信号与系统第二章习题(1)

1、卷积积分法：卷积积分法：求零状态响应求零状态响应内容摘要 状状态态变变量量描描述述法法输输出出描描述述法法输输入入建建立立系系统统的的数数学学模模型型求求解解系系统统响响应应定初始条件定初始条件满足换路定则满足换路定则起始点有跳变：起始点有跳变：求跳变量求跳变量零输入响应：用经典法求解零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解零状态响应：卷积积分法求解 0000LLcciiuu例题 例题例题1 1：连续时间系统求解（经典法，双零法）：连续时间系统求解（经典法，双零法） 例题例题2 2：求冲激响应求冲激响应（nm） 例题例题3 3：求系统的零状态响应：求系统的零状态响应 例题例题4 4：

2、卷积：卷积 例题例题5 5：系统互联：系统互联例2-1 强迫响应。强迫响应。状态响应，自由响应，状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零并指出零输入响应，零，求系统的全响应，求系统的全响应，已知已知系统的微分方程为系统的微分方程为描述某描述某tuterrtettetrttrttr , 00, 206dd22dd3ddLTI22 000)(zs)()(kkkrrr分别利用分别利用 00)()(zskkrr，求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。 这三个量之间的关系是这三个量之间的关系是分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：在求

3、解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： 0)(kr：起始状态，它决定零输入响应；：起始状态，它决定零输入响应； 0)(zskr：跳变量，它决定零状态响应；：跳变量，它决定零状态响应； 0)(kr：初始条件，它决定完全响应；：初始条件，它决定完全响应；解： 代代入入原原方方程程有有将将tute tuttrttrttr622dd3dd22 方法二方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 0,0zszsrr来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。全响应。 方法一方法一：利用：利用 0,0rr响应，响

4、应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。零状态响应等于完全响应减去零输入响应。 先来求完全响应，再求零输入先来求完全响应，再求零输入本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。 方法一该完全响应是方程该完全响应是方程 tuttrttrttr622dd3dd22 （1） 的的解解且且满满足足00, 20 rr方程（方程（1）的特征方程为）的特征方程为0232 特征根为特征根为2121 ，完全响应完全响应方程（方程（1）的齐次解为）的齐次解为 ttAAtr221ee 因为方程（因为方程（1）在）在t0时，可写为时，可写为 tutrttrttr62dd3dd22

5、 显然，方程（显然，方程（1）的特解可设为常数）的特解可设为常数D，把，把D代入方程代入方程（2）求得）求得3 D所以方程（所以方程（1）的解为）的解为 3ee221 ttAAtr下面由冲激函数匹配法定初始条件。下面由冲激函数匹配法定初始条件。 （2）由冲激函数匹配法定初始条件据方程（据方程（1 1）可设）可设 tubtattr 22dd tuattr dd 无跳变无跳变tr代入方程（代入方程（1 1），得），得 tuttrtuatubta6223 匹配方程两端的匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得，及其各阶导数项，得 t 2 a所以所以 22000 arr 200 rr 代代入入把把20,

6、20 rr 3ee221 ttAAtr1, 021 AA得得，所以系统的完全响应为，所以系统的完全响应为 0 3e2 ttrt trzi再求零输入响应再求零输入响应2.求零输入响应 是是方方程程响响应应因因为为激激励励为为零零，零零输输入入trzi 02d3dd22 trdttrttr（3） 的的解解。，且且满满足足 0000 2000zizizizi rrrrrr（3）式的特征根为）式的特征根为2121 ，方程（方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为）的齐次解即系统的零输入响应为 ttBBtr221ziee ttBBtr221ziee 式解得式解得，代入，代入，由由)4(0020zizi r

7、r2, 421 BB所以，系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 0 e2e42zi ttrtt下面求零状态响应。下面求零状态响应。 3.求零状态响应 零状态响应零状态响应= =完全响应完全响应零输入响应，即零输入响应，即 0 3ee42zs ttrtt因为特解为因为特解为3 3，所以，所以强迫响应是强迫响应是3 3，自由响应是，自由响应是tt2ee4 方法二 是是方方程程零零状状态态响响应应trzs tuttrttrttr622dd3dd22 （5） 的解的解且满足且满足000zszs rr 项项由由于于上上式式等等号号右右边边有有t 应应含含有有冲冲激激函函数数，故故tr zs 将发生

8、跳变，即将发生跳变，即从而从而tr zs 00zszsrr 处是连续的。处是连续的。在在而而0zs ttr以上分析可用下面的数学过程描述以上分析可用下面的数学过程描述 tuatrttubtatrt zszs22dd ,dd代入（代入（5 5）式）式 tuttrtuatubta6223 根据在根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得该平衡相等，得 t 2 a于是于是 002000zszszszs rrarrt0时，方程为时，方程为 tutrttrttr62dd3dd22 齐次解为齐次解为 ee221ttDD ，特解为，特解为3 3，于是有，于

9、是有 3ee221zi ttDDtr 得得由初始条件由初始条件00, 20zszs rr1, 421 DD所以，系统的零状态响应为所以，系统的零状态响应为 0) ( 3ee42zs ttrtt方法一求出系统的零输入响应为方法一求出系统的零输入响应为 0 e2e42zi ttrtt完全响应完全响应= =零状态响应零状态响应+ +零输入响应，即零输入响应，即 0)( 3e2 ttrt例2-2 。试求其冲激响应试求其冲激响应为为已知某系统的微分方程已知某系统的微分方程)(2dd36dd5dd22thtettetrttrttr 冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。冲激响应是系统对单位冲激信

10、号激励时的零状态响应。在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方法来求解本例。法来求解本例。 方法：奇异函数项相平衡法方法：奇异函数项相平衡法 奇异函数项相平衡法 首先求方程的特征根，得首先求方程的特征根，得3, 221 因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，冲激响应为冲激响应为 tuAAthtt3221ee 对上式求导，得对上式求导，得 tuAAtAAtthtt322121e3e2dd tuAAtuAAtAAtthtttt322132212122e9e4 e3e2dd (1) 入入原原

11、微微分分方方程程，整整理理，以以及及上上述述三三个个等等式式代代将将tte tttAAtAA 23232121 则得则得 22332121AAAA解得解得 7421AA代入（代入（1 1）得）得 tuthtt32e7e4 例2-3已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，求该系统对激励求该系统对激励的零状态响应。的零状态响应。 1sin tututte O12t teO12t tr113对激励和响应分别微分一次，得对激励和响应分别微分一次，得 2 ttte 32 1 tututututrO 12t te O12t tr 113 11 时

12、时，当当激激励励为为tte 1 tututr响响应应为为 时，时，于是，当激励为于是，当激励为tte 1 tututr响响应应为为)1()()( tututh即即 时时的的零零状状态态响响应应为为当当激激励励为为1sin tututte 2cos112dsin2dsin11sin110tututtututututututututthtetrtt此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出错误的结果。错误的结果。例2-4ottf1121ottf21111tuet 时时不不等等于于零零；在在其其原原因因在在于于 ttf1 111 tttf 点点有

13、有一一个个冲冲激激信信号号只只在在从从图图形形上上看看， ，即即分分并并不不能能恢恢复复原原信信号号然然而而，对对此此微微分分信信号号积积tf1 tftuftt111d1ddd ，并并画画出出波波形形。计计算算卷卷积积)()( 21tftf 显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。从原理上看，如果从原理上看，如果 tdfttftftfdddd1121则应有则应有 tftfddd11很容易证明，上式成立的充要条件是很容易证明，上式成立的充要条件是 0

14、lim1 tft 1e 11121 tutftutft此题若将此题若将f1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性看成两个信号的叠加，则也可以利用该性质计算：质计算： tututtuututututututftftsttttttt e11de1de1ded1ed1dd1e1e11e11e1111111111111121 1e1e1 11 tututt注注意意： o12t)()(21tftf 例例2-52-5对图对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图统的冲激响应如图(b)所示。所示。(1)求复合系统的冲激响应求复合系统的冲

15、激响应h(t) ，画出它的波形；，画出它的波形；(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统用积分器、加法器和延时器构成子系统的框图的框图; ththba和和ootttha thb12111(b)thathbthatfty(a)分析 本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。本例的总系统是几个子系统串、并联组合而成的。对因果系统而言，对因果系统而言，串联串联系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应系统的冲激响应卷积卷积；并联并联系统的冲激响应等于各并系统的冲激响应等于各并联子系统的冲激响应联子系统的冲激响应相加相加。系统的零状态响应，可以用系统的微分方程求解，也系统的零

16、状态响应，可以用系统的微分方程求解，也可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一可以用系统的冲激响应与激励信号的卷积求解。后一种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限种方法回避了起始点跳变问题，但是，这种方法只限于求零状态响应，不能求完全响应。其原因在于卷积于求零状态响应，不能求完全响应。其原因在于卷积运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不运算是一种线性运算，它满足叠加性、齐次性与时不变性。而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响变性。而当系统的起始状态不为零时，系统的完全响应不满足叠加性、齐次性与时不变性。应不满足叠加性、齐次性与时不变性。 （1）求h(t) 复复合合系系统统的的冲冲激激响响应应为为为为时时，系系统统的的零零状状态态响响