序列Z变换及反变换

1、( )( )nnX zx n z11( )( )d2jncx nX z zzC为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线正变换：X(z)=Zx(n)反变换： x(n) =Z1X(z)( )( )zx nX z 或充要条件充要条件: ( )( )nnX zx n z 序列序列z变换的定义为变换的定义为能够使上式收敛的能够使上式收敛的z值集合称为值集合称为z变换的变换的收敛域收敛域(ROC): R |z| R+( )nnx n zM 绝对可和绝对可和 解：解：例：求下列信号的Z变换及收敛域。1( )( )nx na u n2( )(1)nxna un 1101( )1nnnXza zazaz

2、za1211( )1nnnXza zaz21( )( )nnn nX zx n z12(1) n 0ROC0z 时，：12(2) n 0, n0ROC0z0ROC0z 时，：1( )( )nn nX zx n z10: 若n Rz 1 0:若nzR ROCRx-Re zIm z2( )( )nnnX zx n z20:若n Rz20:若nRz0ROCRx+Im zRe z( )( )nnX zx n zRzRROCROCRx-Rx+Im zRe z11( )( )2jncx nX z zdz),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX则：若：c为环形解

3、析域内环绕原点的一条逆时针闭合围线.ImzjRezxRxR0c1.留数法罗朗级数公式：z z反变换反变换为计算围线积分，由留数定理可知：11111( )Res( )21( )Res( )2kmnnzzcknnzzcmX z zdzX z zjX z zdzX z zj 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。使用第二式的条件是分母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。mzkzZ反变换 (2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数11111Res( )()( )(1)!rrlnlnz zrz zldX z zzzX z zldz 留数的求法：11Res( )()( )r

4、rnnZ Zrz zX z zzzX z zZ反变换(1)当Zr为一阶极点时的留数例： 已知1）当n-1时, 在z=0处不会构成极点，此时C内只有一个一阶极点 。441,)41)(4()(22 (2)|z|1 (3)1|z|2 (2)|z|1 (3)1|z|2时,x(n)为因果序列，)(2) 1()(3231nunxnn(2)收敛域为|z|1时,x(n)为反因果序列，(3)当收敛域为1|z|2时) 1(2) 1()(3231nunxnn) 1(2)() 1()(3231nununxnn幂级数展开法基本原理在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。01( )( )( 1)(0)

5、(1)nnX zx n zxzxzxz具体过程自学！双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质11( )( )x nXz111ROCxxxRRzR22( )( )xnXz222ROCxxxRRzR1.1.线性特性线性特性1212( )( )( )( )ax nbx naXzbXz21ROCxxRR 包含注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消时，收敛域会扩大！时，收敛域会扩大！)()cos()(0nunnx000000000001110111cos() ( ) ( )21( ),11( ),111( ),11111cos() ( ),12 1

6、1j nj nnj njjj njjjjn u neeu nZ a u nzaazZ eu nzeezZ eu nzeezZn u nzezez故，例：已知 求其z变换。双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质2 2位移特性位移特性x n m z mX(z) ROC = Rx对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。0,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵消，收敛域扩大。双边双边Z Z变换的主要性

7、质变换的主要性质3.3.指数加权特性指数加权特性( )( / )Zna x nX z a xRaROC4. 4. 线性加权线性加权(Z(Z域微分特性域微分特性) )d ( )( )dX znx nzz xRROC双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质5.5.共轭序列共轭序列()(1/ )ZxnXz xxRzR116.6.时间翻转时间翻转(time reversal)(time reversal)( )()x nXzxRROC双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质7.7.初值定理初值定理lim( )(0)zX zx8. 8. 终值定理终值定理因果序列因果序列x(n)=0,n0,有有X(n

8、)X(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)X(z)的极点处于单位圆以内的极点处于单位圆以内( (单位圆上最多在单位圆上最多在z=1z=1处有一阶极点处有一阶极点) )，则，则1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质9.9.有限项累加特性有限项累加特性( ) ( )xX zZ x nzR因果序列x(n)=0,n0，其z变换为0( )( )max,11nxmzZx mX zzRz双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质时域的卷积和对应于时域的卷积和对应于Z Z域是乘积关系域是乘积关系1212xxxxRRzRR10. 10. 序列卷积和序列

9、卷积和1212 ( )( )x nx nXz XzROC 包含Rx1Rx211. 11. 序列相乘序列相乘(Z(Z域复卷积定理域复卷积定理) )112121( )( )( )( )2czZ x n x nXXv v dvjv时域的乘积对应于时域的乘积对应于Z Z域是复卷积关系域是复卷积关系双边双边Z Z变换的主要性质变换的主要性质112211max,min,xxxxRvRRR 111122221212( )( )( )( )1,1xxxxxxxxx nXzRzRxnXzRzRRRRR且1121211( )( )( )()2cnx n x nX v Xv dvjv12.Parseval12.Pa

10、rseval定理定理( )( )( )() ()aaTanxtx ttxnTtnT 理想抽样信号理想抽样信号( )ax t的的Laplace变换变换X ( )( )()nsTaaansxtxnT eL抽样序列抽样序列( )()x nx nT的的 z 变换变换()()nnXzx nz ( )()( )sTsTaz eX zX eXs，抽样序列的，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的变换等于理想抽样信号的Laplace变换。变换。sTze拉氏变换与拉氏变换与Z变换关系的实质变换关系的实质建立起建立起 s (域域) 平面与平面与 z (域域)平面之间的的一一对应关系！平面之间的的一一对应关系！sTze1lnszTsjjzreTreT =0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)； 0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r1) 。r r与与的对应关系的对应关系()Trej00jImZReZ(,)T T 与与的关系（的关系（=T=T）0jImZReZT3TTT3j = 0对应于= 0；=0对应于=0T；对应于(, ) 的整个z平面，Laplace变换退化为变换退化为Fourier变换。变换。( )()()j Tj Taz eX zX eXj是是sj 1