微积分及数学建模

1、微积分与数学建模滕加俊前言极值在数学建模中的应用 向量代数在数学建模中的应用 目目 录录前 言 微积分是一门经典的基础 理论课，也是大学理工科专业必修的重要基础理论课。它不仅内容多，结构严谨，而且应用广泛。前 言 1*9+2=11 12*9+3=111 123*9+4=1111 1234*9+5=11111 12345*9+6=111111前 言 1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321前 言 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=

2、987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765 下面我们通过几个简单的实例，展示微积分在数学建模中的应用，以此来启发同学们运用微积分知识分析、解决实际问题，培养自己的创造性思维和应用数学的能力 。极值在数学建模中的应用内容回顾 简单例题 建模实例 又若 存在，且 ，则有下列结论： 若 ，则 为极大值。 若 ，则 为极小值。0)(xf)(xfy )(0 xf0)(, 0)(xfxf( )yf x0 x0 xx内容回顾内容回顾0()f x0()0fx0()f x0()0fx 我们在学习导数应用时，知道求极值是一个很重要的应用。设 在 处导数存在，且 ，则 称为 的驻点。 但在实

3、际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法-Lagrange算法来解决。内容回顾内容回顾内容回顾内容回顾磁盘的最大存储量磁盘的最大存储量 微型计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否记录数据0和1。这个基本单元通常称为比特（bit），为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于 ，每比特所占用的磁道长度 不得小于 ，为了数据检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道有相同的比特数。现有一张半径

4、为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域，试确定，使磁盘具有最大存储量.tb简单例题简单例题b分析建模分析建模（一）问题的提出 我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国已相当普及，为节约洗衣机用水，要求设计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然后重复加水漂洗脱水过程。建模实例建模实例节水洗衣机模型节水洗衣机模型（二）模型假设（二）模型假设（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；（2）所加洗涤剂足以将衣物洗净；（3）每次脱水后，留在衣物中的溶液的量是一定的；（4）每次添加水量必须在一定的范围内；（5）不考虑水温

5、以及水的水质对溶解度的影响；（6）当漂洗后溶液浓度小于等于一个小量时就已经达到洗涤标准。 建模实例建模实例（三）模型的建立和求解（三）模型的建立和求解建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例（四）模型的结论（四）模型的结论建模实例建模实例向量代数在数学建模中的应用 内容回顾内容回顾简单例题简单例题简单例题简单例题简单例题简单例题简单例题简单例题（一）问题的提出（一）问题的提出 2000年6月，人类基因组计划中将DNA全序列草图完成，预计2001年可以完成精确的全序列图，此后人类将拥有一本记录自身生老病死及遗

6、传进化的全部信息的“天书”。这本大自然写成的“天书”是由4个字符A、T、C、G按一定顺序排成的长约30亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列具有什么结构，由这4种字符排成的看似随机的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书的基础，是生物信息学（Bioinformatics）最重要的课题之一。 建模实例建模实例DNA序列的分类序列的分类 虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也发现了DNA序列中的一些规律性和结构。例如，在全序列中有

7、一些是用于编码蛋白质的序列片段，即由4个字符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些成果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间具有相关性，等等。这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。目前在这项研究中最普遍的思想是省略序列的某些细节，突出特征，然后将其表示成适当的数学对象。这种被称为粗粒化和模型化的方法往往有助于研究DNA序列的规律性和结构。建模实例建模实例作为

8、研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：有40个序列（见附件），请从中提取特征，构造分类方法进行分类，把结果用序列标号（按从小到大的顺序）标明它们的类别：A类： ；B类： ；非A、B类： 。请详细描述你的方法，给出计算程序。如果你部分地使用了现成的分类方法也要将方法名称准确注明。建模实例建模实例（二）问题的分析（二）问题的分析 由问题的提出我们可以知道，这是一个聚类分析问题。附件给出了10组属于A类的DNA序列，10组属于B类的DNA序列，以及20组有待进行分类的DNA序列。解决这个问题的关键在于准确描述A类和B类DNA序列的特征。利用A类，B类DNA序列的特征，对20组

9、未知序列进行判断就可以得到结果。 建模实例建模实例（三）模型的建立（三）模型的建立 在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体，把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代数知识来进行分类。 建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例（四）模型的求解（四）模型的求解建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例建模实例（五）模型优缺点分析及其改进（五）模型优缺点分析及其改进 用上述前20组已分好的数据对我们建立的模型结果进行检验发现只有第4组出错，正确率达到95%，说明我们的模型简单易行，能达到对数据进行分类的目的。但它仅仅利用了各类DNA序列中四种碱基的出现频率，而未考虑A、T、G、C四种碱基的排列次序及组合对分类的影响，所以对有些DNA序列分类会发生错误。建模实例建模实例（五）模型优缺点分析及其改进（五）模型优缺点分析及其改进 可以考虑对我们的模型进行进一步的改进。我们可以考察到A类中C的含量普遍高于B类中C的含量，而B类中T的含量又高于A类中T的含量。如果我们修改归类条件