人口模型及生态模型

1、实验八人口模型及生态模型一、实验目的本实验主要涉及微积分，介绍利用微积分建立简单数学模型 的基本思想和方法，掌握 Maple在微分方程中的应用。二、实际问题1马尔萨斯人口模型马尔萨斯(17661834,是英国经济学家和社会学家)在研 究百余年的人口统计时发现：单位时间内人口的增加量与当时人 口总数是成正比的。马尔萨斯于1798年提出了著名的人口指数增长模型。模型的基本假设：人口的增长率是常数，或者说，单位时间 内人口的增长量与当时的人口数成正比。以N(t)表示第t年时的人口数，N(t t)就表示第t t年时的人口数。N(t)是整数，为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。这样

2、有N(t t) N(t)kN (t)其中k为人口的增长率，当t0时，由上式得(8.1)设初始条件为t 0时，N(0)No，马尔萨斯人口按几何级数增加(或按指数增长)的结论就是来源于方程(8.1)。方程(8.1)称为马尔萨斯人口发展方程。2逻辑斯蒂克人口模型这里将考虑自然资源和环境对人口的影响。以Nm记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。 按此定义, 在马尔萨斯人口模型中净增长率等于常数1 dN(t) kN (t) dt在马尔萨斯后，荷兰数学家威赫尔斯特(Verhulst)提出一个新的假设：人口的净增长率随着N(t)的增加而减小，且当N(t

3、) Nm时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成讐 r(1 进N(t)(8.2)其中r为常数。模型(8.2)称为逻辑斯蒂克人口模型。马尔萨斯模型对于1800年以前的欧洲人口拟合得较好。而此 处的逻辑斯蒂克模型对于17901930年间的美国人口拟合较好， 但对于1930年以后的人口估计不准。但是逻辑斯蒂克模型在生物 总数分析中还是有其广泛的应用的。只要某种特定自然环境中该 物种是独立生存的，或与其它物种相比它占有绝对优势。3捕食者一食饵模型自然界中不同种群之间存在着这样一种非常有趣的相互依 存、相互制约的生存方式，种群甲靠丰富的自然资源生长，而种 群乙靠捕食甲为生，兔子和山猫、落叶松和蚜虫都是这种

4、生存方 式的典型。生态学上称种群甲为食饵(Prey),称种群乙为捕食者 (Predato)，二者共处组成捕食者一食饵生态系统。下面是由意 大利数学家Volterra提出的一个简单的生态学模型：食饵甲和捕食者乙在时刻t的数量分别记作x(t)、y(t)，当甲独立生存时它的(相对)增长率为r，即x(t) rx，而乙的存在使甲的增长率减小，设减小的程度与种群数量成正比，于是x（t）满 足方程(8.3)x(t) x(r ay) rx axy比例系数a是反映捕食者掠取食饵的能力。捕食者离开食饵无法生存，设乙独自存在时死亡率为 d，即y（t） dy，甲为乙提供食物相当于使乙的死亡率降低，并促使其增长。设这个

5、作用与甲的数量成正比，于是y（t）满足方程y(t) y( d bx) dy bxy(8.4)比例系数b是反映食饵对捕食者的供养能力。 设食饵和捕食者的初始数量分别为(8.5)x(0) Xo,y(O) yo微分方程（8.3）、（ 8.4）及初始条件（8.5）确定了食饵和捕食者数量x（t）, y（t）的演变过程，但是该方程组无解析解。二、练习与思考1.取N。3.9 106，k 0.31，求方程（8.1）的解析解，并描绘解的图形。2.方程（8.2）是个分离变量方程，取N 0 3.9 106 ,r 0.31，Nm 197 106，求方程（8.2）的解析解，并描绘解的图形。求lim N (t)。3. 1

6、650年世界人口为5亿，当时的年增长率为3%。，用指数 增长模型计算什么时候世界人口达到 10亿（实际上1850年前 已超过10亿）。1970年世界人口为36亿，年增长率为21%， 用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番（这个结果可 信吗）。你对用同样的模型得到的两个结果有什么看法？4.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为N（t），t到t t时间内人口的增长与Nm N（t）成正比，其中Nm为环境的最大容量。试建立模型并求解，作出解的图形。5.对于由微分方程（8.3）、（ 8.4）及初始条件（8.5）确定 的方程组，试用数值解讨论以下问题：1 ）设 r 1,d 0.5,a 0.1,b 0.02, x。25, yo2，求方程（8.3）、（8.4）在条件（8.5）下的数值解，画出函数x（t）, y（t）的图形以及相图（x,y），观察解x（t）, y（t）的周期变化，近似地确定解的周期和x,y的最大、最小值，近似计算x,y在一个周期内的 平均值。2）从方程（8.3）、（ 8.4）消去dt，得到(8.6)dx x（r ay） dy y（ d bx）解方程（8.6），得到解即相轨线，说明这