数系的扩充及复数的引入 (2)

1、 课堂教学单元教案 科目：高二数学课 题：数系的扩充与复数的引入1 数学分析： （1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。 复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。类比实数可以用数轴上的

2、点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。  （2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。 2 学情分析： 1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通

3、过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；  2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；  3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。三目标分析：（一）教学

4、要求：3.1数系的扩充和复数的概念  （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系  （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件  （3）了解复数的代数表示法及其几何意义3.2复数代数形式的四则运算  （1）掌握复数代数形式的加减运算法则  （2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义  （3）理解复数代数形式的乘除运算法则  （4）体验复数问题实数化的思想方法 （2） 高考分析： 由于复数在整个高

5、中数学所处的地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大，复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点，复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点。而复数的乘、除更是考查的重点，主要考查基本运算能力，另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何、向量知识、不等式等结合起来考查。（三）教材分析：数系的扩充与复数的引入是选修12与选修22的内容，是高中生的共同数学基础之一本部分知识的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学

6、生进一步学习数学打下了基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。 四重难点分析：3.1数系的扩充和复数的概念 教学重点：（1）数系的扩充过程 （2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件 （3）复数的几何意义 教学难点：（1） 虚数单位i的引进 （2）复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算 教学重点 （1） 复数代数形式的加减运算及其几何意义（2）复数代数形式的乘除运算 （3）复数问题实数化的思想方法复数的理

7、解与运用 教学难点 （1）复数代数形式的加减运算的规定 （2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解 （3）复数代数形式的乘除运算法则的运用五课时安排：3.1数系的扩充与复数的概念 2课时3.2复数代数形式的四则运算 2课时 6 教学建议与学法指导：（1） 教学建议：1.准确把握教学要求。2.注意相关知识的联系性，强调数学思想方法。3.恰当使用信息技术 。（2） 学法指导：  数系的扩充和复数的概念，重点在于基本概念的理解，了解人类数集发展的历史，培养开拓创新的意识，锻炼解决问题的能力，学会多角度思考问题，初次接触虚数，要从感性上认识把握，掌握

8、基本原则，关于习题，关键在于把握方法，分清题型，抓住本质。 七课时教案第一课时（第50页-52页结束）题目：数系的扩充与复数的概念（一）课型：概念课教学目标： 使学生了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质. 教学重点和难点： 教学重点：虚数单位；复数集的构成；复数相等的应用。 教学难点：复数的概念；虚数与纯虚数的区别。 第二课时（第52页- 54页结束）题目：数系的扩充与复数的概念（二） 课型：新授课教学目标： 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；会利用几何意义求复数的模。能够说出共轭复数的概念。 教学重点和难点： 教学重点：复数的

9、几何意义 教学难点：加、减运算的几何意义 ；复数乘法运算的理解.第三课时（第56页- 58页结束）题目：复数代数形式的四则运算（一） 课型：新授课教学目标： 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；掌握复数乘法，能熟练地进行复数代数形式加、减、乘的运算；理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。 教学重点和难点： 教学重点：复数的代数形式的加、减、乘运算及其几何意义。 教学难点：加、减运算的几何意义 ；复数乘法运算的理解. 第四课时（第58页- 60页结束） 题目：复数代数形式的四则运算（二） 课型：新授课教学目标： 掌握复数的代数形式的除法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的运算。 教

10、学重点和难点: 教学重点：复数的除法法则。 教学难点：复数除法运算课题：数系的扩充和复数的引入（第一课时）授课时间： 年 月 日编制人：审核人：高二数学组授课人：教学目标：知识与技能： 使学生了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质. 过程与方法： 通过类比引入、分类讨论、化归与转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感、态度、价值观： 感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用，进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育。 教学重点：虚数单位；复数集的构成；复数相等的应用。教学难点：复数的概念；虚数与纯虚数的区别。 教材分析：本章数系

11、的扩充与复数的引入是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。学情分析：在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。教学方法： 本节课主要是概念的引入、深化、理解、应用，因此

12、采用教师引导、学生探究、教师共同总结的教学方法。教学准备：多媒体.课型：新授课教学过程设计个性设计补充一.课前自主学习设计：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把

13、整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数

14、集R以后，像这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数【设计意图】通过阅读，让学生感受数系的发展与生活是密切相关的以及引入复数的必要性.2. 课堂互动学习设计：1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与-1的关系: 就是-1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是。3. 的周期性： 4. 复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。5. 复数的代数形式: 复数通常用字母表

15、示，即,把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 讨论1：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？ 对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当，就是实数0. 7. 讨论2：复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.8. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,这就是说，如果，那么 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如

16、果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 三典型例题分析：例1.请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？【设计意图】熟悉复数的结构及分类.例2.实数取何值时，复数 （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数?【设计意图】进一步熟悉复数的分类.变式：实数取何值时，复数 （1）是实数（2）是虚数（3）是纯虚数？例3.求适合下列方程的和的值 （1）; （2）【设计意图】考察复数相等的充要条件.四课堂学习检测：1求适合下列方程的和的值 （1）； （2） （3） （4）2 试用集合符号表示复数集、实数集、有理数集、整数集之间的关系.3.设集合=复数，=实数，=纯虚数，若全

17、集，则下列结论正确的是( )A. C. B. D. 4.复数为虚数，则实数满足( )A. C. 或 B. D. 且5.已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零6.已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。五教学板书设计：六教学总结反思：七课后作业设计（一课一练）课题：3.1.2复数的几何意义（第一课时）授课时间： 年 月 日编制人：审核人：高二数学组授课人：教学目标：知识与技能： 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量，掌握复数的模、共轭复数的概念。 过程与方法： 通过展示复数的几

18、何意义，培养学生的直观思维的能力。情感、态度、价值观： 培养学生学习数学的兴趣，引导他们发现和提出问题，并独立思考和研究问题，鼓励学生创造性的解决问题。 教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。教学难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。教材分析：本节课是学习复数概念的继续，是从“形”的角度研究复数特征的，也是数学中数形结合重要思想的又一体现复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用 学情分析：本节是前面介绍复数的概念、复数的代数形式的基础上介绍复数的几何意义的，学生具备了一定的知识的

19、基础，并且对新的知识怀着强烈的好奇心，具备了主动学习的心理基础和学习动力，便于课前预习和课堂学习小组的交流合作。教学方法：探究发现、讨论交流教学准备：多媒体.课型：新授课教学过程设计个性设计补充一.课前自主学习设计：1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。2复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？3. 若，试求的值.【设计意图】复习复数概念、分类、相等等知识点.二.课堂互动学习设计：(一)情境创设：讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？【设计意图】由学生熟悉的实数入手通过类比，引出本节主要研究的问题. (二)学习新知：1.复数的几何意义：讨论：实数

20、可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。2. 复平面：以轴为实轴,轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫 复平面。复数与复平面内的点一一对应。 3复数的绝对值(复数的模) (1) 复数模的定义：对应平面向量的长度|，即复数 在复平面上对应的点到原点的距离，称为复数的模。 （2）计算公式：|= （3）几何意义： 4. 共轭复数： （1）共轭复数的定义：两个复数的实部 虚部 则称这两个复数互为共轭复数； （2）的共轭复数表示为 （3）共轭复

21、数的性质：两个共轭复数的模 ；表示两个共轭复数的点关于 对称。【设计意图】三典型例题分析：例1.在复平面内描出复数分别对应的点。 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？结论：实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？ 注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。【设计意图】通过在复平面内描点，以及进一步的思考得到复数的几何意义.例2. 求，的模和它们的共轭复数。【设计意图】考察复数的模与共轭复数的概念.4 课堂学习检测：1

22、.分别写出下列各复数所对应的点的坐标。2.若复数表示的点在虚轴上，求实数的取值。3.已知复数z=()+()i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 4.计算下列复数的模并求出它们的共轭复数: （1） （2） （3） （4） 5.设满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）； （2） （3）的实部大于2 五教学板书设计：六教学总结反思：七课后作业设计（一课一练）课题：3.2.1复数代数形式的四则运算（第一课时）授课时间： 年 月 日编制人：审核人：高二数学组授课人：教学目标：知识与技能： 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；掌握复数乘法，能熟练地进行复数代数形式加、减

23、、乘的运算；理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律。过程与方法： 通过学习复数加、减、乘法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目. 让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法. 情感、态度、价值观：培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力；培养学生等价转化（实与虚）的数学思想，训练他们的优良的解题方法；培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）. 教学重点：复数的代数形式的加、减、乘运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义 ；复数乘法运算的理解.教材分析：本课是高中数学选修12第三章复数第

24、二节复数代数形式的加减运算及其几何意义，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。学情分析：复数的加减运算，学生不难掌握。乘法类比多项式的运算法则进行，而不必记忆公式，比较容易掌握。教学方法：探究发现、讨论交流教学

25、准备：多媒体.课型：新授课教学过程设计个性设计补充一.课前自主学习设计：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。3. 同时用坐标和几何形式表示复数与所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？【设计意图】通过简单复习向量的几何意义并联系向量加减法进行思考希望学生可据此自行学习复数的加减运算及其几何意义.二.课堂互动学习设计：(一)情境创设： 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？【设计意图】通过课前复习并提出此问，引出求解向量加减法的几何意义. (2) 学习新知：1、 复数代数形式的加减法运算及其几何意义：阅读课本P58-P59内

26、容后填空：1设，规定 显然，两个复数的和仍然是 。且容易验证：对于任意复数， +=+ (+)+=+(+)即：复数的加法运算满足交换律、结合律。2复数的相反数：由复数加法的定义有，复数的相反数为 。 3根据复数加法及相反数的定义，两个复数的减法法则如下： 显然，两个复数的差仍然是 。4复数加减法运算法则： . 即:两个复数相加(减)，就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）。5.复数加减法运算的几何意义：（1）复数加法的运算的几何意义： 。xy0Z1Z2（2）复数减法的运算的几何意义： 。xy 0Z1Z2 2、 复数代数形式的乘法运算：思考：如何计算：（1） （2） .复数的乘法法则：【设计意

27、图】 类比多项式的乘法引入复数的乘法.三典型例题分析：例1计算： （1） （2） （3）（4）例2计算（1） （2） （3） （4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？【设计意图】 通过例题形式进行复数乘法运算并通过简单验证得到复数乘法运算满足交换、结合、分配律.四课堂学习检测：1计算： （2） （3）2.计算: （1） （2） （3） （4） （5） （6）3.在下列各题中，分别求和 （1） （2） （3） （4）【设计意图】共轭复数的乘积为实数.4. 求证：5. 三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。6.已知五教学板

28、书设计：六教学总结反思：七课后作业设计（一课一练）课题：3.2.1复数代数形式的四则运算（第二课时）授课时间： 年 月 日编制人：审核人：高二数学组授课人：教学目标：知识与技能： 掌握复数的代数形式的除法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的运算。 过程与方法： 能运用除法运算法则计算有关复数除法运算的题目。让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。情感、态度、价值观： 培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力；培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法；培养

29、他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）. 教学重点：复数的除法法则。教学难点：复数除法运算教材分析：本节课是复数代数形式的四则运算的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点教材通过两个类比，使学生对教学内容更易于理解，易于掌握一是类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是复数乘法的逆运算，探求出复数除法的法则；是类比根式除法的“分母有理化”，复数的除法可以理解为 “分母实数化” 教材的编排使用问题探究式的方法引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性学情分析：在学习了复数的加、减、乘法之后，学生应该会很自然的对复数除法运算产生强烈的好奇心，通过类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是复数乘法的逆运算，不难探求出复数除法的法则.教学方法： 使用多媒体教学辅助手段，从感性和理性的角度认识复数的加减乘除运算，引导学生思考探索，从解决问题的过程中构建新的知识体系。教学准备：多媒体.课型：新授课教学过程设计个性设计补充一.课前自主学习设计：1. ，求2.说出下列复数的共轭复数。3.类比，试写出复数的除法法则。【设计意图】通过类比得到复数代数形式的除法运算法则.二.课堂互动学习设计：(一)情