全等三角形_辅助线做法讲义

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线倍长中线C【夯实基础】 例： ABC中,AD是 BAC的平分线,且 BD=CD求证AB=AC方法1:作DEL AB于E,作DF丄AC于F,证明二次全等方法2:辅助线同上，利用面积 方法3:倍长中线AD ABC中AD是BC边中线【方法精讲】常用辅助线添加方法方式1:延长AD到E,使 DE=ADCE作 CFLAD于 F,作BE1AD的延长线于E连接BEN连接CD【经典例题】连接BE例ABC中, AB=5 AC=3求中线AD的取值范围例2:已知在 ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上，DE交BC于 F, 且 DF=EF 求证：BD=CE

2、例3:已知在 ABC中 , AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC延长BE交AC于 F,求证: AAF=EF提示：倍长AD至G,连接BG证明BDGA CDA三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如图，在 ABC中，ABAC，D E在BC上，且DE=EC 过 D作 DF / BA 交 AE于点 F，DF=AC.求证：AE平分 BAC提示:C方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CH例5:已知 CD=AB / BDAM BAD AE是 ABD的中线,求证:/ C=/ BAE提示:倍长AE至F,连结DF证明 A ABEA FDE( SAS进而证明 A ADFA ADC(

3、SAS【融会贯通】1、在四边形ABCD中, AB/ DC E为BC边的中点，/ BAE2 EAF, AF与DC的延长线相交于点 F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE DF交于G证明AB=GC AF=GFD所以 AB=AF+FC2、如图，AD为 ABC的中线，DE平分 BDA交AB于E, DF平分 ADC交 AC于 F.求证：BE CF EFCAT3、已知：如图，ABC中, C=90 , CM AB于 M, A交CMT D,交BC于T,过D作DE'提示：过T作TN丄AB于N、一 M平分 BAC证明BTN截长补短法思路：当已知A27BCED二 EITE

4、 观ECD引辅助线或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时:&土右=c，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法:延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例 1.如图， ABC中,/ AC*2/ B,/ 1*/2。求证：A吐AC+ CD证法一：（补短法）延长AC至点F,使得AF*AB在 ABDftA AFD中加=肿Zl= Z2AD ABDA AFD( SASV/ AC* 2/B/ AC* 2/F而/Ad F+/ FDC/ F=/ FDC CD= CF而 AF= AC+ CF二 A

5、F= AC+ CD二 AB= AC+ CD证法二：（截长法）在AB上截取AE* AC,连结DE在 AEDftA ACD中AE= ACZl= Z2AD=AD:. AEdA ACD( SAS.'.2Z=+ ZEQ左Zb =:.EE = SD=DCIAS =+.DE=DC, ZASD= ZC丁三曲Q = Z占十 ZEDS, ZACB = 2Z5例2.如图,在Rt ABC中,A吐AC / BAC= 90°, / 1 = / 2 , CE!BD交BD的延长线于E,证 明: BD=2CE分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE转化为证两，再证 ABDA AC

6、FCS 二 FS 二一CF 线段相等的问题，分别延长BA CE交于F ,证 BEFA BEC得得 BD= CFo1、如图, ABC 中,AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求证:CD! ACC2、如图，AC/ BD EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证;AB = AC+BD3、如图,已知在£aBC内,BAC060 ,BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC ,BQ+AQ=AB+B P4、如图,在四边形 ABC冲,BOBA,AD= CD BD平分 ABC ,AAAC 40° , P, Q分别在BABC的角平分线。求证:QAF 人C求

7、证： A C 1800BB5.已知：如图, ABC中,AD平分/ BAC若/ C=2Z B,证明:AB=AC+CD.6.已知：如图， ABC中,/ A=60，/ B与/ C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE.7.已知：如图，在正方形 ABC冲，E为AD上一点，BF平分/ CBE交CD于F,求证：BE=CF+AE.与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂 直等条件时，

8、一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目 图形和已知条件。截取构全等B B如图1-1，条/ AOCh BOC 女口取A B如图1-2，ABAC3.已知：如图2-5,/ BACK CAD,AB>AP CEl AB1AE=2 (AB+AD .求证：/ D+/ B=180。Ac44.已知：如图2-6,在正方形ABCD中, E为CD的中点，F为BC上的点，/ FAE= DAE 求证：AF=AD+C。例1.已知：如图21FH2 证：BD=2CE分/CAB交CD于F,过F作CDIAB垂足为D, AE平-7 ,在 Rt ABC中,/ACB=90 ,分析：给出了角平分线给

9、出了边上的一点作角平分线的垂线，可延EC4D 图示3-1 B图2-7A长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3.已知：如图3-3在 ABC中, AD AE分别/ BAC的内、外角平分线，过顶点 B作BN垂直AD,交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=M。分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA1AF,从 B1111而有BF2 2 2 2已知，如图，/是直角三角形。C=2Z A, AC=2BC 求证:图3-4BAAC2.已知：如图，AB=2ACF/ 仁/2, DA=DB 求证：DCLAA 图 4-1 BDBCBCIDB图4-2GB3.已知CE AD是 AB

10、C的角平分线，/ B=60°,求证:CYr-4.已知：如图在 ABC中，/ A=90°, AB=AC BD是/ ABC的平分线，求证：BC=AB+AD（5）、且垂直一线段，应想到、角平分线等腰三角形的中线例6.如图7 , A ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分/ ABC交 了龜AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点 E。求证：BD=2CE证明：延长BA CE交于点F,在 BEF和 BEC中,V/ 仁/2, BE=BE/ BEFW BEC=90 , BEFA BEC 二 EF=EC 从而 CF=2CE又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90°,故/ 仁/ 3。在 A ABD和 ACF中， / 仁/3, AB=AC/ BAD/ CAF=90 ,A ABDA ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE（六）、借助角平分线造全等CD注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线。1:如图，已知在 ABC中，/ B=60°, ABC的角平分线 AD,CE相交于点0,求证：0E=0D2： （06郑州市中考题）如图, ABC中,AD平分/ BAC DGIBC且平分BC, DEI AB于E, DF丄AC于 F. （1）说明