§6-3厄米算符的对易关系

1、§6-3 厄米算符的对易关系算符的一般运算规则和对易式1 、算符之和与积1 ）单位算符I对于任意的波函数，有(6. 42)算符A和?相等如果对于任意的波函数,都有则有A ?.(6. 43)对于任意的波函数，有I?.(A B(6. 44)显然:A,（满足交换律）A （B(A? B) <?,（满足结合律）可证:两个线性算符之和仍为线性算符.两个厄米算符之和仍为厄米 算符。4 ）算符A与E?之积砖对于任意的波函数，有(AB A(B ).(6. 45)问题：两个厄米算符之积是不是厄米算 符？研究两个算符作用是否与次序有关？对易式及其满足的恒等式算符之积一般并不满足交换律，即? 0.对易

2、式的定义A B(6. 46)若A,肉0，则称算符A与E?对易；若氏B0,则称算符A与I?不对易。 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。 具体而言，若A A, B E?,则有(A?B?) B? A? B?A?(6. 47)只有当氏B 0或BA AB时，才有(A?B?)A?B?,这时两个厄米算符A与B的积AE?才是厄米算符。 对易式 满足下列 恒等式 ：A?, B? C? A?, B?A?, B?C? A?, B?C? A?, C? , B? A?, C? ,(6. 48)A? B?, C? . A?B?, C? A?, C? B?3、逆算符A 1，则若算符A的逆算符A

3、1存在，则有AA1 A1? I可以证明，若A与I?的逆算符均存在，贝U(AI1 I?1/?1(6. 49)学的基量子力本对易式1、动量算符的各个分量之间可对易p?x, p?y 0,p?y, p?z 0,p?z, p?x 0.zx标表象中的动量算符为立即可证 .2、量子力学的基本对易式位置算符和动量算符各分量之间的对易式， 重要 ！）x , p i其中 , x, y, z 或 1, 2, 3 ，这里用了克罗内克符号1,0.可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易x, ?yx, ?z0,y, ?x0,y, ?z0,乙?x0,乙?y0；动量算符的相同分量之间是不可对易的x, ?x y, ?

4、y乙?z i凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。常量h在力学量的对易关系中起着关键性 的作用。证明:考虑坐标算符x和动量算符的x分量rx.对于任一波函数，有X?xi X Xrxi X X1、角动量算符各分量之间(X?x?xX)由于 是体系的任意波函数,所以有X?x?xXi .rx其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）角动量算符各分量之间的对易式LX, LX 0,Ly, Ly 0,I?z,i?z 0,LX,Ly i Lz,Ly,Lz i LX,Lz,Ld i L(6. 51)2、角动量算符平方与各分量之间L2, L? 0.( x, y, z).(6. 52)3、角动量算

5、符各分量与空间坐标分量之间Lx,x 0,Ey i z,I?(，可i y,L?y, xizL?y, y 0,L?y, z ix,6. 53 )L?z, zL?z, xi y,L?z, yi x0.各式可以归纳出以下规则： 从左到右，以 x y z x 依次循环指标为正，任一指标“错 位”则为负，相同指标则为零。4、角动量算符各分量与动量坐标分量之间有类似（ 6. 53 ）的关系。5、若令L? L?x i L?y,(6. 54)则有L?z, L? L?(6. 55)L? , L? 2 L?z.(6. 56) 例题 21. 2 试证明对易式 L?x, y i z. (要 掌握) 证明 利用基本对易式

6、 (21. 66) 和对易式 恒等式(21. 64) ，可以得到L?x, y yp?z zp?y, yyp?z, y zp?y, y yp?z, y y, y p?z zp?y, y z, y p?yzp?y, yz. 例题 21. 3 试证明角动量算符三分量之的对易式 (21. 67) (要掌握) 解 利用基本对易式 (21. 66) 和对易式恒等式(21. 64) ，可以得到L?x,L?y L?x L?y L?y L?x(yp?z z p?y ) (z p?x xp?z) (zp?x xp?z)(yp?z zp?y) y p?z z p?x yp?zxp?z zp?y zp?x zp?yx

7、p?zzp?xyp?z zp?xzp?y xp?zyp?z xp?zzp?yp?z zy p?x z p?z x p?y zp?z yp?x p?z zx p?y (zp?z p?z z) ( x p?y yp?x) i L?z同理可得：L?y,L?z L?y L?z L?z L?y i L?x ,以上三个关于分量的对易式，在形式上可以 合写成一个矢量公式:(21.76)二式可以看成是角动量算符的定义式，是经 典物理学中根本不可能存在的关系式。在经 典物理学中，所有物理量都是可对易的，因 此对任何矢量A总有A A = 0.然而，在量子力学中，角动量算符I?的各分量互不对 易，满足式(21.76

8、)，由此决定了角动量的系列异乎寻常的性质。§ 6-4 共司本征函数 （量子力学中的核心问题）'不同力学量同时有确定值的条件和共同本征函数通常，对大量的、完全相同的、均处在用波函数描述的状态体系的集合多次测 量力学量A,然后对所得的结果求平均，贝U 将会得一个平均值。每一次测量的结果将围 绕平均值有一个涨落A2 （A A）2*（/? A）2 d .（6. 57）(6. 58)对于任意两个力学量 A和B，普遍的不确定关系为（省略证明）A, B.(6. 59)可见:如果As Bl 0,则一般来说A和B不可能同时为零，即A与B不可能同时具有确定值，或者说，它们不可能具有共同本征态。如

9、果AB=O,则可以找到使 A=0和 B=0同时得到满足的态，即可以找到这两个算符的共同本征态。可以证明，一组算符具有共同本征函数的充要条件是，这组算符中的 任意两个算符都可以对易。例、动量算符？的三个分量?X，?y，?Z中的任意两个算符都可以对易，它们的共p(r)pX(x) py(y) Pz(z)1i(X Px yPy Zpz)/(2严1eiP r/(2严°相应的本征值是p（ px，py，pz）角动量（L2, ?z）的共同本征函数球i谐函数1、角动量z分量Lz的本征值方程以及正交归一化的本征函数L?zm( ) m m(),(6. 60)1 im()百 eim , (m 0, 1, 2

10、,)(6.61)其相应的本征值为Lz' m . (m 0, 1, 2,)2、(l?,Lz)的共同考察L2的本征值方程1?2Y(,)(6. 62).俨的本征值，是待定的无量纲参量1的本征函数从1和Lz的表达式)居sin22I?(sinsinLzi可以看出，本征值方程(6. 62)可以用分离变量法来求解。取其本征函数为Y( , )( ) m().（6. 63）将它代入本征值方程（6. 62），利用Lz的本征值方程，可得关于函数（）的方程为1 d / d 、 / m2 、 c -:r（sin 二）（） 0. sin ddsi n2为了保证上述方程解的有限性，待定参量 满足l(l 1), (l

11、 0,1,2,)通过计算，可以得到（化LZ）的正交归一化共同本征函数为Pm(cos )e'Ym()( 1)m i'211 (l m)!m)!Yl (,) (1)（6. 65）其中的P叫cos ）为关联勒让德函数，Yim（,）为球谐函数(见表6 - 1)表6 - 1球谐函数Y|m(,)1 mY|m(,)r1 Y0 01/J41/J41 0J3/4 cosJ3/4 z1 12 0J3/8 sin e iJ3/82 12 2J5/16 (3cos21)J5/16 (J15/8 cos sin e i J15/32 sin2 e 2iJ15/8J15/32总之，（L2, i?z）的共同

12、本征函数是球谐函数L2Y|m( , ) l(l 1) 2Y|m(,）,(6.6LzYim( , ) m Y|m(,), 0 d 0si nd Y|m( , )*Y|m'(,)II' mm',(6.6(l 0,1,2,； m 1,11, , l 1, l)(6. 6Ym（,）,它们满足以下两个本征值方程以及正交归一化条件:其中L2和Lz的本征值都是量子化的，I称为轨道量子数或角量子数，而m称为磁量子数。 对于给定的轨道量子数I , L2的本征函数是不确定的，由于m =l, l 1, , l，因此共有 (2I 1) 个简并态，这些简并态由Lz的本征值 m 来区分。力学量完全

13、集和本征函数的完全1、解除简并？个力学量A的一个本征值对应于若个本征函数，因此只利用 A的本征值不足以完全确定波函数;找力学量A （与A独立而又与A对易）， 得A和A的共同本征函数，仍然是简并的？找力学量A （与A1和A2独立又对易）得A，A和A的共同本征函数2、力学量完全集假定A（Ai, A2,）是一组彼此独立而又 相互对易的厄米算符，它们的共同本征函数记为，其中是一组量子数的笼统记（如丫lm（,）。如果在给定一组量子数之 后，就能够完全确定体系的一个可能状态, 则称这一组力学量（A,A2,）构成了体系的 一组力学量完全集。例、一维谐振子哈密顿算符H?的本征函数全部是非简并的，因H本身就是力

14、学量完全集，自由度为1.共同本征函数的正交归一性表示力学量的算符必定是厄米算符,而厄米算符的属于不同本征值的本 征函数是彼此正交的。因此，力学量完全集的共同本征函数具有正交 性，对于已经归一化的(,')(6. 69)态叠加原理如果一个体系刚好处于它的力学量完全集的共同本征态，则力学量A的取值就是相应的本征值A .如果体系所处的状态不是力学量A的共同 本征态，而是若干个共同本征态的线性叠加，即c1 1 c2 2cnn ，(6. 70)则按照态叠加原理可以认为，处于态下的体系是部分地处于1态，部分地处于2态咅I分地处于n态。由于力学量的取值只能是其本征值，所以只要式（6. 70）中存在某个

15、项，则相应的本征值A就是A的一种可能取值，即力学量A的取值既可以是Ai,也可以是A2,A3, ,An .希尔伯特空间与波函数统计诠释包含哈密顿量在内的力学量完全集的共同本征态，构成了量子体系的态 空间的一组完全的基矢，即体系的任何 态均可用它们来展开。于是，力学量完 全集的共同本征函数 所张开的空间，就构成了体系的一个完全的态空间，称 为希尔伯特空间。如此，体系的任何一个状态 均可用希尔伯特空间中的矢量来描写，即用力学量完全集的共同本征函数（设量子数 是离散的）来展开，即(6. 71)则共同本征函数系必须是一组完全的函数系。利用的正交归性，可以得到式(6. 71)中的展开系数为(,)* d .

16、(6. 72)如果是归一化的波函数，则有2 1.(6. 73)如果是连续变化的，则可将以上各式中求和化为积分d按照态叠加原理，展开式(6. 71)表示该体系可以部分地处在展开式中所包含的共同本征函数系的任何 个态中。展开系数c的模方表示 态部 分地处于 态的概率，或者说，表示在 态下测量力学量A得到A值的概率。狄拉克符号狄拉克符号特点：运算简捷，无需采用具体表象。微观体系的状态：用希尔伯特空间中 的一个矢量I )来表示，称为 右矢(ket)。在右矢内标上某种记号，可表示某个特 殊的态。对于本征态，常把本征值或相应的量子数标在右矢内。例、用丨n)表示能量本征态。左矢(bra) I：表示右矢的共轭

17、空中的一个抽象态矢。态矢I与态矢I 的内积记为（I ）,于是有I*）与|正交：（正交归一性设I k湘I j）为力学量完全集F的离散的本征态，则它们的正交归一 性表示为(6. 74)例题21.4 求粒子处于丫化,）态时角动量的x分量和y分量的平均值Lx,Ly以及lX, Ly.解由于Lx,Ly与Lz不对易，所以尽管球谐函数Yim(,)是L与Lz的共同本征函数，但Y|m(,)却并不是?x和l?y的本征函数。为了求出Lx和Ly的平均值，我们利用对易关系LyLz l?Z?y i ?x，可以得到Y|m( , )*LxY|m( , )dLyLz YjdY,m*LzLy Y,md 丄iY|mLy(Lz Y|m

18、)d(LzY|m)*?yY|md 丄iY|mLy(m Y|m)d(m Y|m)*LyY|md 丄miY|m* l?y d mY|m*l?yY|md 0.司理可得Ly 0由于坐标x与y的对称性，因此有LxL：,再由 L?L?XL?2yLz可得LX Ly2(1J LI)寸【1(11) 2 m2 2【例题21. 52(i212、 2 m )已知一量子态的波函数为3 心Vyj，),试求态中角动量L2和Lz的可能取值、概率以及L2和LZ.解由于 是由L2和Lz的共同本征函数球谐函数叠加而成的，而且其展开系数分别为:c3,1 213,c2,2 2/3, q, 11/3,因此由L2Yim( , ) l(l

19、1) 2Yim(,)和LzYim( , ) m Yim(,)可得，态中角动量的可能取值及其概率Cl mL212 2Lzc3,1L2c2,22 j49Yi1 :L2 2Lzc1, 1所以，态的角动量的平均值L2和Lz分别为:L22 42 42 174 212 6 2 - 299994 241 119999§6 - 5力学量随时间的变化 守恒量与对称性体系的哪一个力学量是守恒的?平均值随时间的变化在波函数 （r, t ）所描写的量子态中，力学量A的平均值d *(r,t)A (r,t).(6. 75)通常是时间t的函数（ 因为 （r, t ）是时间t的函数，A也可能显含时间t，所以A通常是

20、时间t的函数）。求A随时间的变化率?A对时间的微商为*A tdA d乜dtt(6. 76)由薛定谔方程丄(HP )*,i或f 7 0.代入式(6. 76)中，可得dAddt*A?d (H? )*y?.(6. 77)因为HP是厄米算H )，有d (H? )*y?d*H?y?代入式(6. 77)可得巫d忌dtt*(AH? H?A),(6. 78)如果力学量A不显含时间t ( 0 ),甞丽.(6. 79)如果力学量A满足7 0和/A, H?0,(6. 80)即力学量A的平均值不随时间改变守恒量0 和2 0, or 罟则力学量A称为体系的一个守恒量。例、哈密顿量不显含时间若体系的哈密顿量H不显含时间t

21、,总有HH1 0,H是体系的守恒量，体系的能量,是守恒的。例、自由粒子H? p2/2m,?, H? 0,I?,# 0动量和角动量都是守恒量。例、在中心力场中运动的粒子 H?2/2m V(r), I?, R0,?, R 0.角动量是守恒量，而动量却不是守恒量。守恒量的意义： 无论在什么状态下，量子体系的守恒 量的平均值和概率分布都不随时间 改变。好量子数：如果 初始时刻体系处在守恒量 A 的本征态 ，则随着时间的推移，体系将 保持在该本征态， 守恒量 A 总是具有 确定值。在这种情况下，守恒量A的 量子数称为 好量子数 。如果初始时刻体系并不处在守恒量 A的本征态，则以后的状态也不会是 A的本征

22、态。 在这种情况下， 尽管守恒量A并不具有确定值，但守恒量A的观测守恒量与对称、匕值的概率分布却不再随时间而改变。量子体系的 守恒量 与定态守恒量 是体系的一特殊的力学量，它与体系的哈密顿量对易；守恒量 在一切状态 （ 不管是否是定态 ） 下的平 均值和概率分布都不随时间改变。定态 是体系的一种 特殊的状态 ，即能量本征态；在定态下， 一切不显含时 间 t 的力学量 （不论其是否是守恒量 ）的平均值和测值概率分布都不随时间改变，这正是称之为定态的原因经典力学中守恒定律与对称性的密切关系。体系具有移不变性或空间均甸4性体系的动量守恒;空间转动不变性或空间各向同性体系的角动量守恒;平移不变,性或时

23、间均匀性体系的能量守恒。在量子力学中，对于一个体系的对称性的仔细分析，可以有助于了解体系的总体性 质，发掘出隐藏的守恒量，得出一些非常重 要的结论，而避免严格地求解薛定谭方程。§21 - 6量子力学的基本框量子理论基础1、热辐射 普朗克量子假说:物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量2、光电效应爱因斯坦光子假说光和粒子相互作用时表现出粒子，每一个光量子的能量E与辐射频率的关系 E h 。3、康普顿效应h光量子具有动量，P E/C 在定量二是正确的；在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍成立。4、玻尔理论原子具有离散能量的定态,两个定态之间的量子跃迁 的概念以及 频率条件:h EnEm.5、德布罗意的波粒二象性假设德布罗意波-物质波de Broglie relati on、量子力学的基本框架1、量子系统的状态用波函数描述。波函数的概率诠释(r)2 X y Z :在r点处的体积元x y z中找到粒子的概率态叠加原理2, n,等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态c1cnn1 c2 2cn nn也是这个体系的一个可能状态，