非线性振动汇总

1、 目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析11.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG）31.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD）41.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：51.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩51.3.2在平动坐标系中外力矩的表达71.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程71.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：81.4.1同步涡动的临界转速：91.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：91.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：101.5mathematic源代码112. 威尔逊-法求解等加速时的瞬

2、态涡动幅频特性122.1 分析122.2 MATLAB编程求解16两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长直径弹性模量，材料密度。固定在离支承处的圆盘厚，直径，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。为自转角位移，取。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。求：画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；应用软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；应用数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振

3、幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG）1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD）1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。欧拉角表示的刚性支承偏置

4、转子位置示意图圆盘无偏心，图中为固定坐标系，为过圆盘形心的平动坐标系，为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。当圆盘以自转角速度绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量在旋转后的动坐标系中的投影用第2类欧拉角表示为 （1-1）注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负轴旋转，固角速度，这与第1章所述有所不同。在平动坐标系中圆盘对形心的动量矩为 （1-2）式中 （1-3）由于动坐标轴与的夹角的夹角很小，有代入对圆盘形心的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有 （1-4）注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标

5、系下动量矩的最终形式是一致的。1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达下面分析作用在弹性轴上的力矩。作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩和阻力矩。由材料力学知，圆轴在平面上弹性恢复力和弯矩 （1-5）注意，力矩的下标表示在平面内的力矩。同理圆轴在平面内弹性恢复力和恢复力矩 （1-6）因忽略阻尼，所以没有阻力矩。由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影 （1-7）注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。如果考虑扭转刚度，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩为1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心的动量矩定理 （1-8）整理得到描述相对圆

6、盘形心运动的定点转动微分方程 （1-9）再加上圆盘随形心运动的平动微分方程 （1-10）这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。对于圆轴截面，。第2和第3个方程可简化为：（1-11）1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：由题目给出的条件代入数据，得：，（因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有1.4.1同步涡动的临界转速：当圆盘转动为同步正进动时。由方程：（1-12）代入数据，得临界角速度：临界转速：当同步反进动时，由方程：（1-13）代入数据得临界角速度：临界转速：1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：由偏置单盘转子

7、稳态自由涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为： （1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：（1-15）取不同值时，经Mathematic算出对应的值，如下表所示：01721.3269.2839-1721.3-269.2842001926.589276.2289-1540.8-262.0176002408.598289.0732-1251.01-246.66110002973.112300.489-1043.04-230.56614003600.57310.5334-896.845-214.25818004273.044319.3285-794.088-198.28520004621.

8、761323.3033-754.491-190.5731.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：1.5mathematic源代码2. 威尔逊-法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性2.1 分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力，不计重力，没有重力矩，只有保持转子作等加速转动的外力矩。取广义坐标，有前面分析可知，系统微分方程简化为 （1-16）转子形心的瞬态涡动幅频特性:圆盘的转动惯量为转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量，由影响系数法假定转子受单位力作用求转子的位移和转角，其表达式为 （1-17）假定转子受单位力矩作用求转子的位移和转角，其表达式为 （1-18）从而得柔度矩阵 （1-19）则刚度矩

9、阵为 （1-20）对于等截面圆轴，有等加速过程中，不考虑中的第三式，由威尔逊-法设转子涡动微分方程为 （1-21）式中分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。例如，对于单盘对称放置转子，有 （1-22） （1-23）设转子按式（1-1）给定的条件作等加速度旋转。威尔逊-法是线性加速度法的扩展，就是将时间细化为很小的时间间隔。假定由到的时间间隔内，结点的加速度按线性变化，加速度变化如下图所示：令表示时间增量，其中，于是对从到的时间区间内，假定 （1-24）经过积分与推导后可以由到时刻的向量，把这些时的向量代入运动微分方程后得 （1-25）把不含的项移到右边，得到 （1-26）式中 （1-

10、27） （1-28）由以上式子可以解出位移向量，经过推导可以得到下面各式，将代入下面各式中，并令，可以得到时刻的向量： （1-29）当某时刻t瞬时节点的位移，速度，加速度已知，同时还知道通过上式求出该节点时刻的位移，联立上式求得时刻的位移速度加速度，由此可求得任意瞬时各节点的位移，速度，加速度。这个求解过程可通过计算机编程实现。对于时刻轴系各节点的位移，可用所研究问题的运动微分方程求得，具体步骤如下：(1) 设定初值和计算常数：1) 设定初值，和2) 取参数，选择时间步长，积分常数(1-30) (1-31)（2） 生成刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C，并形成等效刚度矩阵： (1-32)（3）

11、 对做三角分解： 或（4） 计算等效载荷向量：（1-33）（5） 对每一时刻计算时刻的位移向量： （1-34）（6）计算时刻的加速度，速度和位移： （1-35）2.2 MATLAB编程求解求得加速度图如下加速度速度图如下速度求得位移图如下位移2.3 MATLAB源代码clcclear% 结构运动方程参数M=;K=;C=;a0=6/2;a1=3/;a2=2a1;a4=ao/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=/2;a8=/6;% 威尔逊参数theta=1.4;dt=0.02; % 时间间隔tau=dt*theta;% 数据处理eqd=load('acc_ElCentro_0.34g_

12、0.02s.txt'); % 加速激励，第一列是时间，第二列是加速度n=size(eqd,1);t=0:dt:(n-1)*dt;xg=eqd(:,2)*9.8; % 对加速度进行处理dxg=diff(xg)*theta; %F=-M*xg;% D2x 加速度； Dx 速度； x 位移D2x=zeros(n,1);Dx=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:n-1 K_ba=K+3/tau*C+6/tau2*M; dF_ba=-M*dxg(i)+(M*6/tau+3*C)*Dx(i)+(3*M+tau/2*C)*D2x(i); dx=dF_ba/K_ba; dD2x=(dx*6/tau2-Dx(i)*6/tau-3*D2x(i)/theta; D2x(i+1)= a4*(x(i