10第十讲空间解析几何

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室课程名称高等数学授课对象授课题目第十讲 空间解析几何中的问题课时数教学目的通过教学让学生掌握向量的基本概念，向量的数量积，向量的向量积，平 面及其方程，直线及其方程，常用二次曲面的方程及其图形，常用二次曲面的 方程及其图形重 点 难 占 八、重点：向量的数量积，向量的向量积，平面方程，直线方程 难点：常用二次曲线、二次曲面的方程及其图形.第十讲空间解析几何中的问题、向量的基本概念、两向量的数量积三、两向量的向量积四、平面及其方程五、直线及其方程六、常用二次曲面的方程及其图形七、常用二次曲面的方程及其图形教学过程与内容教学后记第十讲空间解析几何中的问题

2、一、向量的基本概念(1) 坐标系(2) 两点间的距离公式*b- -(3) 向量的坐标表示 AB =x i + yj +zk =x,y, z(4)向量的长度 | AB |= Jx2 + y2 +z2向量的单位化向量的方向方向余弦二、两向量的数量积_ _ 4a b =|a | I b |cos(a,b)a °b =axbx+ ayby +azbz(3) 2a a =| a | .(4)(5)AT ?cos(a,b)=T T|a|佝(6)： a 丄 b=a 七=0u axbx + ayby + azbz = 0三、两向量的向量积(1)设a、b为向量，作向量 R=axb使得:1) |eisi

3、n(a,b)2) R垂直于a b所确定的平面，指向按右手法则(2) ?<b = (ax¥ +ayj+azk)x(bx¥ +byj +bz?)4iaxayazbxbybz(3)应用1)利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量;-a x2) a/b= axb=0=四、平面及其方程（1）已知平面1 ）点法式:2 ）一般式:bxaybyazbz过点 M （Xo、yo、zo）, n=A, B,C为 的法矢量。A(x-x o)+B(y-y o)+C(z-zo)=o ；Ax+By+Cz+D=0B、C不全为零;（2）平面间的位置关系1）两平面垂直:ni 丄 n2 ；2）两平面平行:冗

4、1 /冗2n1 / n2。3）平面间的夹角（常指锐角）A,A2 + B1B2 +GC2:cos 6 一 L_LjA2 +B2 +C12+C；点到平面的距离点 M（x 0、yo、zo）到平面 Ax+By+Cz+D=0的距离为Axo + By。+ Czo + DJa2 +B2 +C2五、直线及其方程（1）空间直线的对称式方程和点向式方程Xxoy yo z Zo(=t)当m=o时，则方程的点向式记为:y-yoZ ZonI lx = xo(2)直线的一般方程为卜x + ba+Gz"1IA2X + B2y + C2Z = D2（3）两直线的夹角（4）直线与平面的夹角六、常用二次曲面的方程及其图

5、形1、球面：(x-Xof +(y-y0)2 + (z-Zo)2 = R2、椭球面3、旋转曲面设L是xOz平面上一条曲线,得旋转曲面:f (± Jx2 + y2 ,z)= 0X0F(x,z )=0I y=o=Jx2 +y2 +(z-Z0 2 = Jx2 +y2 ,Xo = ±Jx2 + y2 Zo =z 代入方程得 f(± Jx2 +y2,z)=0L绕z旋转一周所z =Z0f(x,z ) = 0z = a(x2 + y2)称为旋转抛物面旋转双曲面:x2 + y22az2c=1 ,(单)4、椭圆抛物面5、单叶双曲面6、双叶双曲面7、二次锥面圆锥面Z2物柱面(8)柱面2

6、y-+2az= ax22z2c+ by22 x_ + y a2 b22zc2a, b A 0=1f(x, y) =02b2(a0)七、常用二次曲面的方程及其图形(1 )空间曲线C可看作空间两曲面的交线.rF(x,y,z0G(x,y,z) =0(2)空间曲线的参数方程|x =x(t) <y =y(t) z =z(t)(3)空间曲线在坐标面上的投影朦y黑0消去皿H(X, y) = 0曲线关于xoy面投影柱面曲线关于xoy面投影为H(x,y)=0Z =0例1 ：已知曲线C Jx +y 2z =0 ,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的:X + y + 3z = 5【分析】曲线上一点(x,y,z

7、)到XOY面的距离为z，但把目标函数设为f (x, yz) = |z，不便于计算，因而常把目标函数设为f(X, yz) = z2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。【解L =z2 +t(x2 + y 2-2z2 )+ >-2(x + y + 3z-5)=2+ 兀2 = 0&cL,.=2+ 几2 = 0cL* =2z -4)1Z + 3入2 = 0 cz=X2 +y -2z = 0 卒cl=x+y+3z-5=0I. "2由前两个方程知x=y，代入后两个方程知求的解（1,1,1）,（5,5,5）最远的点（5,-5,5）和最近的点（1,1,1）.2 2例2 :

8、椭球面S1是椭圆十1绕X轴旋转而成，圆锥面S2是由过点（4, 0 ）2 2且与椭圆尹专/相切的直线绕X轴旋转而成。（I）求S1和S2的方程;（n）求S1和S2之间的立体体积。【分析】设L是xoy平面上一条曲线 f（X, y） = 0 , L绕x旋转一周所得旋转曲面为f（x,±Jy2 +z2） =022丄 2【解】和亠+3-=143设过点（4,0 ）与椭圆相切的直线方程为y = ax 4a设切点为（X0, y。），贝U - = adx4y0y0 ，又 3x20 +4y20 =12X0 431得（Xo,yo）= （1,土一），上方切线为 y= X-222S2：y2+z2 吧X-2I 卜 53£x2)dx"例3 ：设