数列求和常见的种方法

1、数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有 求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数 学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和

2、公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn =n（a1 F = na1 +血卫d2 2(q=1)2、等比数列求和公式：sn = 21（1 -qn） a1 -anqL 1-q1-q(qH1)3、Sn1n(n+1)kz12、Sn =送 k-n(n +1)(2n+1)k=165、n 1S%krn(n+1)2例 1已知 log 3 X =1log 2 3求 X + x2 +x3 +xn +的前n项和.解：由 log 3 X =二log 2 31log3 X = Tog3 2= x =-由等比数列求和公式得23nSn=X+X +X +X（利用常用公式）1 11-X_ x(1-xn)

3、 _ 2(2n) _ 1 1 h _1 戸2的最大值.例 2设 S= 1+2+3+n, n N；求 f(n)=(n + 32)Sn 卡用公式）解：由等差数列求和公式得1Sn=2n(n+1)，Sn（利用常f(n2d2 _ .34641 _ 164/8 2n+34 + ( Jn-)+50nVn50当仁士，即 n_ 8 时，f（n）ma50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中an 、 b n 分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn =1+3x+5X2 +7X3 + 中（2n- 1）xn解：由题可知，（2n-1）x

4、2的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列n_4 IX 的通项之积设 xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2门 _用（设制错位）一得 (1-x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4+ +2x2(2 门_ i)Xn（错位相减）4n -1再利用等比数列的求和公式得：（1-x）Sn =1+2x匚-（2 n-1）xn1 -X。(2n- 1)xn* -(2n+ 1)xn + (1 + x)(1-X)2Sn =例4求数列|,A,|3,罟，前n项的和.解：由题可知，绎的通项是等差数列2n的通项与等比数列!的通项之积2 22n设 Sn =? +丄 + n2 2 2 22462n+ +

5、+ +23 24+2n +（设制错位）一得(2)Sn= 2 + 2亠22 22 23 24 2n2 2n（错位相减）Snn +2=4-尹三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a+an）.例 5求证：Cn* +3C1 + 5C： + + (2n+ 1)C；=( n+ 1)2n.证明： 设 Sn =C： +3cn +5C； + +(2n +1)Cnn把式右边倒转过来得Sn =(2n +1)Cnn +(2n-1)C：4 + +3（反序）Sn(2n +1)Cn+(2 n-1)cn + +3Cn +cn.+得

6、2SnnJn=(2 n+2)(C； +C1 + +CT+C；：) =2( n+1)”2n（反序相加）Sn=(n +1)公例 6求 sin21 +sin22 +sin23 +sin2 88 +sin289 的值解：设 S =sin 2r + sin22+sin23+ +sin2 88 + sin289将式右边反序得2勺202 勺2 它2S =sin 89 +sin 88 + ”+sin 3 + sin 2 +sin 1（反序）又因为 sin X =cos(90-x),sin2x+ cos2x=1（反序相加）202 窃20202百2百亠亠2S=(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 + co

7、s 2 )+ +(sin 89 +cos 89 ) = 89 S = 44.5已知函数(1)证明：/（+人1-力二1 ；(2)爬卜遵卜打三+/丄IW丿110丿解:（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边二右边(2)利用第（1）小题已经证明的结论可知,两式相加得:2S = 9x y +/I 110 丿=9所以二I.+丄练习、求值： 3+仃+尹厨+齐正+亍吋四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆幵，可分 为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例 7求数列的前 n 项和：1 +1,- +4*3 n-2，a aa1 1 1解：设 Sn

8、=(1 +1) +(+4) +(飞 +7) + +3n -2)aaa将其每一项拆幵再重新组合得+1) +(1 + 4 + 7 +3n 2) a（分组）当a= 1时，Sn(3n-1) n (3n +1) n=n +=2 2（分组求和）当aHl时，&+ (3n 1)n = a a12a-1+(3 n-1)n2例8求数列n（n+1）（2n+1）的前n项和.解：设 ak =k(k +1)(2k +1) =2k3 + 3k2 +knnSn =2： k(k +1)(2k +1) = Z (2k3+3k2 +k)k壬km将其每一项拆幵再重新组合得（分组）n2 艺 k3Zk 二kvnk2+5： kk 二=2(

9、13 + Z3 + ” 十 n3) +3(12 +22 + + n2)十(1 + 2 + ”十 n)n2( n+1)2十 n(n +1)(2n+1)十 n(n +1)2 2（分组求和）n(n +1)2( n +2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项.通项分解（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的（裂项）如：1an=f (n +1) _ f (n)sin 1；5 = tan(n +1) -tanncos n cos(n +1)anann(n +1)n +1(4) an =(2n)2(2n-1)(2 n+1)小爲n1 2n

10、+1n(n1)(n+2)Vn(n+1)(n+1)(n+2)n +2ann(n+1) 2n2(n +1)-nn(n +1)2nnA(n+1)2，则Sn=1 -(n + 1)2n(7)an(An +B)(A n+C) C-B(A n+B An+Can例9品 n+1求数列（裂项）项求和）例 10项的和.（裂项）1 +73的前n项和.=(72-71)+(73-72)= 7-1在数列an中,解:anann+1n+1an=Jn+1一 Jnn+1（裂+(Jn +1 - J n)n+1，又bnan“a n十,求数列bn的前n+1bn =n n +121= 8(-=0数列b n的前n项和)n n +1（裂项Sn

11、 =8(1) + (3122334求和）1=8(1 苗8nn+1例 11求证：COS0 Js cos1Js2 0cos1NN2cos88 cos89 sin 1解:+COS0 cosV cos1 cos2+COS88 COS89sin1 = tan(n+1) -tanncos n cos(n+1)（裂项）+cos0 cos1 cos1 cos2+COS88 COS89（裂项求和）1 (tan 1 Q_tan 0 ) + (tan2 tan1 J + (tan3Q tan2)+ tan 89_tan88 sin 1 -(tan89-tanO ) = cotf = COS1sin1si n1sin

12、 1原等式成立答案.223挖+ 2科+ 3丿六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + COS178 + cos179。的值.解：设S= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cos n = cos(180 一 n（找特殊性质项）(cos1 + COS179 )+( cos2 + cos178 )+ ( cos3 + cos177)+ -+( cos89+ cos91+ cos90（合并求和）例

13、 13数列3 n : 31 =1,32 =3,33 =2,3计=3n出3n，求 S2002.解：设S2002 = 31 + 32 + 33 + 3200231 二1, 32 =3, 33 =2, 3nH2 =3n+3n 可得36k+ +36k42 中361卡+36144 +36k 书 +36k 书=0（找特殊性质项）S200231 + 32 + 33 + + 3 2002（合并求和）=(ai +32 +33 + 36)+(37 +38+ -312)+ ”+(36kH1 +36k书+M36k 书) 31999 + 32000 + 32001 十 3200236k + +36k42 +36k43

14、+36k+4例14在各项均为正数的等比数列中，若3536 =9,求log 3 34 + log 3 32 + log 3 310的解军：设 Sn =log3ai +log3 32 + Mlog3 印。由等比数列的性质 m+n = p+q= 3m33 p3q殊性质项）和对数的运算性质logaM +logaN =logaM N 得（找特（合并求S(log 3 3log3 310(log 3 3 log 3 39 -+(log 3 35 中 logs as)和）(log 3 *1 810 ) + (log 3*2 9) + f + (log 3 a5 6 )=log 3 9 +1003 9 + .+

15、 log3 9七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1+11+111 + +11丄二1 之和.n个11 1解：由于I1?*警于9=9（10k_1）（找通项及特征）1+11+111 +111 17n个1111 1=一仆。1 -1) +-(102 -1) +-(103 -1) +.+ -(10n -1)9999（分组求和）11=(101 中102 +103 + +10n)- (ht1LL21)99n个 1_ 1 10(10 -1) n910-19=丄(10n+ _10 -9n)81例 16C已知数列an : an =8,求送(n + 1)(an a.十)的值.(n +1) (n +3) nrn解：,(n+1)(an-an 8(n+1)(n+1)(n+3)(n+2)(n + 4)（找通项及特征）(n +2)( n + 4) (n + 3)( n+4)（设制分组）1（裂项）1 1 +8(n + 3 n-丄)+8(丄n4 n+2 n + 4n+3 n + 4（分组、裂项求CoC 12 (n+ 1)(an -and =4W (n 4和）111=4一 + ) + 8 ”一3 44=133提高练习：1.已知数列设数列设数列中，Sn是其