信号与系统第三章：傅里叶变换

1、LOGO傅里叶变换傅里叶变换上海大学机自学院上海大学机自学院上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾v上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t t，故这一方法称之为，故这一方法称之为“时域分析时域分析法法”。该方法比较

2、直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，可概括为如下几个方面：可概括为如下几个方面：v1 1、时域分析的基本概念、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。系统时域响应的概念和四种主要响应形式。v2 2、离散系统的时域分析、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。v3 3、单位冲击响应与单位样值响应、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质

3、；通过微分方程或差分方程的求解方法。单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。v4 4、卷积积分、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分的重要性质。的重要性质。v5 5、卷积和、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤。方法和步骤。第三章主要内容第三章主要内容v3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 (一般了解）一

4、般了解） v3.2 傅里叶级数傅里叶级数 v3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 v3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换）非周期信号的频谱（傅里叶变换） v3.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 v3.6 卷积定理卷积定理v3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换v3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理抽样信号的傅里叶变换与取样定理时域分析时域分析v 时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且，任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且， 对于连续时间系统对于连续时间系统

5、对于离散时间系统对于离散时间系统 v 在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统。连续时间系统。)()()(tfthtyf)()()(kfkhkyf变换域变换域v 变换域一般指：频域、变换域一般指：频域、S S域和域和Z Z域；也就是通过各种数学变域；也就是通过各种数学变换，将时域的信号与系统变换到频域、换，将时域的信号与系统变换到频域、S S域和域和Z Z域中进行分域中进行分析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分

6、复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。v 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。于研究信号的传输和处理问题。111sin(),cos(),0, 1, 2jntntnt en 任意周期信号可以表示为一系列不同

7、频率的正弦或虚任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。指数函数之和。本章以正弦函数或本章以正弦函数或(虚指数函数虚指数函数)为基本信号为基本信号任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。虚指数函数积分。信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。概念相似。yxyvC2xvC1AyxvCvCA21 yxvv , 为各相应方向的正交单位矢量。为各相应方向的正交单位矢量。 它们组成一个二维正交矢量集。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到

8、信号空间，在信号空矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。3.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数矢量正交集矢量正交集v 矢量正交的定义矢量正交的定义 矢量矢量 和和 内积为零，即内积为零，即v 矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。如三维空间中，如三维空间中，所组成的集合就是矢量正交集，所组成的集合就是矢量正交集，且完备且完备。矢量矢量 表示为表示为1

9、,2,3()yyyyVV V V1,2,3()xxxxVV V V310TxyxiyiiV VV V(1,0,0)xV (0,1,0)yV (0,0,1)zV (1,2.5,4)A2.54xyzAVVV矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。（2）正交函数集正交函数集 在区间在区间 上的上的n个函数（非个函数（非零）零） ,其中任意两个均满足其中任意两个均满足 为常

10、数，则称函数集为常数，则称函数集 为区间为区间 内的正交函数集。内的正交函数集。,21tt)(1t )(2t 210)()(21ttdttt )(1t ,21tt（1）正交函数正交函数 在在 区间上定义的非零区间上定义的非零实实函数函数 和和 若满足条件若满足条件 则函数则函数 与与 为在区间为在区间 的正交函数。的正交函数。 正交函数集正交函数集)(2t )(1t ,21tt)(tn 21)()(ttjidttt , 0 , 0jikjiiik )().(1ttn ,21tt完备正交函数集完备正交函数集之外不存在函数之外不存在函数 如果在正交函数集如果在正交函数集 )().(1ttn)(t满

11、足等式满足等式 210)()(ttidttt ni,.,2 , 1，则称该函数集为完备正交函数集。，则称该函数集为完备正交函数集。三角函数集：三角函数集： 在区间在区间 内组成完备正交函数集。内组成完备正交函数集。1111111,cos,cos2,cos,sin,sin2,sin,ttn tttn t00( ,)t tT12/T 111,cos,sinntnt 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t t在一个周期内，在一个周期内，n n=1,.=1,. 2112cossin0TTntmdt2112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,TTTmnnt

12、mt dtmn由积分可知由积分可知三角函数集三角函数集10, 1, 2)jnten 复复指指数数函函数数集集：（其其中中 111111110tTjntjntttTjntjntteedtmneedtT12T为为指指数数函函数数的的公公共共周周期期1n,jnte 当当为为一一完完备备的的正正交交函函数数集集复指数函数集复指数函数集信号分解为正交函数信号分解为正交函数设有设有n个函数个函数 )(, . , )( , )(21tttn在区间在区间 ) , (21tt构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数 用这用这 个正交函数的个正交函数的线性组合来近似，可表示为：线性组合来近

13、似，可表示为： )(tfn njjjnntCtCtCtCtf12211)()(.)()()( 根据最小均方误差原则，可推出：根据最小均方误差原则，可推出： dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212 式中：式中：dttKttii 21)(2 如果分解的项数越多则误差愈小。即如果分解的项数越多则误差愈小。即 n，均，均方误差方误差 02 ，即，即 在区间在区间 内分解为无穷多项内分解为无穷多项)(tf) , (2 1tt之和。之和。将周期信号将周期信号 )()(mTtftf 在区间在区间 Ttt 00,内展开成完内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。

14、如果完备的正交函数集备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数三角形傅里叶级数”或或“指数形指数形傅傅 里叶级数里叶级数”，统称为傅里叶级数。，统称为傅里叶级数。 3.2 傅里叶级数傅里叶级数1111111,cos,cos 2,cos,sin,sin 2,sin,ttntttnt10, 1, 2)jnten （设有一个周期信号设有一个周期信号 它的周期是它的周期是 ，角频率，角频率 它可分解为：它可分解为：一、周期信号的分解一、周期信号

15、的分解01111cos()sin()2nnnnaantbnt122/FT( )f tT011211121( )cos()cos(2)2sin()sin(2)af tatatbtbt其中其中 称为傅里叶系数，称为傅里叶系数， 。nnba , 12TdttfTaTT 220)(12傅里叶系数如何求得傅里叶系数如何求得dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212 式中：式中：dttKttii 21)(2 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin(),1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT由上式可见，由上式可见，

16、是是 的偶函数的偶函数 ， 是是 的奇函数，的奇函数， nannnaa nbnnnbb 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin(),1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT由于由于是同频率项是同频率项,因此可将其合并因此可将其合并11cossinntnt和和式中：式中： ,. 3 , 2 , 1 , 22 nbaAnnn00aA )arctan(nnnab 则有则有 00Aa . , 2 , 1 , cos nAannn nnnAb sin . , 2 , 1 , n nAnnnAA 可见，可见， 是是 的偶函数，即有的偶函数，即有 而而 是是nn的

17、奇函数，即有的奇函数，即有 nn 0111212011( )cos()cos(2)2cos()2nnnAf tAtAtAAnt一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ， 是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅， 是其初相角。是其初相角。 nnAnn1cos()nnAnt可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直直 流分量流分量 ，一次谐波或基波，一次谐波或基波 (它它的角的角 频率与原周期信号相同频率与原周期信号相同)，二次谐波，二次谐波 ， 以此类推，三次，四次等谐波。以此类推，三次，四次等谐波。 20A111cos()At212cos(2)A

18、t狄里赫利条件狄里赫利条件（1 1）在一周期内，间断点的数目有限；）在一周期内，间断点的数目有限；（2 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3 3）在一周期内，）在一周期内，dttfTtt11)(电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当f(t)满足狄里赫利条件时，满足狄里赫利条件时， 才存在。才存在。nnncba, 结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。一般而言一般而言 称为称为 次谐波次谐波 ， 是是 次谐波的振幅，次谐波的振幅， 是其初相角。是其初相

19、角。 nnAnn1cos()nnAnt0111212011( )cos()cos(2)2cos()2nnnAf tAtAtAAnt解：解： 例例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数将下图中的方波信号展开为傅里叶级数01111212021102( )cos()sin()22( )cos()22( 1)cos()cos()nnnnTTnTTaf tantbntaf tnt dtTnt dtnt dtTT1111101221sin()sin() 202200,1,2,3,nTntntTnTT nanT21202110211112( )sin()22( 1)sin()sin()02121co

20、s() cos() 2021111 cos() cos()0,2,4,6,8,21 cos()4,1,3,5,7,TTnTTbf tnt dtTnt dtnt dtTTTntntTT nT nnnnnnnnnnn它仅含有一、三、五、七它仅含有一、三、五、七. 等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,.3 , 2 , 1 ,0 n0 na ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnnbn 11114111( )sin()sin(3)sin(5)sin()351,3,

21、5,f ttttntnnTT/ 20t(a)基波基波0T/ 2Tt(b)基波基波+三次谐波三次谐波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次谐波三次谐波+五次谐波五次谐波+七次谐波七次谐波（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。点。（3）即使）即使 ，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的的偏差。但在

22、均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。真值之间没有区别。 (吉布斯现象）吉布斯现象）n%9若给定的若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而使计算较为简便。等于零从而使计算较为简便。)(tf（1） 为偶函数为偶函数)(tf则有则有 ，波形对称于纵坐标。，波形对称于纵坐标。 )()(tftf 二、奇偶函数的傅里叶系数二、奇偶函数的傅里叶系数,.2 , 1 , 0 22 nabaAnnnn)( 为为整整数数mmabarctgnnn 从而有从而有 22110221224( )cos()( )cos()(0,1,2,)2( )sin()0(1,2

23、,)TTTnTTnaf tnt dtf tnt dtnTTbf tnt dtnT（2） 为奇函数为奇函数)(tf则有则有 ，波形对称于原点。，波形对称于原点。)()(tftf 进而有进而有 )(2)12(为为整整数数mmbAnnn , 2 , 1n这时有这时有,2,1n21004( )sin()nTnabf tnt dtT实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。 )()()()()()( tftftftftftfevodevod 2)()()(2)()()( tftftftftftfodev其中其中 )()()()( tftftftfev

24、evodod*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。而且与原点的选择有关。如果如果 的前半周期波形移动的前半周期波形移动 后，与后半周期波形后，与后半周期波形 对称于横轴即：对称于横轴即： )(tf2T)2()(Ttftf ，称为奇谐函数。，称为奇谐函数。 此时傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量，而不此时傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即含有偶次谐波分量。即 042420 bbaaa0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1奇谐函数奇谐函数（3） 为奇谐函数为奇谐函数)(tf例例3.2-2

25、v例：周期矩形信号如图所示，若重复频率例：周期矩形信号如图所示，若重复频率=5 KHz，脉宽为，脉宽为20微妙，幅度微妙，幅度=10 V，求傅立叶，求傅立叶级数展开的直流分量大小，以及基波、二次谐波级数展开的直流分量大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。和三次谐波的有效值。解：因为为偶函数，所以解：因为为偶函数，所以 ，故只有直流分量和余弦分，故只有直流分量和余弦分量，并有量，并有 ，利用公式求解如下：，利用公式求解如下：直流分量：直流分量： 所以直流分量为所以直流分量为n次谐波系数：次谐波系数：0nbnnaA 21051102010222)(23622220TAAdtTdttfTaTT

26、1222200aA12211122224( )cos()cos()sin2TTnnnAaf tnt dtAnt dtATTnT其有效值为：其有效值为：nnAA22将将 代入上式，得基波有效值为：代入上式，得基波有效值为：同理当同理当 和和 时，得二次和三次谐波的有效值时，得二次和三次谐波的有效值分别为：分别为： 1n 1112410 2sinsin181.3922AAT2n3n1212245 2sinsin361.32222AAT13132410 2sinsin541.22323AAT讨论讨论 关于关于n的奇偶性的奇偶性nnnnAba ,nnnnAbaA 22nnnnabtg arg是是n的偶

27、函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。是是n的偶函数。的偶函数。是是n的奇函数。的奇函数。2122122( )cos()2( )sin()TTnnTTnnaf tnt dtaTbf tnt dtbT 将上式第三项中的将上式第三项中的 用用 代换，并考虑到代换，并考虑到 是是 的的偶函数，即偶函数，即 ； 是是 的奇函数的奇函数, 则上式可写为则上式可写为 :nn nAnnnAA n nnn 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式2cosjxjxeex 1111()()01011( )2211222nnnnj ntj ntnnjjjntjntnnnnAAf teeAA eeA ee

28、011( )cos()2nnnAf tAnt11( )2njjntnnf tA ee11111101101101111( )2221122211222nnnnnnjjjntjntnnnnjjjntjntnnnnjjjntjntnnnnAf tA eeA eeAA eeA eeAA eeA ee如将上式中的如将上式中的 写成写成 （ ），）， 则上式可以写成则上式可以写成:0A00 100njjtA ee令复数量令复数量 ，称其为，称其为复复傅里叶傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为系数，简称傅里叶系数。其模为 ，相角为，相角为 ， 则得傅里叶级数的指数形式为则得傅里叶级数的指数形式为 njnj

29、nFeFeAnn 21nFn 1( )jntnnf tF e11( )2njjntnnf tA ee复傅里叶系数复傅里叶系数 )(21sincos2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn 2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin()0,1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT122112221122211( )cos()( )sin()1( )cos()sin()1( )0, 1, 2,TTTTnTTTjntTFf tnt dtjf tnt dtTTf tntjnt dtTf t edt nT 1( )jntnnf tF e1221( )Tjnt

30、TnFf t edtT0, 1, 2,n 1221( )TjntTnFf t edtT0, 1, 2,n nF这就是求指数形式傅里叶级数的复系数这就是求指数形式傅里叶级数的复系数 的公式。的公式。 任意周期信号任意周期信号 可分解为许多不同频率的虚指数信号可分解为许多不同频率的虚指数信号 之和，其各分量的复数幅度（或相量）为之和，其各分量的复数幅度（或相量）为 。)(tfnF1()jnte nnnjbaF 21 与与 互为共轭。互为共轭。nFnF 与与 的关系。的关系。nFnF nnnnnjbajbaF 2121nnnnnAFFFF21 三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数01111( )co

31、s()sin()2nnnnaf tantbnt2122122( )cos(),0,1,2,2( )sin()0,1,2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。数或虚指数函数之和。1( )jntnnf tF e1221( )TjntTnFf t edtT0, 1, 2,n 111sin(),cos(),(0, 1, 2)jntntnt en 复傅里叶系数复傅里叶系数 与与 ， ， 的关系的关系nFnAnbna nnjnnjbaeAFn

32、 2121 222121nnnnbaAF nnnabarctan nnnjnnFjbaeAFn2121 nnnnnFFAa cos nnnnnFFjAb sinnnFA2 3.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。方法。一、一、 频谱图的概念频谱图的概念已知周期信号已知周期信号f(t)可用傅里叶级数来表示。可用傅里叶级数来表示。或或1011( )cos()2jntnnnnnAf tAntF e1

33、2211( )2nnTjjjntTnnnFA eF ef t edtT如果将如果将 ， 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。1nAn1nn如果将如果将 ， 的关系绘成下面的线图，的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。1nFn1nn 频谱图幅度频谱幅

34、度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 nnFc曲线曲线 n周期信号采用指数形式展开后的频谱周期信号采用指数形式展开后的频谱, , 因因Fn一般一般为复数为复数, ,称为复数频谱称为复数频谱. .图3-2 周期信号的复数频谱周期信号的复数频谱 nnFnF1111n1n1n000例例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出试画出f(t)的振幅谱和相位谱。的振幅谱和相位谱。 解解 f(t)为周期信号，题中所给的为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为表达式可视为f(t)的傅里的傅里叶级数展开

35、式。据叶级数展开式。据 可知，其基波频率可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期，基本周期T=2s，=2、3、 6 分别为二、三、六次谐波频率。且有分别为二、三、六次谐波频率。且有 011( )cos()2nnnAf tAnt8 . 04 . 063AA304563其余 0nA2321AA120A20100210图图 3.3-1 (a)振幅谱；振幅谱； (b) 相位谱相位谱 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8图 3.3-2 信号的双边频谱

36、(a) 振幅谱； (b) 相位谱 |Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no234561530451020453015304510204530234562(b)二、二、 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱T 设有一幅度为设有一幅度为E，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期性矩形脉的周期性矩形脉 冲，其周期为冲，其周期为 ，求其复傅里叶系数。，求其复傅里叶系数。图 3.3-3 周期矩形脉冲12 2 0TT T2 tftE2 2 0TT T2 tft11111111122211112221221111111111( )()( 2 sin)2sin2()22TT

37、jntjntjntTTnnnjjaEE eFf t edtedtTTTjnnEEeejjTnjTnnnSnTT xxxSasin)( -取样函数取样函数 1.它是它是偶函数。偶函数。 2. 当当 时，时， 。0 x1)( xSa3.当当 时，函数值为时，函数值为0。 0 kkx 它是无限拖尾的衰减振荡。它是无限拖尾的衰减振荡。11()2nnFSaTx xSa0 2 2 3 3 E . 2, 1, , 0 n该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为： 图3.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）11()2nnEFSaT1111( )()2jntjn

38、tnnnnEf tF eSaeT41nF 2 4 4 2 011()2nESaT第一个零点时谱线的序号：第一个零点时谱线的序号：零点的位置：零点的位置：相邻谱线的间隔：相邻谱线的间隔：第一个零点的位置：第一个零点的位置： 0 k41nF 2 4 4 2 011()2nESaT4T112T12n12nk12nk12n112Tn 由上图由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。代表一个正弦分量，所以

39、此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率w1的整数倍频率上，即含有的整数倍频率上，即含有w1的各次谐波分量，而决不含有的各次谐波分量，而决不含有非非w1的谐波分量。的谐波分量。 第三为收敛性，第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nw1的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nw1的增大而逐渐减小。的增大而逐渐减小。 当当nw1时，时，|Fn|0。 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋

40、近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。无穷小量之间仍保持一定的比例关系。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。概念。 令令一、傅里叶变换一、傅里叶变换3.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱称称 为频谱密度函数。为频谱密度函数。( )F1111( )limlim1nnTTFFF TT当周期当周期T1 趋近于无限大时，趋近于无限大时，w1 趋近于无穷小，取其

41、趋近于无穷小，取其 为为 ，而，而 将趋近于将趋近于 ，nw1 是变量，当是变量，当 时，它是离散值，当时，它是离散值，当w1 趋近于无限小时，它趋近于无限小时，它 就就成为连续变量，取为成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。，求和符号改为积分。 d 2d如何求频谱密度函数？如何求频谱密度函数？1111( )limlim1nnTTFFF TT由式由式 可得可得1111221( ),( )TjntjntTnnnf tF eFf t edtT1111221( )( )TjntjntTnnnF Tf t edtf tF TeT10112T 成为成为)1()(lim)( dtetfTFjFtjnT

42、)2()(21)( dejFtftjdef （1）式称为函数）式称为函数 的傅里叶变换的傅里叶变换 。)(tf（2）式称为函数）式称为函数 的傅里叶逆变换。的傅里叶逆变换。 )(jF)( jF)(tf)(tf)( jF 称为称为 的频谱密度函数或频谱函数的频谱密度函数或频谱函数. 称为称为 的原函数。的原函数。 )()( jFtf简记为简记为 jFtf 于是当于是当 时，式时，式T1111122( )1( )TjntTnjntnnF Tf t edtf tF TeT 与周期信号的傅里叶级数相类似，在与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时，是实函数时， F()、()与与R()、 X(

43、)相互之间存在下列关系：相互之间存在下列关系： )()()()()( jXRejFjFj dtttfjdtttfdtetfjFtj sincos)()()( dtttfR cos)()()()(22 XRjF )()(arctan)( RX dtttfX sin)(是是 的偶函数。的偶函数。 是是 的奇函数。的奇函数。 在在f(t)是实函数时：是实函数时： (1) 若若f(t)为为t的偶函数，即的偶函数，即f(t)=f(-t)，则，则f(t)的频谱的频谱函数函数F(j)为为的实函数，的实函数， 且为且为的偶函数。的偶函数。 (2) 若若f(t)为为t的奇函数，即的奇函数，即f(-t)=-f(t

44、)，则，则f(t)的频的频谱函数谱函数F()为为的虚函数，且为的虚函数，且为的奇函数。的奇函数。 结论结论)(tg 1例例3.4-1 下图所示为下图所示为门函数门函数（或称矩形脉冲），用符号（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，幅度为，幅度为 。求其频谱函数。求其频谱函数。01 tg 2 2 t二、二、 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换解：解： 如图所示的门函数可表示为如图所示的门函数可表示为 2 ,02 ,1 tttg其频谱函数为其频谱函数为 dtetfjFtj )()( jeedtejjtj 22221)2(2sin2sin22 Sajj 2 Satg图 3.4

45、-1 门函数及其频谱01 tg 2 2 t0 2 aSjF 2 4 4 2 实偶实偶实偶实偶一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位和相位 谱谱 两个图两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用形才能将它完全表示出来。但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。一条曲线即可。 为负代表相位为为负代表相位为 ， 为正代表相位为为正代表相位为0.( ) ()F j()F j()F j由图可见，第一个零值的角频率为由图可见，第一个零值的角频率为 （频率（频率 ）。）。 21当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。当脉冲

46、宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。 对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。之间的频段为信号的频带宽度。 )1(这样，门函数的带宽这样，门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄，脉冲宽度越窄， 其占有的频带越宽。其占有的频带越宽。1f0 jF 2 4 4 2 (时域越窄时域越窄,频域越宽频域越宽)例例3.4-2 求求单边指数函数单边指数函数的频谱函数的频谱函数 dtetfjFtj )()(0t图图 3.4-2 单边指数函数单边指数函数1 tetua a 0 a aua atet解解: 将单边指数函数的表示式将单边指数函数的表示式

47、 代入到式代入到式 tetua a 0 1 )()(0 a a a a a a jdteedtetfjFtjttj这是一复函数这是一复函数,将它分为模和相角两部分：将它分为模和相角两部分：)()arctan(22)( 11)( a a a a a a jjejFejjF 幅度谱和相位谱幅度谱和相位谱221)( a a jF)arctan()(a a 频谱图如下图所示：频谱图如下图所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位频谱01/a(a) 振幅频谱 jF图 3.4-3 单边指数函数 0 t a aua ate例例 3.4-3 求下图所示求下图所示双边指数信号双边指数信号的频谱函数的频谱函数

48、eat10tf1 (t)e-at解：上图所示的信号可表示为：解：上图所示的信号可表示为：tetfa a )(10 , a a或者写为或者写为 0 ,0 ,)(1tetetftta aa a将将 代入到式代入到式 ， 可得其频谱函数为：可得其频谱函数为：)(1tf dte )t (f)j(Ftj a a a ajj 11 001dteedtee)j(Ftjttjt a a a a 222 a aa a 其频谱图如下所示其频谱图如下所示 ：F1(j)02/a2212 )( a aa a jF实偶实偶实偶实偶eat10tf1 (t)e-at例例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数求下图所示信号的频谱

49、函数-eat10tf2 (t)e-at-1解解: 上图所示的信号可写为上图所示的信号可写为 ： 0 ,0 ,)( 2tetetftta aa a（其中（其中 ) 0 a a dtetfjFtj )()(2 a a a a a a a ajjdteedteetjttjt 110 0 222 a a j-eat10tf2 (t)e-at-1其频谱图如下图所示：其频谱图如下图所示：X2()01/a-1/a a a 22222jXjjF 实奇实奇虚奇虚奇-eat10tf2 (t)e-at-1例例3.4-5 求求冲激函数冲激函数的频谱的频谱 1)()( dtetttj 即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲

50、激函数的频谱是常数 ，如下图所示。其频，如下图所示。其频 谱密度在区间谱密度在区间 处处相等，常称为处处相等，常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。 10t (t )01F(j)(a)(b)图 3.4-6 单位冲激函数的频谱1)(t 冲激函数一阶导数冲激函数一阶导数的频谱函数为的频谱函数为 dtetttj )()( 按冲激函数导数的定义按冲激函数导数的定义 ：)0()1()()()()(nnndttt 可知可知 jedtddtetttjtj 0 )(即即 jt 同理可得同理可得nnjt)()()(例例3.4-6 求求单位直流信号单位直流信号的频谱的频谱 ttf- 1)(显然，该信号不

51、满足绝对可积条件，但其傅里叶变换显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换 却存在。它可以看作是函数却存在。它可以看作是函数 )0()(1 a aa atetf当当 时的极限时的极限 。则直流信号的频谱函数也应。则直流信号的频谱函数也应 是是 的频谱函数的频谱函数 当当 时的极限。时的极限。 0a)(1tf)(1 jF0a a0eat1tf1 (t)e-at0 a a a a a aa aa aa a dd 22212020limlim a a a a2)arctan(2lim0 所以所以 )(22lim220 a aa aa a 即即 )(2 1 )(1tfa当当 趋近于零时趋近于零时我

52、们已经知道我们已经知道 的频谱函数为：的频谱函数为：2212 a aa a )j(F 0 , 0 , lim a aa aa a2202 f1 (t)0ta1a2a3a4(a)a4a3a2a102 ( )(b)02 ( )(b)0t1(a)图图 3.4-8 直流信号的频谱直流信号的频谱图图3.4-7 求求 1的极限过程的极限过程例例3.4-7 求求符号函数符号函数的频谱的频谱 符号函数定义为符号函数定义为 0 ,10 ,00 ,1 sgntttdeft显然显然,该函数也不满足绝对可积条件。该函数也不满足绝对可积条件。 函数函数 可看作函数：可看作函数：)sgn(t 0 ,0 ,)( 2tete

53、tftta aa a)0( a a0a当当 时的极限。时的极限。则它的频谱函数也是则它的频谱函数也是 的频谱函数的频谱函数 ，当，当 时的极限。时的极限。 )(2tf)(2 jF0a a我们已知我们已知 的频谱函数为：的频谱函数为：)(2tf222222)()()( a a jjXRjF00)0(2 F它是它是 的奇函数，在的奇函数，在 处处 。 因此，当因此，当 趋近于零时，有趋近于零时，有 ：a j2 0 , 0 , 2lim220 a a a aj0jt2)sgn(0 它在它在 处的值等于零。处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b) 图图 3.4-9 sgn(t)及其频谱

54、及其频谱例例3.4-8 求求阶跃函数阶跃函数的频谱的频谱 对上式两边进行傅里叶变换，得对上式两边进行傅里叶变换，得 :11( )sgn( )22u tt11 ( ) sgn( )22u tt11 ( )( )( )()u tjj 图图 3.4-10 u (t)及其频谱及其频谱0 ()R()X()0R() ()-1/ X()0-1/ 1/ 20t10t1/ 20t-1/ 21/ 2 Sgn(t)其频谱的实部和虚部分别为其频谱的实部和虚部分别为: 频谱的虚部是频谱的虚部是 的奇函数，在的奇函数，在 处其值等于零。处其值等于零。 )()(R1)(Ximportant( )( )tu t同同表表 常用

55、傅里叶变换对常用傅里叶变换对 ( )( )tu t同同续表续表 ( )( )tu t同同v思考题：思考题： 1.为什么要对信号进行变换域分析？为什么要进为什么要对信号进行变换域分析？为什么要进行傅立叶变换？行傅立叶变换？ 2.幅频特性和相频特性代表的是什么含义？意义幅频特性和相频特性代表的是什么含义？意义何在？何在？v预习内容：预习内容： 傅立叶变换的性质，具体内容包括：傅立叶变换的性质，具体内容包括： 线形特性；奇偶特性；对称特性；尺度变换性；线形特性；奇偶特性；对称特性；尺度变换性； 时移特性；频移特性；微分特性；积分特性；时移特性；频移特性；微分特性；积分特性； （1）频域分析与频谱的基

56、本概念；）频域分析与频谱的基本概念；（2）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，并具有）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，并具有“三角形式三角形式”和和“复指数形式复指数形式”的两种形式；的两种形式； 三角形三角形ntjnneFtf)(dejFjFFtfdtetftfFjFtjtj)(21)()()()()(1上次课的回顾：上次课的回顾：011( )cos()2nnnAf tAnt 任一信号可以有两种描述方法：任一信号可以有两种描述方法：时域的描述时域的描述 频域的描述频域的描述 本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一 域中所引

57、起的效应。域中所引起的效应。 为简便，用为简便，用 表示时域与频域之表示时域与频域之 间的对应关系，即间的对应关系，即 )()( jFtf )( jF tf dtetftj )( )(tf dejFtj )(213.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、一、 线性线性 )()(11 jFtf)()(22 jFtf若若则对于任意常数则对于任意常数 和和 ，有，有1a2a)()()()(22112211 jFajFatfatfa 傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。 线性性质有两个含义：线性性质有两个含义： 1、齐次性、齐次性 它表明，

58、若信号它表明，若信号 乘以常数乘以常数 （即信号增大（即信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数倍），则其频谱函数也乘以相同的常数 （则其频谱（则其频谱 函数也增大函数也增大 倍）；倍）； )(tfaaaa 2、可加性、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信 号的频谱函数之和。号的频谱函数之和。二、二、 奇偶性奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。 如果如果 是时间是时间 的实函数，那么根据：的实函数，那么根据： )(tft)sin()cos( tjtetj dtttfjdtttf

59、dtetfjFtj)sin()()cos()( )()( )()()()( jejFjXR 其中频谱函数的实部和虚部分别为：其中频谱函数的实部和虚部分别为： dtttfXdtttfR)sin()()()cos()()( 频谱函数的模和相角分别为：频谱函数的模和相角分别为：)()(arctan()()()()(22 RXXRjF 1、若、若 f(t) 是时间是时间 t 的实函数，则频谱函数的实函数，则频谱函数 的的 实部实部 是角频率是角频率 的偶函数，虚部的偶函数，虚部 是角频率是角频率 的奇函数，的奇函数， 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函的奇函数。数。 jF X R )( jF )

60、( 2、如果、如果 是时间是时间 的实函数，并且是的实函数，并且是偶函数偶函数，则，则 )(tft 0)cos()(2 )cos()()()(dtttfdtttfRjF 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是，它是 的的实偶实偶函数。函数。 )( jF)( R3、如果、如果 是时间是时间 的实函数，并且是的实函数，并且是奇函数奇函数，则，则 )(tft 0)sin()(2 )sin()()()(dtttfjdtttfjjXjF 频谱函数频谱函数 等于等于 ，它是，它是 的的虚奇虚奇函数。函数。 )( jF)( jX 4、 的傅里叶变换的傅里叶变换)( tf dtetftftj )()( 令令 ，得