B63方程一阶线性练习

1、2分41、求微分方程y' + xy=xe的通解.-fxdxx 2 xdx解.y =e '(Jxe edx+C)x2=e 2 (Cxe e2 dx+C)2x,2 _x2= CeP -e，3分4分2.求初值解问题Jxy'+y -eX =0ly lx£ = 0解：xy'+y -eX=0可化为y'+Yxxe，这是一个一阶线性微分方程，通解为x_rldxy =ex (Cele %x= (C+ex) x即 xy = C +eX再由 ylxm = o得C =-1所以满足初始条件的特解为y =丄(ex -1)3、求微分方程y = sin -x1解：因为 P(x

2、) =-，Q(x)xx乂的通解.xsin x=，所以原方程的通解为xf-dxy =e .x (C +十x(C + adx)x6分= x(C + Jsi nxdx)=Cx -xcosx114、求微分方程y' + -y=p的通解.xx11解：因为P(x) , Q(x)=，所以原方程的通解为xxJx1 dx1匸 dxy =e x (C + JF x dx x_ln X丄 r 1 In X =e (C + Jpe dx) x= x(C + f-dx) x =Cx + xin x5、求求微分方程 y' + ytanx =sin 2x的通解.解：因为P (x)=ta nx , Q(x)=s

3、in 2 x，所以原方程的通解为tan xdxtanxdxy = e (C + (sin2xe dx= elncosx(c + jsi n2xecosxdx) = cosx(C + J2 sinxdx)=C cosx - 2 cos x16、求微分方程xy'-y=x,ylxm=1的通解.X +11x(x+1)解：因为P(X) =-, Q(x)= 1,所以原方程的通解为f-dxf-dxy=ex(x+)(c + jJxE dxlnx +1=e x+(C + Jdx)x2分4分xx+1(C + x +1 n X)X由y |xA=1得c=1,故通解为y =x+1(1 + x + ln|X)4分

4、6分7、设曲线y = f（X）上任一点（X, y）处切线斜率为 $ +x2,且曲线经过 （1,丄），求曲线X2八 f(X).解：由题意史+x2,即八1y = x2Xdx x_f)dx2 |()dx1 3解得y =e x (Jx2e x dx+C)=1x3+Cx1 1 3又曲线过点（1,1），于是c=o,所以曲线方程为 y W X38、求微分方程y -y，= 1 +xy'的通解.1解：原方程变形为 y -亠y =-x+1x+11 ) dx-f-)dx11(解得 y=e'(x* (J(斗)ex+1= C(x+1)-19、求微分方程y ' + y = ex的通解.解: P(x

5、) =1, Q(x) =eX代入公式P(x) dxP(x)dxy =e jQ(x)e dx +c二CeFex210、求微分方程y+ - y + ex = 0满足初始条件y(1) = 0的特解. x1解：P (x)=,x代入公式_p(x)dxfP(x)dxy =eJQ(x)e dx +c= Cx-ex+-exx11、用微分方程中的方法求满足方程y = ex + y(t)dt的函数y = y(x)。解：所求方程两边求一阶导数得Px丄y =e +yP(x) = 1,Q(x) =ex代入公式y=eZxjQ(x)eJP(x)dxdx + c= Cex +eX x代入原始方程知 C=1 ，故y=ex +

6、ex咲fdx5 _fZdx12、解：y =小(C + J(x + 1)2e 'x卅 dx)5=e2 ln( ")( C + J( x+1)廿ln(dx)32 2 =(x +1) (C +(x+1)2)31x+113.求微分方程xy' y = X, y(1) = 1的特解.6分_1dx_ r_1 dxy=ex(5 C + Je 加刊 dxInJLin 兰=e "(C + Je x dx)x= (C+x + lnx)当 x=1 时，y =1即1(C 中1+ In 1)= 1= C =1 1+1x所以 y=(1+x + In x)x+114.求微分方程(X2 -1) +2xy -cosx =0的通解.dx解:业=dx2x+ cosxX2 -1f 2x y =eJcosx二cosxdx+C) = en(x24)C+ JexJeIn(")dx竺dxcosx=巧匚C + f(x2