2018版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.5.2形形色色的函数模型学案湘教版必

1、2.5.2形形色色的函数模型学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.预习导学 三挑战自我点点落实_预习导引1.解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.这些步骤用框图表示如图：朝趾却師 分析联抽象林优建比哺数模型数i实际网題结-论数学网题结论2数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.【解决学生疑难点 _2戸课堂讲义 /重点难点，亍牛击破要点一用已知函数模型解决问题例 1 通过研究学生的学习行为，心

2、理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位: min)，可有以下的公式：2-0.1x+2.6X+43,Ovx10,f(x)=59,10vx16,3x+107,16vx30.(1) 开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？开讲后 5min 与开讲后 20min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3) 一个数学难题，需要 55 的

3、接受能力以及 13min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需 接受能力的状态下讲授完这个难题？解(1)当 0vx 10 时，f(x) = 0.1x2+ 2.6x+ 43= 0.1(x 13)2+ 59.9.故f(x)在(0,10上单调递增，最大值为2f(10)= 0.1X(3)+59.9=59;当 16vx 30 时，f(x)单调递减，f(x)v 3X16+107=59.因此，开讲后 10min，学生达到最强的接受能力(值为 59)，并维持 6min.2(2)f(5)= 0.1X(513)+59.9=59.96.4=53.5,f(20)= 3X20+107=47V53.5=f(5)因此，开讲

4、后 5min 学生的接受能力比开讲后20min 强一些.(3) 当 0vx 10 时，令f(x) = 55,22则一 0.1X(x 13) = 4.9 , (x 13) = 49.所以x= 20 或x= 6.但 0vxw10,故x= 6.当 16vx30 时，令f(x) = 55,则3x+ 107 = 55.1所以x= 173.因此，学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为11317 6= 11v13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道 难题.4规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函

5、数关系式，最后结合其实际意义作出解答.解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题.第二步：根据所给模型，列出函数关系式.根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果.第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答.跟踪演练 1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度133x（千米/时）的函数解析式可以表示

6、为：y= 12800X 80X+ 8（0 x 120）.已知甲、乙两地相距 100 千米当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?X2.5 = 28.75（升），即当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 28.75 升.要点二建立函数模型解决实际问题 例 2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时.研究表明：当 20Wx

7、w200 时，车流速度v是车流密度x的一次函数.（1）当 0wx200 时，求函数v（x）的表达式；当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/时）解（1）由题意：得当 0Wxw20 时，v（x） = 60;当 20wxw200 时，设v（x） =ax+b,故函数v（x）的表达式为60,0wxw20,v(x) = i1解 当x= 40 时，汽车从甲地到乙地行驶了】200a+b= 0,再由已知得 20a+b= 60,解得a= 3罟=2.5（小时），要耗油5|；(200 x)20wxw200.6(

8、2)依题意并由(1)可得60 x,OWxw20,f(x)= 1x(200 x,200） ,当x= 0 时，y= 300.2 .小明的父亲饭后出去散步，从家中走20 分钟到一个离家 900 米的报亭看 10 分钟报纸后,用 20 分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是答案 D3.某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，现有 2 个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是（）A.y= 2xC. y= 2x答案 DB.y=21X+1D.y=2解析分裂一次后由+1个.2 个变成 2X2= 22个，分裂两次后 4X2= 23个，分裂

9、x次后y= 2x如图所示，由图中D. 280 元9x4 长为 3,宽为 2 的矩形，当长增加x,宽减少 2 时，面积达到最大，此时x的值为_1答案22LXXX解析S= (3 +x)(2 2)=- - + 2 + 611249=2(x- 2) +_8，V49x= 时，Siax=.28课堂屮结-11.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3 在实际问

10、题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.章分层训练 羞解蘿纠偏，训练检测_一、基础达标1 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm,觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(bva),当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的答案 C息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升.2国内快递 1000g 以内的包裹的邮资标准如下表：解析由题意可知,s是关于时间t的一次

11、函数，所以其图象特征是直线上升由于中间休函数关系图象大致为10运送距离x（km）0Vx500500VxA解析由题意知，组装第cA件产品所需时间为 一入=15,故组装第4 件产品所需时间为30,解得c= 60.将c= 60 代入15,得A= 16.11答案 A解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元,的价格为 40 元，则有（A.a= 45,b= 30C.a= 30,b= 45）B.a=30,12由题意知，当x= 150 时，y取最大值，此时Q=40.26.已测得（x,y）的两组值为（1,2） , （2,5），现有两个拟合模型，甲：y=x+ 1，乙：y= 3x1.若又测得（x，y）的一组对应值

12、为（3,10.2），则选用 _ 作为拟合模型较好.答案甲解析 对于甲：x= 3 时，y= 3 + 1 = 10,对于乙：x= 3 时，y= 8,因此用甲作为拟合模型较好.7 .武汉市的一家报摊主从报社买进武汉晚报的价格是每份0.40 元，卖出的价格是每份0.50 元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08 元的价格退回报社.在一个月（以 30 天计算）里，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的份数必须 相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多 可赚得多少元？解 设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元（x

13、为正整数）.当x 400 时，y=0.1X20X400+0.1X10X250（x400）X0.32X20（x250）X0.32X10=800+ 250 6.4x+ 2560 3.2x+ 800=9.6x+ 4410.当xw250 时，取x= 250,ymax= 3X250= 750（元）.当 250Wxw400 时，取x= 250,ymax= 750（元）.当x400 时，取x= 400,ymax= 570（元）.则y=xQ- P=x a+b卜 1000+ 5x+ -0 x210150.a+=40,a= 45, 解得=30.+ (a 5)x 1000(x 0).a513故他应该每天从报社买进2

14、50 份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750 元.、能力提升148 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为V=a ekt.已知新樟脑丸经过 50 天后，体积变为 豁.若一个新8樟脑丸体积变为 27a,则需经过的天数为（）A. 125B. 100C. 75D. 50答案 C4解析由已知，得a=a e5：设经过11天后，一个新丸体积变为9.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数.则当N= 40 时，t=_（已知 Ig20.301 , Ig30.477）.答案 36.7210.如图所示，某

15、池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y=at，有以下几种说法:1这个指数函数的底数为 2;2第 5 个月时，浮萍面积就会超过30mi;3浮萍从 4 卅蔓延到 12 卅需要经过 1.5 个月;4浮萍每月增加的面积都相等.其中正确的命题序号是 _答案a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:2,ti= 75.解析9 144lg|=-=36.72.27a，kti,827=(e1150当 N= 40 时，贝 Ut= - 144lg15解析由图象知，t= 2 时，y= 4, a2= 4，故 a= 2，正确.165当t= 5 时，y= 2 = 3230,正确，当y= 4 时，由 4= 2ti知

16、11= 2,当y= 12 时，由 12 = 2t2知t2= log212 = 2 + log23.t2-11= log23 工 1.5，故错误;浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，错误.11 在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有5 万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600 元后,逐步偿还转让费（不计息）根据甲提供的资料有： 这种消费品的进价为每件14 元；该店月销量Q百件）与销售价格P（元）的关系如下图所示；每月需各种

17、开支2000 元.（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额.（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L元，则由题设得：L=QP14）X100-3600-2000.2P+50,14WPW20,由销量图易得：Q=3-尹+ 40,20VPW26,2P+50P-14X100-5600,14P20,40P-14X100-5600,20VP26,（1）当 14WPW20 时，Lma= 450（元），此时P= 19.5（元）;1250 一61 一当 20VP20.15in代入式得17即最早可望在 20 年后脱贫.三、探究与创新12.物体在

18、常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是To,经过一18当T= 35 时，代入上式，得35 24= (88 24) 10,11 64两边取对数，用计算器求得t-25.因此，约需要 25min，可降温到 35C.13某年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素, 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量F（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关 系为F（t） =Pekt（F0,k均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中P。为t= 0 时的污染物 数量.若经过 5 小时过滤后还剩余 90%勺污染物.（1）求常数k的值；（2）试计算污染物减少到 40%至少需要多少时间（精确到 1 小时，参考数据：In0.2 1.61 ,ln0 .31.20 , In0.40.92 , In0.50.69 , In0.90.11.）解（1）由已知，当t= 0 时，P=P;当t= 5 时，P= 90%P0, 于是有 90%B= P)e5t.解得k= 5ln