3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式

1、5. 3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式 要点透视：1要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无 关，只与其相对位置有关.2遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件.3线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐标.活题解析：例1. (2002年天津卷)平面直角坐标系中, O是坐标原点，已知两点A(3， 1)，B( 1, 3)，若点 C 满足 OC =aOA+POB，其中 a 氏 R 且 a+3=1，则点 C的轨迹方程是()2 2A. 3x+ 2y 11 = 0B. (x 1) + (y2)=25C. 2x y= 0 TD士+ 2

2、 y 5=0要点精析：I 设OC =(x, y)，OA = (3, 1)，OB =( 1,3)，TTT Ta OA=(3 a a， 3OB =( 3, 3 3，又 aOA+ 3OB =(3 a 3, a+3 3，I X =3* P二(x, y)= (3a 3 a+ 33，； $ n ,y =a +3卩又a+ 3= 1,因此得x+ 2y= 5,所以选D .思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.II例2. (2003年江苏卷)已知常数a>0,向量c=(0, a),i = (1, 0),经过原点 O以c+Xi为方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i 2Xc为方向向量的

3、直线相 交于点P,其中 疋R,试问是否存在两个定点E, F，使得|PE| + |PF|为定值？若 存在，求出E, F的坐标；若不存在，说明理由.要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和 性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综 合解题能力.解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点， 使得P到两定点的距离之和为定值.因为 1=(° 0), c = (0, a),所以 c + xi =( X, a), i 2 入c = (1, 2 Xa).因此直线OP和AP的方程分别为?y=ax和y a= 2 Xx,消去参

4、数入得点P(X, y)的坐标满足y(y a)= 2a2x2, x2 (y-1)2整理得二+=18(2)'因为a>0，所以得E和F;(1)当&=亚时，方程表示圆，故不存在合乎题意的定点22(2)当 Ovav*2为合乎题意的两个定点；(3)当a时，方程表示椭圆，焦点E(0,21)为合乎题意的两个定点。2时，方程表示椭圆，焦点叫卜込，F( 2卜2鳥)222 (a 十 T)和 F(0,如图所示，平行四边形 ABCD顶点A的 坐标为(一2, 1), 一组对边AB, CD的中点分别是 M(3, 0), N( 1, 2),求其余顶点坐标.例3.cA#X要点精析：抓住平行四边形是中心对称

5、图形，用中点坐标即可求解.解法1:设其余三个顶点B，C，D的坐标分别为(XI, yi),(X2, y2), 因为M是AB的中点，(X3, y3)，2+xi=3-8<2,解得 4 X,所以 B(8, 1).igr-oy1L 2MN的中点为 P(1, 1),且P是AC中点，可得 C(4, 3).J1再由N为CD中点，可得D( 6， 1).所求顶点坐标为 B(8, 1), C(4, 3),D( 6, 1).解法 2 :设 B 点坐标(X, y),则 AM = MB ,即(5, 1) = (x3, y),X = 8解得 ，所以B(8, 1).ly = -1X-3=5I y = T同理，由 AM=

6、DN=NC,求得 C(4, 3), D( 6, 1).思维延伸：本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算 的统一性.同时，还体现了向量坐标运算的优越性.练习题一、选择题1.已知平行四边形三个顶点的坐标为(一1, 0), (3, 0), (1,- 5)，则第四点的 坐标为()A. (1, 5)或(5,- 5)C. (5, 5)或(-3, 5)2 .在梯形 ABCD 中，AB/CD ,B. (1, 5)或(3, 5)D . (1 , 5)或(3, 5)或(5, 5) 且|AB |=?|DC 1(； 0).若 AB=i, 7D=b,则AC等于()IIA.入a+ bIIB. a + 入

7、bC.I3.已知 a = ( 2,A. (-4, 10)II5), |b|= 2|a|.若 b与a反向,I则b等于()B. (4, 10) C. ( 1, -) D . (1 .-)2 24设点P( 2, 3)分有向线段RP2所成之比为丄，点P1的坐标为(1, 2),贝U P2的坐标是()A. (2, 3)B. (5, 4)C. (4, 5)D. (5, 6)5已知 ABC的三个顶点 A(0,分割成面积相等的两部分，则实数A. 73B. 1 +晅23), B(3, 3),a的值为(C.1鱼3C(2, 0).若直线 x=a 将 ABC)6.在 ABC 中，A( 0,7), B(-4, 5),重心

8、 G(0,7221-),则ABC 为()37.8.A.锐角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D .直角三角形、填空题：已知两个向量a=(3, 4), b=(2, 1),若a+xb与a b平行，则x=11114444I已知A( 3, 2), AB =( 8, 0),则线段AB中点的坐标为 .II,11IIIII设a , b是不共线的两个向量， 已知AB =2a+kb , BC = a + b , CD =a 2b ,9.若A, B, D三点共线，则k的值为.10. 已知三点A(1, 1), B(2, 4), C(x, 9)共线，贝U x的值是三、解答题:2.III11.已知向量 a=(8, 2)

9、, b=(3, 3), c=(6，12), P=(6, 4).问：是否存在实数 x, y, z,同时满足下列两个条件：P =xa+yb+zc,x+y+ z= 1?如果存在, 请求出x, y, z的值；如果不存在，请说明理由.12如图所示，已知三点 A(X1, y1), B(x2, y2), C(X3,y3), D点分AB的比是-,E在BC上，且使 BDE的3面积是 ABC的一半，求向量DE的坐标.鱼如图所示，已知四边形ABCD是正方形，空+cos竺+cos竺的值。BE/AC , AC=CE, EC的延长线交BA的延长线于 F点，求证AF = AE。14. 运用向量的观点求cos 77715.

10、已知点 O( 0, 0), A( 1 , 2), B( 4, 5)及 OP = OA +1 AB ,试问:(1) t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限?台匕(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t的值；若不 能，请说明理由。5.31导解，第四点的塑标有三个.导解，命所以花=AD+DC =卜+3-#Mtfr=-2fl=-2X(-2.5) = (4U0).4.导-斗背且3-罕铮.得Pt(4,5).5.ttiyaXaXy-yX3X3Xy. Aa-A6.导解 *C 点的塑标为(4>-in,|AB|-yT6 + 4- 20.7.IBCI = “64 + 256= IAC

11、I » 716+324= 340, -1导B*由两向平行可知9.(1,2)导解；线段AB的中点的塑标为<1.2). -1导解：由巳知必存在实数入使而前 就+U5-(<l+b+«<I-2b)-2a-儿2<I+*b-入(2a-fr)=2Ao-Ah.于是2-2儿解得一严说明，本是两个向量共线充宴条件的应用利用AB、BD«个向*共线就可以列出关于*的方程这种用待定系数法列方程(组)通过消元法解方程组的方法需很好隼10. 3W：AB=(I.-5),=(j-l,-10), VAB 与花共线：5(j1) = 10解得 x = 3- 11.解：因为r<

12、;i+y* + 2C(8z + 3y+6N2jr+3y+12z)p-(6.4)>所以 8j+3y+6z-6 且 2工+3，+12星-4又才 +y t « I解得 J 2 ，一 36 所以存在X 2y= y.x=y»l足条件.12.解個为D点内分AB的比为专.所以霭$扇冲臥设E分有向线段的比为5有麗"兽-宇嚴| 隔召|圈IBCI 入1+1» 1 Q 1 *Sg 专 IBDIlBEkin 皆号 X*|BA|命 IBCIsinASAiwc* Y |BA| IBCIsin 件1 q >1»1所以yXlEAl命|BC|sinA*X*|BA|B

13、CZn 弘所以所以2"2所以E点的坐标为(空苧1,遥纽D是AB的内分点且入一y所以丿D(帘，啥” 灵(=2+2工,yi+2力)_( 3工1 +矶 3"+力121213.证明，以正方形ABCD的边CD所在直线为;r tt以点C 为原点建立ft角坐标系.设正方形的边长为1«点A.B的坐标分别为：(-1>1)和 (0.1).若点 E 的坐标为(j.y)>BiJ-=(j,y-l),AC=(U-l). 因为辰花所以x(-l) + l(>-l)-0.又因为I应I- I花I.所以F+b-2.(m1CE解得E点的坐标为(1：专匣.上尹). 如果点F的坐标为(m.

14、 1).由U乍-(气匡，号i)共线得气匣加一气匣-0得F点的坐标为,因为布=(一1-70,旋=(进匣二所以 |AF| = |AE| = 1+松.即 AEhAF.(】 0)14-解；将边长是1的正七边形ABCDEFO ft人宜角坐标系 以 O 为原点.OA 为 H tt，m OA - (! 0). AB - f cos 竽.sin 竽) BC(Ey.srny). DE = (cos y.siny), EF - (cos 器sin 字)JS=(cos 字，3in ).VOA-HaS + BC+CD+DE+ + f5=0./.a些向的横坐标之N H a！2代.4n ,6買8貳,和是0即 1 + eos-+ CO3 +co8 cos +gs攀+ C8 字-0.由三角函ft的诱导公式可得in6 穴IOt4xI2n2kcos «cos coft cos npNCOS =0J上 rt 为 l + 2(cn 亨+co* 夢+ eo» 竽g升T+心升士*5.M,(nAB