拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换

1、拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1拉氏变换的基本性质线性定齐次性叠加性L fi(t) f2(t)Fi(s)F2(s)微分定般形式Lf2dtl3dt2sF(s) f(0)s2F(s)sf (0) f( 0)L dnf (t) dtnsnF(s)nsn k f (k 1)(0)k 1f (k 1)dk ”)()dtk 1初始条件为0L響snF(s)积分定般形式L f(t)dt血Lf(t)(dt)2寺sF(s) f(t)dtt0f(t)(dt)2t 0L f(t)(dt)n守f(t)(dt)nt 0初始条件为0共n个L f(t)(dt)n甲 s4延迟定理(或称t域平移定理)Lf(t T

2、)1(tT) eTsF(s)5衰减定理(或称s域平移定理)Lf(t)eat F(s a)6终值定理lim f (t)lim sF(s)7初值定理lim f (t) lim sF(s)8卷积疋理ttL0f1(t)f2()d L0f1(t)f2(t)d F1(s)F2(s)2 .表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)11S (t)121T (t)(t nT)n 0z彳Ts1 ez 131s1(t)zz 14丄tTz2 s(z 1)25丄eT2z(z 1)3 s22(z 1)361t!lim ( 1) ( z )n 1 sn!lam01n (aT )a

3、 0 n! a z e71at ezs aaiz e81X at teTaTTze(s a)2/aT 2(z e )9a”at1 e(1 eaT)zs(s a)(z 1)( z eaT)10b aatbteezz(s a)(s b)aTbTz ez e11sin tzsin T2 2 sz2 2zcos T 112s2 2 scos tz(z cos T)z 2zcos T 113e sin tze sin T2 2(s a)2caTT-2aTz 2ze cos T e14s ae cos t2aT_z ze cos T2 2(s a)z 2ze cos T e151t/T azz as (1

4、/T)lna3.用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展 开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式F(s) asbmsmbmism1nn 1ans an 1sRs bods ao(n m)，bo,bi, bmi,bm都是实常数；m,n是正整数。按式中系数 ao,ai,.,ani,a A(s)这时,0无重根F(s)可展开为F(s)CiC2sSisS2n个简单的部分分式之和的形式。Cnn Cis sn i 1 s s代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。(F-1 )式中，S,S2, 在Si处的留数,Sn是特征方程A(S) = 0的

5、根。Ci为待定常数，称为F(s) 可按下式计算：ci lim (s s)F(s)S Si(F-2)或Ci竺A(s)s Si(F-3)式中，A(S)为A(S)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(F-1) 可求得原函数nStCei 1n Cf(t) L1 F(s) L1 旦i 1 S Si(F-4)A(S) 0有重根 设A(s) 0有r重根S1， F(s)可写为B(S)(s S)r(S Sr 1) (S Sn)= CrCr 1(s S)r (s s)r1式中，S1为F(s)的r重根, 其中，Cr 1，,Cn 下式计算：CiCiSSiCnsSnCr 1(s S1) S Sr 1Sr 1，,Sn为F(s)的n-r个单根；仍按式(F-2)或(F-3)计算，Cr , Cr 1，,C1则按厂 Cr lim (s Si)r F (s)S SiCrlimdr/ r(s S1 ) dsS1F(s)Cr1 lim j!s siSi)rF(s)(F-5)Ci1(r 1)!slimSld(r 1)dS(SSi)rF(s)原函数f(t)为 f(t) L1 F(s)Cr