【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)

1、高三物理专题：“缩放圆、“转动圆或“轨迹圆心圆一缩放圆带电粒子以 任意速度、沿特定方向 射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如下图，图中只画出粒子带正电的情景 ，速度V0越大,运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线 PP上由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动 的临界条件时，可以以入射点 P为定点，圆心位于 PP 直线上，将半径放缩作轨迹，从而探 索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为放缩法.X ( X K X X X P或者l. 假设磁感应强度为 B的匀强磁场仅存在于第一象

2、限如图2，一带负电的粒子质量为m,带电量为q从距原点0为d的A点射入。假设粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x轴射出，那么粒子的速度不能超过多少？2【解析】作图如下图，由 r r si nVd , qvB m ，解得: rqBdvm 1 sin2. 如下图，宽度为d的匀强有界磁场， 磁感应强度为 B, MM和NN是磁场左右的两条边 界线.现有一质量为 m，电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，0= 45.要使粒子不能从右边界 NN 射出，求粒子入射速率的最大值为多少？【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率Vmax

3、的粒子的轨迹.由题图可知：2R1 cos 45 = d，又 Bqvmax= mVmax联立可得：(2+ V?)BqdVmax =m3. 如下图，匀强磁场的磁感应强度为 B,宽度为d，边界为CD和EF. 电子从CD边界 外侧以速率vo垂直匀强磁场射入， 入射方向与CD边界间夹角为 电子的质量为 m,电 荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧 EF射出，求电子的速率 vo至少多大？JuAX*VX*XXXDikCD 一侧射出，速率【解析】当入射速率 vo很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从 EF射出，如下图.X M电子恰好射出时，由几何知识

4、可得：r + rcos 0= d又r =応Be由得:Vo =Bedm(1+ cosq)故电子要射出磁场时速率至少应为Bedm(1 + cosq)4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B,其横截面如下图,磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r和(+ 1)r.圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m、电荷量为q的带电粒子，不计粒子重力为使这些粒子不射出磁场外边界，粒 子从圆心处射出时速度不能超过直 也 n(任I 刿尿 p l)qBr/n /ft ifi m【答案】A【解析】如下图，带电粒子不从磁场中穿出， 其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切，所以(-2 +

5、1)r rx2= r2+ r2 x,解上式可得rx= r，又由rx= mV，可得,qB选项A正确。二转动圆或轨迹圆心圆带电粒子以一定速度、沿任意方向 射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动， 其轨迹半径相同，假设射入初速度为V0,那么圆周运动半径为 R= mvo/qB，如下图.同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径 R= mvo/qB的圆这个圆在下面的表达中称为轨迹圆心圆上.由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为 R= mvo/qB的圆沿着 轨迹圆心圆平移，从而探索出临界

6、条件，这种 方法称为平移法5. 在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图3所示。一带正电的粒子以v=1.2 R06m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场。该粒子的比荷为 q/m=108c/kg不计粒子重力，那么粒子射入磁场的速度方向与ab夹角为多少时，在磁场中运动时间最长。6.如图4甲，在一水平放置的平板 方向垂直于纸面向里。许多质量为MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ,磁场m带电量为+q的粒子，以相同的速率 v沿位于纸面内的各个方向，由小孔 0射入磁场区域。不计重力，不计粒子间相互影响。以下图中阴影局部表示带电粒子可能经过的区域，

7、其中R=mv/qB。图乙中哪个是正确的?三练习题7. 在y0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于 xOy平面向外，原点 0处有一离子源，沿各 个方向射出速率相等的同价负离子， 对于进入磁场区域的离子， 它们在磁场中做圆周运动的【答案】C圆心所在的轨迹可用以下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的选项是X X M M A8. 如下图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B =0.60 T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行，在距ab的距离1 = 16 cm处，有一个点状的a放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速率都是 v= 3.0 106 m/s.a粒

8、子的电荷量与质量之比=5.0 07 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a粒子,m求ab上被a粒子打中的区域的长度.XX K X M N Wr总I1I hM X K X； *w vIuNP1 =I - R。那么所求长度为【解析】a粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动， 可求出它们的运动轨迹半径R,由qvB= mv2/R,q / mB数值得R= 10 cm，可见2R l R.由于朝不同方向发射的 a粒子的圆轨迹都过 S,可先考 查速度沿负y方向的a粒子，其轨迹圆心在 X轴上的A1点，将a粒子运动轨迹的圆心 A1点 开始，沿着 轨迹圆心圆逆时针方向

9、移动，如右图所示由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3点时，粒子运动轨迹与 ab相交处P2到S的距离为2R, P2即为粒子打中ab上区域的右边 最远点.由题中几何关系得：NF2= 2R2- l2 ；当a粒子的轨迹的圆心由 A3点移至 A点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到 A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与 ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点.可过A4点作平行于ab的直线cd,再过A4作ab的垂线，它与ab的交点即为P1，同样由几何关系可知:P1P2= NP1+ NP2，代入数值得 P1P2= 20 cm.9. 如下图，在半径为 R的圆形区域内，有匀强磁场

10、，磁感应强度为B,方向垂直于圆平面不计重力未画出.一群比荷为m的负离子体以相同速率v0较大，由p点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，那么以下说法正确的选项是A .离子飞出磁场时的动能一定相等 B 离子在磁场中运动半径一定相等C .由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长D .沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大【解析】射入磁场的粒子比荷相等，但质量不一定相等， 故射入时初动能可能不等，又因为磁场对电荷的洛伦兹力不做功，故这些粒子从射入到射出动能不变，但不同粒子的动能可能不等，A项错误.粒子在磁场中偏转的半径为r=，由于比荷和速度都相等，磁感应qB强度B为定值，故所有粒子的偏转

11、半径都相等，B正确同时各粒子在磁场中做圆周运动的周期T = 蛰，也相等，根据几何规律：圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从QqB点射出的粒子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C对沿PQ方向射入的粒子不可能从Q点射出，故偏角不最大，D错，选BC.10. 2021 北京西城模拟如下图，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度的大小为 B.许多相同的离子，以相同的速率v,由O点沿纸面向各个方向y0射入磁场区域.不计离子所受重力， 不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与 y轴交点为M,边界与x轴交点为N,且OM = ON = L.由此可判断A .这些离

12、子是带负电的c .这些离子的荷质比为 q=洁m lbB .这些离子运动的轨道半径为LD .当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过yx x科 XXxX X XX A X Xx y x xXIX X xX x阳oJf【答案】D【解析】根据左手定那么，离子带正电，A项错误；由图可知，粒子轨道半径为, B项错误;2再根据qvB = m_, q =豎,C项错误；由于ON = L,粒子半径为 扎，ON恰好为粒子圆周1 m LB22L运动直径，故D项正确.11. 如下图，在屏 MN的上方有磁感应强度为 B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.P为屏上的一个小孔.PC与MN垂直.一群质量为 m、带电量为一 q的粒子不

13、计重力，以 相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与 PC夹角为B的范围内.那么在屏 MN上被粒子打中的区域的长度为WPA2mvA.qB【答案】DB.2mvcos BqB2mv(1 sin C. qBD.2mv(1 cos B)qB【解析】由图可知。沿PC方向射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最远，为PR=鴛，沿两边界线射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最近为:2mvPQ =匚一cos 0,故在屏MNBq上被粒子打中的区域的长度为：吩PR-PQ =细甯，选项D正确.12. 2021高考广东卷如图，两个初速度大小相同的

14、同种离子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上.不计重力.以下说法正确的有存:* B* P4-*A . a、b均带正电B. a在磁场中飞行的时间比b的短C. a在磁场中飞行的路程比b的短D. a在P上的落点与 O点的距离比b的近【解析】选AD.带电离子垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动.根据洛 伦兹力提供向心力和周期公式 T= 牛、半径公式r = mu及T解决问题.qBqB 92 n带电离子打到屏 P上，说明带电离子向下偏转，根据左手定那么，a、b两离子均带正电，选项A正确；a、b两离子垂直进入磁场的初速度大小相同，电荷量、质量相等，由r =孚知qB半径相同.

15、b在磁场中运动了半个圆周， a的运动大于半个圆周，故 a在P上的落点与O的 距离比b的近，飞行的路程比 b长，选项C错误，选项D正确；根据T知，a在磁场中 飞行的时间比b的长，选项B错误.【解析】此题考查的是 定心判径画轨迹，a、b粒子做圆周运动的半径都为 R=今，画出qB轨迹如下图。圆Oi、O2分别为b、a的轨迹，a在磁场中转过的圆心角大， 由t = T =書和轨迹图可知A、2 n qBD选项正确.13. 如下图，在真空中半径r = 3.0X02m的圆形区域内， 有磁感应强度 B = 0.2 T,方向如 图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度V0= 1.0 106 m/s,从磁场边界上直径

16、ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m= 1.0 108C/kg，不计粒子重力.求：(1) 粒子的轨迹半径；(2) 粒子在磁场中运动的最长时间；(3) 假设射入磁场的速度改为vo= 3.0 XO5 m/s，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域.(sin 37 =0.6, cos 37 = 0.8)【解析】(1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径.v2rmv0厂 c、2qv0B = mR, R= 5.0 X0 匀强磁场的方向；画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；(3)匀强磁场的磁感应强度 B的大小以及最小有界匀强

17、磁场的面积S.【解析】(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外. 最小有界磁场如答案图所示. m.(2) 由于Rr，要使粒子在磁场中运动的时间最长，那么粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从右图中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，_ 2 nm丄 2% _ 2 a mT =，运动时间tm =XT=-,qB2 n qBr 3_又 sin a=-=，所以 tm = 6.5 X0 8 s.R 5/(3) R=曇罟=1.5 X0_2 m,粒子在磁场中可能出现的区域见答案图所示(以aO为直径的半圆加上以a为圆心，aO为半径所作圆与磁场相交的局部).(3)14人们到医院检查身体时

18、，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如下图，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，MN上每一地方都有粒子到达假假设放射源所放出的是质量为m、电荷量为q子，且所有的粒子速率都是 v, M与放射源的出口在同一水平面上，底片MN片MN长为L为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场.并要求底片 的带正电的粒 竖直放置，底求：/V要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：R= L/22根

19、据牛顿第二定律：qvB=专,R=mv联立解得:2mvB=- qL如答案图所示，有界磁场的最小面积为:pL2415. 在xOy平面内有许多电子质量为m,电荷量为e从坐标原点0不断以相同大小的速度 vo沿不同的方向射入第一象限，如下图.现加上一个垂直于 为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于 合条件的磁场的最小面积.xOy平面向里的磁感应强度 x轴向x轴正方向运动，试求出符【解析】所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动,v2/之亠 r mvo由ev0B= mR，得半径为r=mv设与x轴正向成a角入射的电子从坐标为x, y的P点射出磁场，那么有 x2 + R y2 = R2式即为电子

20、离开磁场的下边界b的表达式，当 a= 90 寸，电子的运动轨迹为磁场的上边界a，其表达式为：R x2+ y2= R2由式所确定的面积就是磁场的最小范围，如下图,其面积为nR2R2n 2mv02S=2422eB.16. 2021年 全国卷I 26 21分如以下图，在 0纟w3a区域内存在与 xy平面垂直的匀强磁 场，磁感应强度的大小为 B.在 t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在 xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在 0180范围内。沿y轴正方向发射的粒子在 t=to时刻刚好从磁场边界上 P 3a，a点离开磁场。求: ri i:在磁场中做圆周运

21、动的半径R及粒子的比荷q/m；时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【答案】1 R=Za、q 3 m 3Bt0速度与y轴的正方向的夹角范围是 60到120从粒子发射到全部离开所用时间为2to。Op所示，其【解析】初速度与 y,轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧 圆心为C。I4I由题给条件可以得出2 / OCP = 3此粒子飞出磁场所用的时间为Tt0 = 6 式中T为粒子做圆周运动的周期。 设粒子运动速度的大小为u,半径为R，由几何关系可得2.3 R = a 3由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有2qB u =n RT 联立式，得q 2 m 3Bt0依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以o点为圆心、op为半径的弧Mn上，如下图。设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为u、UM、U。由对称性可知u与OM、LN与ON