ch9-4第四讲空间曲线及其方程

1、§7.4空间曲线及其方程第四讲IIV平行于z轴的圆柱面、它的准线是xOy面上的圆.这圆的圆心在点(2,0)、半行为I.方程组就授课题目§.4空间曲线及其方程教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。难点：空间曲线在坐标面上的投影。讲授内容：一、空间曲线的一般空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F(x*y*z)=0 和 G(x*y =0是两个曲面方程、它们的交线为 C .因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程、所以应满足方程组lF(x,y,z)=0p(x,y,z)=0 反过来

2、'如果点M不在曲线C上 '那么它不可能同时在两个曲面上'所以它的坐标不满足方程组.因此，曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.例1方程组x22表示怎样的曲线？px 七z=6解方程组中第一个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面、其准线是xOy面上的圆、圆心在原 点O、半行为1 .方程组中第二个方程表示一个母线平行于 y轴的柱面、由于它的准线是zOx面 上的直线、因此它是一个平面.方程组就表示上述平面与圆柱面的交线 .jzpfa2-x2-y2例2方程组二a表示怎样的曲线？*|)2勺2 煜)2O .半行为a的上半球面.第二个方程表示母线解方程组中第一个

3、方程表示球心在坐标原点5表示上述半球面与圆柱面的交线例2方程组fx鳶囂ay2表示怎样的曲线O、半行为2a的上半球面.第二个方程表示母0) *半行为a .方程组解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点线平行于z轴的圆柱面.它的准线是xOy面上的圆*这圆的圆心在点(a 就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程除了一般方程之外、也可以用参数形式表示 、只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：x 欢t) ty=y(t).z之t)当给定t3l时、就得到C上的一个点(X1 J1 rZl)；随着t的变动便得曲线 C上的全部点.方程组 叫做空间曲线的参数方程.例3如果空间

4、一点M在圆柱面X2勺2=a2上以角速度©绕Z轴旋转、同时又以线速度v沿平 行于Z轴的正方向上升(其中4 v都是常数)、那么点M构成的图形叫做螺旋线 .试建立其参数方 程.解取时间t为参数.设当t时*动点位于X轴上的一点A(a, 0*0)处.经过时间t*动点由A 运动到M(x.yz).记M在xOy面上的投影为 MM "的坐标为xy0.由于动点在圆柱面上以角速 度©绕Z轴旋转*所以经过时间t,/ AOM鼻© t.从而x=|OM Icos/ AOM，=acos « 仁y=|OM Is in / AOM '=asi n 蛍 t,由于动点同时以线

5、速度v沿平行于Z轴的正方向上升、所以zWM N .因此螺旋线的参数方程为x=acoseot¥y=asin©t 、z W也可以用其他变量作参数；例如令皿仁则螺旋线的参数方程可写为x=acos 日 ypsin0 , iz=b0其中说、而参数为*曲面的参数方程形如曲面的参数方程通常是含两个参数的方程X =x(s, t) jy=y(s, t) jz 二z(s, t)例如空间曲线5) y4(t)(肖 ) H(t)绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x=/P(t)2+屮(t) 2cos 日0< <2 )“ y=JW(t)2%t)2sin 0If这是因为得上一点Mi(t)(t)(t

6、) 点Mi绕z轴旋转 得空间的一个圆该圆在平面z=上其半径为点Mi到z轴的距离 JW(t)+呼(t)2因此 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程 再令t在内变动 方程(4)便是旋转曲面的方程例如直线|x=1y=t iz=2t绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为X 胡 +t2 cos日 « y =7l 卄2 sin0 jz =2t(上式消t和得曲面的直角坐标方程为宀护十手)又如球面x2+y2七2P2可看成zOx面上的半圆周jx =as in® y=0(0< )Jz =a cos®绕z轴旋转所得故球面方程为jx =asi n WcosQ*y=asinWsinQ (0&

7、lt;<0< 殳 )jz =acos®三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做曲线 C关于xOy面的投影柱面.投影柱面与 xOy面的交线叫做空间曲线 C在xOy面上的投影曲线、或简称投影(类似地可以定义曲线 C在其 它坐标面上的投影).r-设空间曲线C的一般方程为F(x,y,z)n .】G(x,y,z)=0设方程组消去变量 z后所得的方程H(x、y)n .这就是曲线C关于xOy面的投影柱面.这是因为：一方面方程 H(x、y)=0表示一个母线平行于 Z轴的柱面、另一方面方程 H(x、y)=0 是由方程组消去变量Z后所得的方程、因此当X、y、Z满

8、足方程组时、前两个数X、y必定满足方程H(x*y)Z *这就说明曲线 C上的所有点都在方程H(x*y)所表示的曲面上、即曲线C在方程H(x .y)T表示的柱面上.所以方程H(x M =0表示的柱面就是曲线 C关于xOy面的投影柱面.曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为：尸(x,y)=0 z=0讨论：曲线C关于yOz面和zOx面的投影柱面的方程是什么？曲线C在yOz面和zOx面上的投影曲线的方程是什么？例4已知两球面的方程为x%24z2=1、(5)2 2 2x+(y_1) +(Z1)=1、求它们的交线 C在xOy面上的投影方程.解先将方程x2%y1)2+(z=)2W化为X2 対24z2-2y2z

9、=1r然后与方程X24y24z2=1相减得y 七=1 .将z=1-y代入/为2七2=1得2 2X 划-2y=0 .这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.两球面的交线 C在xOy面上的投影方程为人2 吃y22y=0 X -例5求由上半球面z=j4X2y2和锥面z=j3(x2+y2)所围成立体在xOy面上的投影.Z轴的圆解由方程z=J4-x2-y2和z=j3(x2+y2)消去z得到x2®2 .这是一个母线平行于柱面、容易看出.这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面、因此交线C在xOy面上的投影曲线为；x2 +y2 = iz=0这是xOy面上的一个圆.于是所求立体在 xOy面上的投影 '就是该圆在x