ch6定积分的应用

1、高等数学教案§6定积分的应用第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、 掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等) 教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。§6 .1定积分的元素法回忆曲边梯形的面积：设y#(X)纽(X可a .b).如果说积分、A

2、 = a f (x)dx是以a *b为底的曲边梯形的面积、则积分上限函数A(x) =f(t)dt就是以a .x为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)# (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值 从甘(x)dx f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以a.b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 '以a.b为积分区间的定积分：一般情况下、为求某一量 U、先将此量分布在某一区间 a、b上、分布在a、X上的量用函数U(x)表示、再求这一量的元素 dU(x)、设dU(x)=u(x)dx、然后以u(x)dx为被积表达式、以a、b为积分区间求定积分即得用这一方法

3、求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f 上(x)与y甘下(X)及左右两条直线XW与x=b所围成、则面积元素为f上(x)_f下(x)dx r于是平面图形的面积为s/f 上(X)-f 下(x)dx类似地、由左右两条曲线 xJfe(y)与x=®右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的 面积为右(y)-左(y)dy1计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积 (1)画图.确定在x轴上的投影区间：0 J.确定上下曲线：f上(x) =Vx, f下(x)=x2(4)计算积分

4、3s=(攸x31) .例2计算抛物线y2=2x与直线yrnV所围成的图形的面积. 解(1)画图.确定在y轴上的投影区间：2*4.确定左右曲线：护左(y1 y2, 右(y)=y+4(4)计算积分S = L(y+4-1y2)dy =2y41y34=18 .例3求椭圆 岭+石=1所围成的图形的面积.解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍*椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为0 .a.因为面积元素为ydx *所以椭圆的参数方程为：x=a cos t .y =b sin t 、于是S4 f ydx =4 sintd(acost)ab sin2tdt =2ab f(1-cos2t)dt =2ab

5、.2=ab;i .2 .极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线及射线围成的图形称为曲边扇形.曲边扇形的面积元素为dS=2闿e)2d9 .曲边扇形的面积为例4.计算阿基米德螺线W0 (a >0)上相应于日从0变到2兀的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: S彳%ag2d日兮a23日3烬=艶2化例5.计算心形线p(1七osT) (a>0)所围成的图形的面积.解：S=2 待a(1+cos切2d0 =a2(2+2cos8+1cos2£)d8=a2|6+2sin8#sin2日?=詐2兀.二、体积1.旋转体的体积.这直线叫做旋转轴.旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋

6、转一周而成的立体常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体 .旋转体都可以看作是由连续曲线yh (x)、直线x=a、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.设过区间a .b内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(X)、当平面左右平移 dx后、体积的增量近似为 3=叩(x)2dx、于是体积元素为2dV = 7i(f (x) dx -旋转体的体积为V 訂叫 f(x)2dx .例1连接坐标原点 0及点P(hj)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形 .将它绕x 轴旋转构成一个底半径为 r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.解:直角三角形斜边的直线方程为y=hx所求圆锥体的体积为

7、Hx)2dx例2 .计算由椭圆2-dd x3lh "h2 3x02 y2务+与=1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.a2 b2解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y =b Ja2 -X2a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.体积元素为dV=;iy 2dx r于是所求旋转椭球体的体积为2 2V = 1 兀与(a2 x2)dx =兀与a2x 职31復=3；iab2 .aa33例3计算由摆线x=a(t-sin t) j=a(1-cos t)的一拱 '直线y=0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为Vx

8、 = 0%応y2dx =兀 0兀a2(1 -cost)2 £(1 -cost)dt3 2兀,23=a 0 (1 -3cost +3cos t -cos t)dt所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 边为X=X2(y).则2a 2半 2Vy = 0 欣2(y)dy .0 欣1 (y)dy.设曲线左半边为X=X1(y)、右半J! 22凯 22=兀 2兀a (t-si nt) -as in tdt-兀fa (t-si nt)a si ntdt3 P 兀233=一殆 (t -sint) sintdt =6兀 a .2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为

9、a b.过点x且垂直于x轴的平面与立体相截、截面面积为A(x)、 则体积元素为A(x)dx、立体的体积为例4 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心 '并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.解；取这平面与圆柱体的底面的交线为X轴、底面上过圆中心、且垂直于X轴的直线为y轴.那么底圆的方程为X2为2占2 .立体中过点X且垂直于X轴的截面是一个直角三角形.两个直角边分别为Jr2 -X2及Jr2-x2 tana .因而截面积为A(x) =2(r2 _x2)tanot.于是所求的立体体积为V = (R2 -Lr 2 A(x) =h -y =hjR2-X2X2) ta nadxtan a

10、R2-1x3R = |r3 ta na .h的正劈锥体的体积例5 .求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为解：取底圆所在的平面为 xOy平面、圆心为原点、并使X轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程 为X 2 4y 2=R 2.过X轴上的点X (-R<X<R)作垂直于X轴的平面、截正劈锥体得等腰三角形 .这截面 的面积为于是所求正劈锥体的体积为V =仁朋2x2dx =2R2h.0oSedT=12h 三、平面曲线的弧长设A .B是曲线弧上的两个端点 .在弧AB上任取分点 AWo、Mi、M2Mid、Mi J -Mn亠 Mn七、并依次连接相邻的分点得一内接折线.当分点的数目无限

11、增加且每个小段MijMi都缩向n一点时.如果此折线的长 Z|MiMi |的极限存在.则称此极限为曲线弧 AB的弧长*并称此曲线i rn弧AB是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的1.直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a 致勺)给出、其中f(x)在区间a、b上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标X为积分变量、它的变化区间为a、b.曲线yh(x)上相应于a、b上任一小区间x.X勿X的一段弧的长度.可以用该曲线在点(X、f(x)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替.而切线上这相应的小段的长度为J(dx)2 +(dy)2 = Jl + y "2 dx .从而得

12、弧长元素(即弧微分)ds = Jl +y "2 dx -以J + y '2dx为被积表达式、在闭区间a、b上作定积分、便得所求的弧长为s = a Jl + y"2dx 在曲率一节中.我们已经知道弧微分的表达式为ds=Jl +y '2dx、这也就是弧长元素.因此3例1.计算曲线y *上相应于x从a到b的一段弧的长度.解；y，=x2、从而弧长元素ds = Jl +y'2dx = Jl +xdx .因此、所求弧长为b333s=prdx =|(i +x)2a ="3(i+b)° -(1 +af.例2 .计算悬链线y =cch必上介于Xsb

13、与x=b之间一段弧的长度. c解：y Jhx、从而弧长元素为dHsdchcdx-因此、所求弧长为s = .chZdx=2Jbchdx =2cshZdxS =2cshb . cccc2. 参数方程情形设曲线弧由参数方程x4(t)、y= (t)(aii<P )给出*其中、(t)在业內上具有连续导数.叩因为、dx4(t)dt、所以弧长元素为I 屮"2/+Jds屮十就®dt =严°+V '2 (t)dt .所求弧长为s/A2(t)M2(t)dt .例3 .计算摆线xp(Tpi ne)y=a(1-cose)的一拱(0站殳巧的长度. 解：弧长元素为ds = Ja

14、2(1-COS0)2 +a2 sin20d0 =aj2(1-cos0)d8 =2asin|d0 .所求弧长为s =严2a sin 2北=2a/cos 号2 兀=8a.3. 极坐标情形(a<9< P ).由直角坐标与极坐标的关系可得设曲线弧由极坐标方程=®给出、其中r(E在a.P上具有连续导数x= (lcosQ、y= (sin 6(a<£<P ).于是得弧长元素为ds =Jx气日)+ y'2d0 =J俨+(日)d日.从而所求弧长为s = fjP2(&)"2(8)d8 .例14 .求阿基米德螺线wQ (a>0)相应于0从0

15、到2兀一段的弧长.解：弧长元素为ds =Ja202 +a2d8 =ajl +82d0 .于是所求弧长为s =a+02d£ =_|2兀Jl +4兀2 +1 n(2兀 +Jl +4兀2).所受到的电场力的大小为（k是常数）.解：在r轴上*当单位正电荷从r移动到r+dr时*电场力对它所作的功近似为r2F对它所作的功.r轴上的一个单位r处的单位正电荷§6.3功水压力和引力、变力沿直线所作的功例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 0处、它产生一个电场.这个电场对周 围的电荷有作用力.由物理学知道,如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点0为r的地方*那么电场对它的作用力的

16、大小为F =旱（k是常数）.当这个单位正电荷在电场中从r =a处沿r轴移动到r=b（a<b）处时、计算电场力例T 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点0处它所产生的电场力使 正电荷从r=a处移动到r=b（a<b）处求电场力对单位正电荷所作的功.提示：由物理学知道、在电量为+q的点电荷所产生的电场中、距离点电荷即功元素为dW =k-q2dr .于是所求的功为、由于气体的膨胀、例2.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到点b处.计算在移动过程中*气体压力所作的功.解：取坐标系如图 '活塞的位置可以用坐标x来表示.由物

17、理学知道、一定量的气体在等温条件下,压强P与体积V的乘积是常数k ,即解：在点x处、因为V承S、所以作在活塞上的力为F =p S亠S xS x当活塞从x移动到x4dx时、变力所作的功近似为 -dxx即功元素为dW =Xdx .于是所求的功为W = a£dx =kln xba =klnb例3. 圆柱形的贮水桶高为 5m底圆半径为3m、桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸 出需作多少功？解：作x轴如图.取深度x为积分变量.它的变化区间为0、5、相应于0、5上任小区间X、 X托X的一薄层水的高度为dx .水的比重为 98kN/m3*因此如x的单位为 m*这薄层水的重力为9 8兀32dx .

18、这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW=88 2兀 xdx.此即功元素.于是所求的功为2W = 088.27ixdx =88.2;r号0 割.? 25).二、水压力.如果有一面积为A的平从物理学知道、在水深为h处的压强为P二fh、这里是水的比重板水平地放置在水深为h处、那么.平板一侧所受的水压力为如果这个平板铅直放置在水中 的压力就不能用上述方法计算.例4 . 一个横放着的圆柱形水桶P =A.*那么.由于水深不同的点处压强P不相等.所以平板所受水.桶内盛有半桶水.设桶的底半径为R、水的比重为计算桶的一个端面上所受的压力.解：桶的一个端面是圆片r与水接触的是下半圆.取坐标系如图.在水深x处于圆片上取一窄条.其宽为dx ,得压力元素为dP= 2XJR2x2dx .所求压力为P=2 YxJr2x2dx =JR(R2X2)話(R2X2)亠3(r2-x2)3r =2rR3.三、引力从物理学知道、质量分别为 m 1、m 2、相距为r的两质点间的引力的大小为F 土mm2 r2'其中G为引力系数 '引力的方向沿着两质点连线方向 .如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么*由于细棒上各点与该质点的距离是变化的.且各点对该质点的引力的方向也是变化的.就不能用上述公式来计算.5 .设有一长度为I、线密度为