X 3X 7=84;(2)根据题意得：4x2+4X 8X+4X 2X 8=0,即：x2+8x+16=0, 解得：X=- 4,故X的值为-4.【点评】考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，解这类题应该严格按照题中给出的计算法则进行运算易错点是要把小括号里算出的代数式看做是整体代入下一步骤中计算.23. 用适当方法解下列方程(2x-5) 2-(x+4) 2=0(2)3m2 - 7m - 4=0(3)(X-3) 2+2x (X- 3) =0(4)【分析】(1)先把原方程化为(2x- 5) 2= (x

45、+4) 2的形式，再利用直接开方法进行解答即可；(2)用公式法解答;(3)利用提公因式法把原方程化为两个因式积的形式即可求出m的值;(4) 先判断方程是否有解，若有解，可直接利用公式法进行解答.【解答】解：(1)v原方程化为(2x- 5) 2= (x+4) 2, 2x- 5=x+4 或 2x- 5=- X- 4，解得 X1=9，X2;(2)v a=3，b=- 7，c=- 4，. x±49TX3X (4)2X36(X-3) (X- 3) +2x =0， X1旦鱼，X2jWi &(3)提公因式得， 解得 Xi=3, X2 = 1 .2 - 4X 1X 10=20- 40= - 20 V0，(4) v = (2 街) 原方程无解.【点评】本题考查了一元二次方程的解法，要根据不同的方程采取不同的方法, 解题时要先判断方程是否有根.24. 探究题：阅读下面的内容，按要求完成题