04第四讲_微分方程

1、第四讲微分方程考纲要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程4.会用降阶法解下列微分方程：y(n) =f(x)，yJf(x, y)和y=f(yy).5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 分方程.7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系 数非齐次线性微分方程.8. 会解欧拉方程.9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题.

2、问题1何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分 方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式微分方程的阶(order):微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数微分方程的解：满足微分方程的函数微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解初值问题(Cauchy问题):微分方程连同初始条件一阶微分方程初值问题:Fdw) =0， y(Xo) = yo.61二阶微分方程初值问题:FXy, y：y”)=0 ,

3、y(xo) = yo, y(Xo) = y0.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形(通解的图形是一族曲线)问题2如何求解一阶微分方程?答 一阶微分方程的一般形式是：F (x, y, y) =0，解出y: 3 = f (x, y)，考纲要求dx掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：dy _ g (x) h(y)dx解法分离变量：hd7g(x)dx ；两端积分:-d= fg(x)dx .h(y)解法令U =丫，则y =xu，x虬 u+xdUdxdx2齐次微分方程：曰代入方程，得U + x_dU=W(u)并求解.dx3 一阶线性微分方

4、程:加 x)y=Q(x)若Q(x)三0，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的解法(常数变易法)先解对应齐次线性微分方程叽 P (x)y = 0，求得通解 y = CeTP(x)dxdx再令非齐次线性微分方程的解为y = C(x)eTP(x)dx，代入方程求出C(x).J一 p(x)dx )P(x)dx通解公式：y =e、(jQ(x)e dx+C)解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4伯努利方程： 史+卩(x)y =Q(x)ya(a北0,1).(与一阶线性微分方程比较)dx解法 方程两边乘以 严，再令Z = y，将方程化为一阶线性微分方

5、程求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解 例求解下列一阶方程：5-y +y2.xy = y(ln y In x)rCx 十.【y = xe】3.x浮=x2+y2,y(e)dx=2e 【y=xJ2lnx+2 】y【X0, arcs in = I n x + C 】x14.(x2 -1)dy + (2xy -cosx)dx = 0, y(0) =1【y =2】x -135.(x -y )dy -2ydx =06.虬 dx ln y -x7.(2xy2-y)dx +xdy = 0问题3如何求解可降阶的二阶微分方程?答 二阶微分方程F(X, y, y ： y) = 0 ,解出y = f

6、 (x,y,y )，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法:1. y” = f(x)、y(n)= f(x)型的微分方程特点：右端仅含x. 解法：积分两次.2. yIP=f (x,y)型的微分方程特点:解法:右端不显含未知函数y.换元，化为一阶方程求解 .步骤如下：令y=p，则才=空=P，方程化为p=f(x, P)(这是关于变量x，P的一阶 dx方程)；解出 再由f (y, y)型的微分方程特点：右端不显含x.解法：换元，化为一阶方程求解 .步骤如下:令y=p，则屮=坐=亚业=p亚，方程化为p(y, p)(这是关于变量dx dy dx dydyy， P的一阶方程)； 解出P ；再由y = p解

7、出y .1.解方程 yy y2 =0.【y -Cze*】2.求微分方程y ”(x + y Q) = y满足初始条件y(1) = y (1) = 1的特解.3.求初值问题 2yy = 1 +y3 y(1) = 1,y1) =-1 的解.解令y，= p，则yj空=些理=dx dy dx dy方程化为2yp空=1 + P2，分离变量，得空笔二包，两边积分，得dy1+ P y22In(1 + p )=1 n y +1 n G，即 1 + p =C1y .将初始条件x =1,y=1,y = p = _1代入，得Ci = 2，故1 + p2 = 2y，解得P = -J2y -1， P = J2y -1 (

8、舍去)再解y = -J2y -1，分离变量，得，dy = -dx，两边积分，得j2y-1 =X +C2，将初始条件x=1,y =1代入，得C2，所求特解为J2y-1注意二阶可降阶方程求特解过程中, 解.= 2-x，即 y =扣2宀 + 5).任意常数出现一个， 确定一个，有利于下一步求问题4叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构答 二阶线性微分方程的一般形式：y”+P( x)y + Q(x)y= f (x)若f (x)三0 ,则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的1.线性微分方程解的性质如果y1与y是齐次方程y+P(X)y + Q(x)y =0的两个解，则y=C1y1+C2y2是此齐次方程的解

9、.如果yi与 y是非齐次方程y + P(x)y+Q(x)y = f(X)的两个解，则 目、一 y是对应齐次方程y”+P(x)r + Q(x)y=O的解.n(解的叠加原理)设yk是线性方程y”+P(x)y + Q(x)y = fk(x)的特解，则送yk是k4ny” + P(x)y+Q(x)y=2 fk(x)的特解.kA2线性微分方程解的结构定理1 (齐次方程解的结构)如果yi与y是齐次方程y+P (x)y +Q(x)y=O的两个线性无关的特解，则y = Cpj + C2 y2是此齐次方程的通解.定理2 (非齐次方程解的结构) 设y是非齐次方程yUp(x)y +Q(x)y = f(x)的一个y =

10、 C y+ C2 是对应的齐次方程y” + P (x)y+Q(x)y =0的通解，则y =y+Ci yi +C2 y2是此非齐次方程的通解.设yi,y2,y3是y + P(x)yqQ(x)y = f (x)的三个线性无关的解，则其通解.【yi +Ci(y2 - yi) 9(丫3 yi)】问题5如何求解二阶常系数线性齐次方程y + Py + qy = 0 ？答 先求出它的特征方程 r2 + pr +q =0的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解(见下表)特征方程r + pr +q =0的根方程y + Py + qy = 0的通解两个不等实根ri,r2y 乂弋2 er2x两个相等实根r, =

11、2y =(Ci +C2X)erix两个共轭复根ri,2i Py =尹0 cosPx+CzSin Px问题6如何求二阶常系数线性非齐次方程y”+p y + qy= f (x)的特解？答考纲要求会解自由项为多项式、 指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积 的二阶常系数非齐次线性微分方程， 由非齐次方程解的结构， 只要求出它的一个特解和对应 的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若 f(x) =Pm(x)e处，则令 y* =xkQm(x)e必，其中0,几不是特征根；k=*1，几是单特征根；2, A是二重特征根.2.若 f(X)=e/XPm(x)cosoox +

12、P|(x)sin x，则令y* =xk exQn(x) coswx +Qn(x)sin x，J 0,几+血不是特征根；其中 n = maxtm,l /， k = 4 1, A +i是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解.3 11.求 y”2y-e2x =0 满足 y(0) = 1, y(0) = 1 的解.【y =+(1 + 2x)e2x 】4 412.求 y + y = x+cosx 的通解.【y =CiCOSx + C2 sin x + x + ?xsinx】3. y + y = X2 +1 + sin x的特解形式可设为问题7如何求解欧拉方程 x2y+ P

13、xy + qy = f （x） ？答令x ，则x八Tx2八D（D T）y =勢-詈，欧拉方程化为二阶常系数线性方程例 欧拉方程X2 y + 4xy+2y ：= 0（x0）的通解为.【y=Cx问题8如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件积分下限）.例（令积分上限等于X1.设 f(x)=sinx-10(x-t)f(t)dt，f(x)为连续函数，求 f (x).XX解 f (X)= sin X 一X f (t)dt + tf (t)dt，两边对求导，得XXf (x) =cosx - 0 f (t)dt -xf(X)+xf(X)=cosx- J

14、0 f (t)dt，两边再对求导，得f (X)= -sin X - f(X),故f (x)满足微分方程 yr = -si n X，由，得初始条件 f (0) =0, f (0) =1.2.函数f (X)在0, P)上可导，f (0) = 1，且满足等式1 xf(x) + f(x)-药 J0 f(t)dt=O，-X求f(x).【”為】1解由 f (x) + f (x)x+1f (xH -1,(x+ 1)f (x)+(x +1)f(x)-J0 f(t)dt =0 ,f(X) +(x + 1)f (x) + f(X) +(x + 1)f (X) - f(X) =0 ,(x+1)f (X) +(x+2

15、) f(X) =0,-X令 fg=p，(宀)乎+(x+2 巾0，齐一讦 dx，C eIn p = XIn(x+1) + lnC，即 p = f (x)=又 f (x) = 1，得 C = 1，故 f (X)=-问题9如何用微分方程求解应用问题？ 答关键是建立微分方程(包括初始条件)例题3应用题1.设y = f(X)是第一象限连接 A(0,1), B(1,0)的一段连续曲线，M (x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在X轴上的投影，0为坐标原点，若梯形 OCMA的面积与曲边三角形X31、2CBM的面积之和为 +，求f(X)的表达式.【f(X)=(X -1)】63丘12.设位于第一象限的曲线 y

16、= f(x)过点(计 2)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.求曲线y=f(x)的方程；(X2 +2y2 =1 )已知曲线解曲线y=si nx在0,兀上的弧长为I，试用I表示y=f(x)的弧长s.【亚丨】41y = f(x)在点P(x,y)处的法线方程为Y-y =-丄(X-x)， y，xx令X =0，得Y = y +兰，故点Q的坐标为(0, y+r)./y由题设知，y + y + 圣=0,即 xdx + 2ydy = 0 ,解得 x2 + 2y2 = C， y，将(呃丄)代入上式，得C=1，故曲线y=f(x)的方程为x2+2y2=1.2 2曲线y =sinx

17、在0,兀上的弧长兀 匹 I 卫 rI = f J1 +cos xdx = f2兀+cos2 xdx = 2 f2 J1 + cos2 xdx，0上02卜=cos日,y = f(x)的参数方程为 【血，iV = si n日,I 2弧长s弋柿巴曲日0亍Vdx.1 兀=r 三 5/1 + cos xdx =72 02243.设f(x)在1,xc)上连续，若由曲线y = f(x)，直线x=1,x=i(1)与x轴所围成IT n的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t) = t2f (t)- f (1)，求y = f(x)所3满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y2 2 2 X/ =- 的解.【

18、X y = 3y -2xy ； -94.现有一质量为9000kg的飞机，着陆的水平速度为700km/h经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k =6.006)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km】解【利用F =ma =口岂dt= md4建立方程，关键是受力分析】dt2质量m = 9000kg，水平速度v =v(t) , v(0) =700km/h，飞机所受的总阻力 f =-kv.依题意-kv = m空dtdvk=dt，两边积分，得lnvmktk=-一t+lnC，即 v=Cem m将v(0) =700代入上式,C =700，故 v = 700e m飞机滑行的最长距离k=tmS= J。v(t)dt 可0 700e mdt k-be= 1.05( km)问题10 (数学三)差分方程？何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性答 函数yt =f(t)的差分也yt =yt4tyt.2二阶差分Ayt=i(iyt)=iyt十一Ayt= % 七 一241+yt.差分方程：含有差分的等式差分方程的阶：下标差的最大值求解一阶常系数线性差分方程yt卡- pyt = f (t)的步骤是:先求对应齐次方程yt出pyt =0通解：求出特征方程r-p=0的根r = p ,yt卡一