现代控制理论5系统综合

1、(A BK) 1B5.线性定常系统的综合（1）状态反馈系统 x Ax buB Rn r ,C Ry Cx DuX Rn,u R rD=0 时 y Cx ，C Rm n状态反馈的控制律为u Kx v ， vRr 是 参 考 输 入 ，K Rr n 为状态反馈矩阵。状态反馈闭环系统为x Ax BKxvA BKxBv5 1 反馈系统的基本结构Dxx Dvy Cx DKx v CD=0 时 y Cx 闭环输出矩阵为 CSI开环为状态反馈的改变了系统的动态特性， A ，闭环为 A+BK 。BK为Rnr Rrn若系统能控，可改变所 有状态的特征根。结构图为V图5-1输出反馈 取u Hy vHRrm=HCx

2、HDu vu IHD1HCx v于是原系统为x AxBu=AxBIHD 1HCxv=ABIHD1HC xBlHD 1vy CxDu=CxDl1HD HCxv=CDlHD1HC xDlHD 1vD=0 时x A BHC Bv y Cx传函矩阵为 WH(s) =CSI A BHC B(3) 闭环系统的系统能控性与能观性。定理： 状态反馈不改变系统的能控性，但 不保证系统的能观性不变。 证明 原系统的能控判别阵为判别阵Qc = B,AB, ,An 1B状态反馈系统的能Qck B,(A BK)B,(A BK)2B, ,(A BK)n 1BQck中第 2 块 (A BK)B BKB ABB ABKBI可

3、由(A BK)=B ABB， AB 的 线 性 组 合 表 示 ， 第 3 块A2B AB(KB) BKAB KBKBKAB2A2B KB可由可由对 QC 进行线性变换得到，可B AB A2B的线性组合表示。QCK换矩阵是满秩的CK故有：rankQcK = rank Qc性。另一方面，状态反馈只改变系统极点，不改 变零点，若出现零极对消的情况时，系统传 函降阶，破坏了系统的能观 定理： 输出反馈不改变系统的能控性和能观 性证明： 增加输出反馈后x ( A BHC )x BuK，类似地可知不CBHC)BHC )n 1HC 相当于状态反馈阵的 改变能控性 能观性判据为Q c( AQOHc(A仿照

4、状态反馈不改变能控性方法可证明 rankQoH rankQ O输出反馈不改变系的能观性5 2 极点配置一、状态反馈定理采用状态反馈对系统(A, B , C )任* * ai Sa。将系统化成能控标准T 1ATxI型T 1buAxbu意配置极点的充要条件是原系统完全能控。证明(只证充分性)若系统是能控的， 由状态反馈U Kx可得：x (A bK)x而detSI (A bK) F*(s) 期望多项式nF*(S)(S *) Sn a；1Sn1i 1* 期望的闭环极点奇异变换(1) 若系统能控，必存在1exa0ai001an 1T 1b传函为CTbobibn lW0（s） e（SI A） 1be（si

5、 A）1bG(S)San 1Sb1S b0 a1 S ao(2)加入状态反馈u Kx其匚寸 丿、K K0 KiKn 1闭环系统为(AbK)xbvex0A bK 0(a0Ko)Kn 1)目标闭环特征多项式为FSnanSn 1ai Sa0Sn (an 1i)(aiKi)S(a。Ko)闭环传函为Qn 22sW(s) CSI (A bk)b= Qn J Qn 1OQn 1 ObnSn 1 nbnb1Sb0* *a1 Sa。Knl的选择是闭环特征方程的极点位 于期望位置K KonF(S) (Si 1SnaniSn1* *ai Sa。anan 1 KnaiaiKia。a。K。于是（4）求对应a。ao, a

6、ix的Ka1,an 1 an(由对应x的K去求）Kx Kx KT 1x Kx所以 K KT 1状态反馈极点配置算法 问题：对已经给定的系统（及状态反馈后的期望极点，设计控制律u Kx v确定矩阵K1）期望极点情况下的特征多项式nai S ao(S *) Sn ans1i 12）求引入状态反馈后的待定参数的特征多项式3)令两个多项式例：x Ax buSI (A bK)相等确定 Ky Cx0 1 0A 00102310 0 0kx设状态反馈控制2,1 i。解：期望特征多项式为(s 2)(s2 2s 2)s3将极点配置在4s6s 4引入状态反馈后的特征多项式为:32s (3 k2)s(2 k1)s

7、( k0)s 10SI (A bK)0 s1k0 2 ki s (k2 3)与期望的特征多项式比较系数可以得K Ko K1 K2441方法2:如果A不是能控标准型而且阶数较咼则1）求 |SI A Sn an1Sn1ai Sa。2)求期望特征多项式n（S *） Sn a；1Sn1i 1a；Sa。3)计算 K a。ao，a1 冃,an 1an 14)K是按能控标准型形式计算的，如果A不是能控标准型，贝y：通过 K KT需先求出变换矩阵T ,再求K KT 1。输出反馈定理：单输入单输出能控系统（ A， b， c） 通过线性输出反馈不能实现闭环系统的极 点任意配置。证明略53系统镇定冋题定义：若系统（

8、A, B, C）通过状态反馈能 使其渐近稳定，则称该系统是可镇定的。定理：系统（A, B, C）采用状态反馈可镇定的充要条件为其不能控子系统是渐近稳定的。证明：设系统（A,C）不完全能控，贝y按能控性分解可得:a t 1at0Ai2a 22T 1BBiCT Ci C2（Aii，Bi，Ci）为能控子系统（A22，0，C2）为不能控子系统系统的特征方程为：det SI a det SI AI t SI Aii=det0Ai2det SIAiidet SIA22SI A22引入状态反馈后:KX, K K1 k2- Aii a bk0A12a 22Bi KiK0A1IBiKiA12Bi K 2a 22

9、特征方程det SI (A BK) det si (AiiBi Ki) ?det siA22通过适当选择Ki可以使能控子空间实现极点配置，而不能控子空间不受 K的影 响。若不能控部分是渐进稳定的，则系统可 通过状态反馈使整体渐进稳定。5.5状态观测器（1）状态反馈是实现控制目标的主要手 段，在不能直接检测状态信号时需要通过采 用状态观测器重构的办法来获得代替的状 态信号。（2）设系统（A，B，C）的状态向量x 不能直接测量，若利用 u，y作为信号源产生 x，使得：lim （X X ）0则称产生X的环节为系统的状态观测器。（3）存在性定理：系统（A，B，C）状态观测器存在的 充要条件是其不能观测

10、子系统是渐进稳定 的。证明：系统（A，B，C）不全能观，则经结 构分解可得：BB1 C Ci 0B2X X1 A A110X2A21 A22子系统(Aii, B , C)为能观子系统。设 x? xx?12为 x 的估计值，G G1G2为反馈矩阵构造x? Ax? Bu G yy?= A GC x? Bu 定义估计误差exe x x?Ax Bu AGCx?，则误差的状态方程为:GC x? Bu GCx= A GC x= A11 0A12 A22x? = A GC eG1C1 0e1G 2C1 0e2G1C1 )e1G2C )e1 A22 e2e1e1( A11e2( A1可通过适当选择Gi使其渐近

11、稳定除选择G2外还要 能观子空间是渐近稳定的。(4) 状态观测器的实现 状态观测器的结构如图 516(a)e2A22是渐近稳定的，即不圈E-16(方)G(y ?)期望获得渐近 可知：?)Bu如果初始条件x(0)x(0)，则利用(A , B , C)构造一个完全相同的系统是可能的，但 严格保持一致的是不可能的，因此得到： lim (x x>)0t如果引进输出反馈 效果，由图 5- 16 (a)5? AX Bu G ( y A GC )? Gy结构图可以简化为图5- 16 (b)ffl 5-16 (b)估计误差为 于是：e x 5? Ax Bu (A GC)? Gy Bu A GCe平面的显

12、然，若使A GC的特征根全部位于面则有：pm e 0当(A，B，C)系统不完全能观，但不 能观子系统是渐近稳定的，则仍可以构造状 态观测器，但e的衰减速度将不完全通过 任意选择，而要受到不能观子空间子系统极 点的位置限制。例:x 1 0x 1u，y 2 1x八001，设计状态观测器使其极点位于(-10, -10 )。解法A GCg； 2 11 2g1 g12g2 g2S (AGC)S220 100比较后可得g1g260.5100如果阶数过高，可采用能观标准型的方法NCACAn1CAnNCACT 1 LNL N此例SILa1 11C1A101a1an 1CCALNLNan 11a2a3a1a2an 11S2a11A T 1 *ATB T 1BCT反馈矩阵A GC00© 01 011©21S©12SI (A GC)S21S 1 ©2G1(©2 1)S gi(S©1©2©1©210)2 S220S 100比较可得:©1g210021由x变换到X的状态下应有:10060.521100与解法一的结果是相同。G TG的说明：5?) Te(A GC)e因 x TX , 故 e