04第四节幂级数

1、第四节幕级数分布图示函数项级数的一般概念例1幕级数的概念收敛半径的求法例4例2例3幕级数的收敛域求收敛域的基本步骤例5例6例7幕级数的代数运算 幕级数和分析运算性质例9例10例11例12内容小结习题12-4课堂练习返回内容要点一、函数项级数的基本概念 区域内任意一点的收敛性问题， 收敛问题.这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断函数项级数的收敛性；函数项级数在某区域的收敛性问题，而函数项级数在某点 x的收敛问题，实质上是常数项级数的是指函数项级数在该二、幕级数及其收敛性；阿贝尔定理；三、收敛半径P及其求法：根据幕级数的系数的形式，当幕级数的各项是依幕次 n连续的时候，可用对其系数应用

2、比值判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有lim an=P 或 nj'"|anl = P；如果幕级数有缺项，如缺少奇数次幕的项等， 则应将幕级数视为函数项级数并利用比值 判别法或根值判别法其收敛域；oC四、求幕级数S anXn收敛域的基本步骤:(1)求出收敛半径R.;3C判别常数项级数 Z anRn, S an(-R)n的收敛性;n=en zQ(3)写出幕级数的收敛域.五、幕级数的算术运算：加、减、乘、除；六、幕级数的分析运算：和函数的连续性；逐项求导公式；逐项积分公式;几何级数的和函数2 11 +X +X2 +xn + =,(-1 V X v1)1 - X是幕级数求和中的

3、一个基本的结果.我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利用幕级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决.例题选讲函数项级数的收敛域1 ( E01)求级数n f 1、n 的收敛域.1_11+X 丿由比值判别法|Un 十(X)| _11|Un(x)| "n+1 '|1+x|1+x|(1)当一1|1+x|1当1|1 +x|O门+ x| >1,即xaO或xw_2时，原级数绝对收敛.> |1+ X|c1,即2cxc0时，原级数发散.比(1)n比1当|1 +x |=1 L A X =0或x=2, X = 0时,级数为£ 收敛；X = -2时，级数为 送心n2发散，故

4、级数的收敛域为(-CG, _2) U0, +处).例2确定级数2(1+x(1+；2)(1+xn严0的收敛域.处1解当X =1时，级数为2斗,此级数收敛.n昇XnUn + (X)当冈却时，记 Un(X)=(1+x)(1+x2)r+xn)，有 n U”")=limX1+xn+=I 0,|X1= 1|X|,|X|£1由比值判别法知，此时级数绝对收敛，故级数收敛.因此，级数的收敛域为(-CC, 1)U(1，七C).处/ +、n例3 (E02)求级数2 (n J 的收敛域.n# n(n +x)n (1 +x/ n)n解 因 Un J nJ = ,当 X=0 时，Un =1( n= 1

5、,2,3),级数发散.n当xHO时，级数去掉前面的有限项(最多去掉前|X |项，它不影响级数的收敛性)后为正级数,而 lim -u =lim h =lim n-?/ nxn 丿 <xIxI =e ,且p攻数丄,当X却时收敛，X兰1时发散.由比较判别法的极限形式知心n题设级数当X ；1时收敛，即收敛域为（1, +处）.求幕级数的收敛域处xn(1)2： ( -1)匚 n(2)Z (rx)n;n 二处xn亭川解（1）= lim 如121/ n=1 i m pen +1=1,所以收敛半径 R = 1.例4 （ E03）求下列幕级数的收敛域处（_1）n处1当X =1时，级数成为Zn壬匕2,该级数收

6、敛；当x=-1时，级数成为£丄，该级数发散.nnmn从而所求收敛域为（-1,1. 因为P = lim ylm lim n =讼，故收敛半径R =0,即题设级数只在x=0处收敛. nandtan= limnjqC(n +1)!1n!=1 i叶丄Tn +1=0,所以收敛半径P =咼,所求收敛域为（=,+处）例5 （ E04）求幕级数占-1)nn :2n的收敛域2丿1 t =X -2题设级数化处2n为 Z (T)ntn,因为n#V n=2,所以收敛半径1R=,收敛区间为2|t-,即 0<x<1.当x=0时，级数成为丄,该级数发散；当x=1时，级数成为处（1）n百,该级数收敛.从

7、而所求收敛域为（0,1.处 x2n 二例6（ E05）求幕级数£ 的收敛域.心2解 题设级数缺少偶数次幕，此时可直接利用比值判别法Un 屮（X）limUn（X）2n +=lim Xn 亨笙2n十2n2n J.X弓x2.当12当1x2>1即xa72时，级数发散，所以收敛半径r=J2.2<1即yx<42时，级数收敛；处1当X f 时，级数成为送',该级数发散；当X = J2时,nM处 _1级数成为送二，该级数发散.n 二 V 2故所求收敛域为（-72,72）.例7求函数项级数2 -n 二 n的收敛域.X _2I解 令t=一2,原级数变为2 -tn,容易求得级数X

8、4Z -tn的收敛域为1兰t<1,即nJ-1 <g <1,解此不等式得X >1,所以原级数的收敛域为X1, +处）.幕级数的运算处（ “n1 1例8（ E06）求幕级数S |匕-+丄n皐n 4nxn的收敛域.解 从例4的（1）知，级数h Uxn心 n的收敛域为（-1,1.对级数h 丄xn,有n#4n=14P = limn虫a所以,其收敛半径为4.易见当时，该级数发散.因此级数 M 丄xn的收敛域为(_4,4)."nM由幕级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为(1,1.求幕级数的和函数，分析运算性质的应用比1 xn例9( E07)求幕级数£ (1) 的

9、和函数.nAn解 由例4(1)的结果知，题设级数的收敛域为(_1,1,设其和函数为s(x),即nn二十.n显然 s(0) =0,且 s(x) =1 -X +x2 屮"+(_1)nxn-* +-1 (1 <xc1), 1 +xx由积分公式ex)dx=s(x)-s(。)，得xs(x) =s(0) + f s'(x)dxdx'0 1 +x=ln (1 +x).oC因题设级数在X =1时收敛，所以 送 3)2丄=1 n(1+x)(_1 CX <1). n 二noC例10( E08)求幕级数艺(n+ 1)2xn的和函数.n =0解 因为an +an=5 + 2)2

10、T 1，故题设级数的收敛半径R=1，易见当X =±1时，题设(n +1)C级数发散，所以题设级数的收敛域为(-1,1),设S(x)=送(n +1)2xn (|x|<1),则n=0X、 x=x I =11-X 丿(1-x)2,CaCJxs(x)dx =2 (n +1)xnF =x2 (xn中)=xn Tn T在上式两端求导，得所求和函数s(x) =(1(|x|<1).(1 X)例11求级数 丄+亠+匕 屮+厶屮的和.1.32.33.34.3n.3C nac n解所求级数的和是幕级数送当X =!时的和.设S（x）=送 X引1, 1）,逐项求导，n4 n3n n1X“1,1）,

11、两边积分，得1 -xx x 1osYxjdx = fodx =-1 n(1_x),即 s(x) _s(0) = -1 n(1-x).、1 -x 又因s(0) =0,所以s(x) =1 n(1 X),故所求原级数的和为 sflLl nhj=l n?13丿I 3丿2处（_1）n例12求幂级数三治x2n的和.处(1) n解设 s(x)=2； qx2n (|xI <1),则nmn(2n 1)2nW 2 0)2严 n 吕2n1S7x4£21)n"ln经x2n -1、2n= 2 -2x2 +2x° -2x6 屮"寺心1）.将上式两端对x积分，得x2f 0dx

12、=2arcta nx. 1 +x2=2卜rctanX： -七S'(x)-S'(0) =S"(x)dx =由 S'(0) =0,得 S'(x) =2arctanx,两端积分得XXS(x) -S(0) = L S '(x)dx =2 arctanxdxX T22dx =2xarctanx ln(1 +x ) (| x p<1),由 S(0) =0,得S(x) =2xarctanx ln(1 +x2)处(打4无丄帛x2J2xarCtanx|n(1+x2).课堂练习1. 幕级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变c 2门2. 求所给

13、幕级数的收敛域:无” (x+1)n ;7 Jn+1处xn3. 求幂级数Z-的和函数.阿贝尔(Abel,Nicls Henrik , 1802-1829)阿贝尔挪威数学家，1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6日卒于挪威弗鲁兰。阿贝尔出身贫困，未能受到系统教育，启蒙教育得自于他的父亲。1813年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习。起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣。15岁时，他幸运地遇到一位优秀数学教师，使他对数学产生了兴趣。阿贝尔 迅速学完了初等数学课程。然后，他在老师的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师的著作。1821年秋，阿贝尔在一些教授

14、资助下进入了奥斯陆大学学习。1825年大学毕业后，他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位。在德国他结识了一 位很有影响的工程师 A.L.克雷尔，在阿贝尔及朋友的赞助下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志，后被称为克雷尔杂志。它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共发表了他的22篇包括方程、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文。从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作。1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学家，他写了一 篇题为“关于一类广泛的超越函数的一个一般性质”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视，当时科

15、学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价， 柯西是主要负责人， 这篇论文很长而且难懂，因为它饱含了许多新概念。柯西把它放在一边，醉心自己的工作。勒让德也把它忘记了。事实上，这篇论文直到 阿贝尔去世后的1841年才发表。1826年底，阿贝尔回到柏林。不久，他染上了肺结核，克雷尔帮助了他，请他担任克 雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功。双周1828勒让1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆。回国后更失望，仍然没有找到职位的期望，他 不得不靠作家庭教师维生。 在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去，仍然坚持研究， 取得了许多重大成果。 他定下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的