项目二 - 复合函数的求导法则

1、第三节 复合函数的求导法则准备知识：常用函数的求导公式；函数和、差、积、商的求导法则；复合函数的复合过程.一、复合函数的导数下面来研究的导数. 显然这是因为，函数是由函数和函数复合而成的复合函数，不能直接套用公式.通过分析已注意到； 故，恰好为的导数，即复合函数求导法则 如果在点可导，在相应的点可导，则复合函数在点亦可导，且有或写成 此法则可叙述为：复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数定理还可以推广到含有多个中间变量的复合函数的情况.设，都可导，则有或案例1 求的导数.解 这里把看作由,复合而成的，因此 案例2 求的导数.解 设，则 .案例3 求（为任意实数）的

2、导数.解 因为，则可复合成，于是 .案例4 求的导数.解 .案例5 求的导数解 .案例6 ，求.解 先将分母有理化，得 .案例7 求（，）的导数.解 是的反函数，且在内单调、可导，又因为所以 .即 .特别地，有.案例8 据国外媒体报道，秘鲁梅尔霍林格古生物学博物馆古生物学家近日声称，他们在秘鲁北部边境地区发现了琥珀化石，这些琥珀中包裹着多种罕见的远古昆虫等动物和向日葵种子（如图2-7）。古生物学家此次共发现了数百片琥珀，其中许多琥珀体积较大，有的长度可达到12厘米，琥珀中甚至包含着数种不同的昆虫。此次发现的琥珀中的昆虫等动物都保存得极为完好，它们种类很多，包括远古甲虫、啮虫、苍蝇和蜘蛛。经过放

3、射性元素衰变时间可测算出该化石距今2300万年。现有质量为的某衰变元素，经过衰变时间以后，所剩质量与时间的关系为：（为常数），你能求出这个函数的变化率吗？这个变化率有何意义？图2-7解 变化率即为质量对时间的导数：其意义为：质量随时间变化的快慢。案例9由电学知识可以知道对于恒定电流，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度，简称电流.可以用公式：来计算，其中为通过的电量，为时间.但在实际问题中，常会遇到非恒定电流，例如，正弦交流电就是非恒定的.设正弦交流电的电流从到这段时间通过导线横截面的电量是时间的函数，通过导体的瞬时电流实际上就是这段时间内通过导体横截面电流平均值的极限（，即电荷量对时间的

4、导数 .已知正弦交流电通过某导体，其电荷量与时间的关系为：，其中都是常数，求电流强度.解 由复合函数的求导法则可知,.案例10 在气象探测中，通常用气球把无线电探空仪携带到高空，以便进行温度、压力、湿度的探测，该气球由天然橡胶或氯丁合成橡胶制成，有圆形、梨形等不同形状(如图2-8)。球重3001000克，充入适量的氢或氦气，可升达离地3040。高空气象站使用的常规探测气球升速一般为68米/秒，约上升到30千米高空后自行爆裂。在上升过程中，压力不断减小，体积不断增加，如果体积的增加率为，气球直径达到时，请计算气球半径增加多快？解 设气球体积为，半径为，则体积，于是图2-8， 解得 ，将带入上式得

5、 .二、隐函数的导数如果之间的函数关系是由某一方程确定的，这样确定的函数叫做隐函数.例如，由方程所确定的关于的函数就是隐函数.相对于隐函数来说，我们前面讨论的形式为的函数叫做显函数.有时，我们可以从方程中解出，使隐函数变成显函数.如可以解出，由可以解出等等.但是，许多方程无法或很难表示成的显函数形式.例如，等.对于隐函数，可根据如下方法求导数：隐函数求导法则：将方程两端同时对求导，把关于的函数看作的复合函数，然后从所得的关系式中解出.案例11 求隐函数的导数.解 将方程两端同时对求导，得解出，得案例12 求的导数.解 把写成.两边对求导，得解出，得，由于，所以，于是，即.类似地，可以求出.案例13 求(为常数